数学人教版九年级上册实际问题与二次函数之几何最值.docx

课 题 学校 梅河口市双兴镇中心校授课教师 王莹莹时间 2017年4月10日教学设计阐述一 本节课的设计理论基础建构主义认为：学习者是在一定的情境下借助教师和学习伙伴的帮助，把当前学习内容所反映的性质、规律和自身已有的知识、经验、感受、记忆相联系，并对这种联系加以认真的思考，最终形成新的认知结构。因此，学生必须真正地成为学习的主人；教学应当把学生原有的知识经验作为新知识的生长点，注重知识的生成过程，让学生自主探索、合作交流、开放思维、体验学习，让学生体会在解决问题的过程中获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。本节课，从来源于学生熟悉的生活情境出发，又将数学知识应用于现实生活问题来构建学生学习的内容体系.引导学生探索利用二次函数的最大（小）值解决几何中的最值问题.在应用时，重要的是引导学生从几何最值问题中利用已有学习经验进行意义建模，敢于合情推理，激发学生的创新精神.二、本节课的设计思路教师依据新课标标准，为了给初三学生创建高效课堂，根据教学目标整合教材，创新改编例习题，合理设置例习题难度梯度，循序渐进.由抛球问题引出二次函数的区间最值问题，使学生清楚影响二次函数最值的因素，并建构和内化二次函数的最大（小）值的方法，从而使他们进行用二次函数建模解决几何最值问题，把学习的任务逐渐由教师转移给学生自己，鼓励学生采用合作交流式的学习方式，让学生运用信息技术来探索、实验，通过学生对二次函数模型的应用，会解决较简单的几何最值问题，培养学生的学习能力和合作交流能力使学生乐于思考生活中的数学问题.教学分析1本节课是在学习了二次函数的概念、图像及性质后，对二次函数性质的应用课。主要内容是运用二次函数的最值解决几何最值问题。2本节课是人教版九年级上册第22章第三节探究1 的问题，在研究学习了二次函数性质及图像的基础上。在学习二次函数的最大（小）值的应用时，先复习总结区间求最值方法，再通过一道几何问题利用数形结合思想培养学社建模能力，最后应用到实际问题面积最大最小问题，这样循序渐进，有利于培养学生的对立统一、量变到质变的唯物辩证主义观点。3在利用二次函数的最大（小）值解决问题时，鼓励学生考虑不同的解题方法，以开阔学生的思路。教学目标1.知识与技能：能根据实际问题列出函数解析式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值。2.过程与方法：通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；在解决问题的过程中体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想。3、情感、态度与价值观：通过师生、生生互动的教学活动过程，让学生体会成功的喜悦，了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生学数学、用数学的意识，提高学习数学的兴趣。教学重点二次函数区间求最值。教学难点准确建立二次函数模型，求几何最值。教学方法本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法，恰当合理地运用PPT和几何画板进行教学。板书设计22.3二次函数与几何最值1、 奠基（区间最值） 三、示范（典例分析） 例2、2、 建模（数形结合） 四、数学思想方法归纳总结与检测例1、 教学过程教学环节教学内容学生活动及设计意图媒体应用时间奠基区间最值问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是，小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？快速回答：1.求二次函数在下列各条件下何时取到最大值或最小值.（1） x为全体实数（2）（3）2.求二次函数在下列各条件下何时取到最大值或最小值.（1） x为全体实数（2）（3）3. 归纳总结（1） 影响二次函数最值的因素：?开口方向（增减性）?自变量取值范围?自变量取值范围和对称轴相对位置.（2） 求二次函数的最大值或最小值方法：?求对称轴；?以对称轴为分界线，依据函数增减性，找出自变量取值范围内图像的最高点的纵坐标即为最大值，图像最低点的纵坐标即为最小值.教师提出问题，学生回答.学生结合图像利用二次函数顶点坐标公式解决问题：当t=3时，h有最大值为45.1.（1）当x为全体实数时，x=-1，y有最小值；无最大值；（2）当x=-3时，y有最大值；当x=-1时，y有最小值；（3）当x=-10时，y有最大值；当x=-4时，y有最小值；2、（1）当x为全体实数时，x=1，y有最大值；无最小值（2）当x=1时，y有最大值；无最小值（3）当x=4时，y有最大值；当x=7时，y有最小值；3、 总结 由学生自己总结自己补充，教师点评，规范数学语言，从而完善归纳总结.由实际问题引入，在复习总结的过程中逐渐引入新知识，吸引学生注意力，引发学生思考总结求二次函数最值需要注意的事项，为本节课二次函数在几何最值问题中的应用做好准备.通过利用PPT清楚地展示自变量取值范围内的函数图像，练习题引出的内容具有承前启后的作用，既可以复习前面学习的知识，又可以引出后面的新问题。这样做，一方面教师可以检查学生原有知识的掌握情况，另一方面学生也会很快地进入到新问题环境中去。7分钟建模数形结合例1.如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE长的最小值是解析：连接DE.设AC=x,则BC=2-x，ACD和BCE是等腰直角三角形当x=1时，DE有最小值，是1.教师总结：几何最值问题，可通过直接（间接）设元建立函数模型，转化为二次函数最值问题.练习 灵活运用：一块三角板废料如图所示，A=，C=.