电路第四版谜底06.doc

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一阶电路当电路除了电阻元件以外，还含有电容和电感这样的动态元件时，称为动态电路。动态电路的特征是：（1）当电路的结构或元件的参数发生变化（称为换路），其工作状态的转变需要经历一个过渡时期。（2）由于动态元件的伏安关系式对时间变量t的微分或积分关系，因此，描述动态电路的方程是微分方程或积分方程，且方程的阶数由电路中动态元件的个数决定。对于仅含一个动态元件的电阻电路，电路方程是一阶线性常微分方程，也称一阶电路。分析动态电路的前提是掌握动态元件和动态电路的特性，常用的分析方法是经典法，它是一种在时间域中进行的分析方法。其步骤为：（1）利用KCL和KVL及元件的伏安关系式建立以时间为自变量的线性常微分方程；（2）确定电路中待求量的初始值；（3）求解方程得所求电压和电流。6-1 图（a），（b）所示电路中开关S在(t = 0) 时动作，试求电路在t =时刻电压，电流的初始值。 解（a）：第一步：求t 0时，即开关S动作前的电容电压()。由于开关闭合前，电路处于稳定状态，对直流电路有电容看作开路。时的电路如题解图（a1）所示。由图（a1）可得V 第二步：根据换路时，电容电压不会跃变，所以有 应用替代定理，用电压等于的电压源代替电容元件，画出等效电路如题解图（a2）所示。 第三步：由等效电路，计算得V换路后，和发生了跃变。 解（b）：第一步：由t0时的电路，求的值。由于t 0时，电路处于稳定状态，电容看作断路，电路如图题解图（a1）所示。电容上的电压分别为根据换路时电容电压不能跃变，得 画出等效电路如题解图（a2）所示。由图可得结点电压为 故各支路电流为电阻上的电压为 解（b）：在t 0时，电路处于稳定状态，电感看作短路，电路如题解图（b1）所示。根据分流关系有 根据换路时，电感电流不能跃变，得 t=0，时的等效电路如题解图（b2）所示。由图可知 解（c）：t 0时的电路如题解6-4图（a）所示。由图可知 故可得电容电压的初始值 t 0后的电路如题解图（b）所示，这是一个一阶RC零输入电路。由于从电容两端看去的等效电阻为 故有时间常数电容电压 电流 6-5图中开关S在位置1已久，t = 0时合向位置2，求换路后的和。解：t 0时的电路如题图解（a）所示。由图（a）可知 根据换路时不能跃变，有 t0后的电路如图（b）所示。这是一个一阶RL零输入电路。其时间常数为 故电感电流和电压分别为 也可利用KVL计算，即 注：从6-3到6-5题的求解过程可以归纳出一阶电路零输入响应的步骤为：（1）由的电路确定电容电压或电感电流，根据=得出动态元件的初始值；（2）求后电路的时间常数。对电路有，对电路有，式