用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中点D,E,F分别在AC,AB,BC上，要使剪出的长方形CDEF面积最大.?当AB=12时，点E应选在AB 位置时，S长方形CDEF有最大值，最大值为.?当AB=a时，点E应选在AB 位置时，S长方形CDEF有最大值.学生通过分析题目，读懂问题实质是“C点在线段AB何处时，DE有最大值”.请学生到黑板前，利用教师课前准备好的几何动画，拖动点C在AB上运动，从而师生一起观察这一变化过程中的不变关系，并引起学生合作交流大胆猜想C点在线段AB何处时，DE有最大值，从而激发学生解决几何问题的兴趣.本题学生容易利用勾股定理，将DE长用二次函数模型刻画出来，进而求解.本题选自教材52页第6题，经创新改编，对发散学生思维有很大帮助，有助于学生构建有特殊到一般的数学思想.为接下来将探究的菜园面积最大问题点燃思路.通过利用几何画板演示点C运动过程中DE的变化情况，通过观察图形的变化，挖掘图形中隐藏的不变关系，从而通过建立函数模型，巧妙利用数形结合思想解决问题.10分钟示范超越自我例2.用总长为30m的篱笆围成矩形菜园，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？例2.用一段篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.（1） 如图1，若篱笆长为30m，墙长为18m，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（2） 如图2，若篱笆长为30m，墙长为18m，小王准备沿垂直于墙方向用篱笆将菜地分成两块分别种植青菜和白菜，这时这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（3） 如图3，若篱笆长为30m，墙长为m()，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？教师提问：1、出现了几个量？2、哪些量是变量？3、哪些量是固定不变的？4、菜园面积和哪些量有关？5、长、宽与面积有什么关系？6、 矩形的长、宽和周长有什么关系？7、宽x的取值范围？8、何时面积y最大？9、还有其它的设未知数的方法吗？教师点拨例2，解析（3）：解：设矩形的宽为x米，菜园面积为S平方米.（例2），当时，面积S有最大值，最大值是.（3），对称轴本题由教材探究1问题改编，层层递进，拓展学生思维.让学生读题，找关键字句.学生回答：1、长、宽、面积、围墙总长度2、长、宽、面积3、篱笆总长度4、篱笆的长、宽5、矩形面积=长宽6、长+宽=半周长教师提出问题，使学生层层深入地探讨问题。关注学生是否发现两个变量， 是否发现矩形的长的取值范围，是否能准确得出自变量取值范围。学生积极思考，回答问题。找出长、宽、面积、篱笆总长四者之间关系式.问题的提出使学生逐渐进入新知识学习环境。同时也创设了新问题情境，达到了吸引学生注意力的目的。学生根据要求，自主探究完成例2（1）和（2）。解：设矩形的宽为x米，菜园面积为S平方米.根据题意可得：（1），,当时，面积S有最大值，最大值是.（2），当x=5时，面积S有最大值，最大值是75.通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值。二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变的取值范围的确定同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分。多媒体的引入使得问题清楚、明白.利用几何画板画出二次函数图像，通过学生亲自动手操作课件，教师带领学生观察函数的图象，动态演示x和y的取值变化，直观形象,便于学生观察。培养学生观察图像的能力，培养学生数形结合的思想. 通过此问题背景，让学生体验解决实际问题的过程和方法.15分钟当时S有最大值，最大值是.点评：?可由图像法或者函数增减性解得面积最大值.第（3）问需要讨论自变量取值范围与对称轴的相对关系.?解题方法：1.读题，找关键信息.2.抽象成数学模型.3.求出数学模型的解.4.做答.?数学思想：数形结合、有特殊到一般、建模思想.7、学生可由题意列不等式求解自变量取值范围.8、学生通过求对称轴和自变量取值范围，求出函数最值.9、设：长BC=x米同理求得的结果与前面相同。学生总结，教师完善，提倡一题多解.培养学生分析归纳、概括能力.从而初步体验解应用题的规律和方法.基础检测拓展提升1. 点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形.当点E位于AB边时，正方形EFGH的面积最小.2. .从一张矩形纸较短的边上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE,DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在AD位置.3.如图，点E,F,G,H,F分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF=DG=DH，连接EF,FG,GH,HE，得到四边形EFGH.如图,点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上,BE=BF=DG=DH,连接EF,FG,GH,HE得到四边形EFGH.(1)求证：四边形EFGH是矩形.(2)设AB=a,A=60,当BE为何值时教师点评.让学生自己读题，并回答下列问题，找学生到黑板分析展示解题思路和方法.解题时，首先要读懂题意，设计出问题指导学生审题，建立正确的数学模型.利用几何画板这个平台，让学生自己演示二次函数图像，同时，培养学生独立解决问题的能力.10分钟归纳小结课堂小结：生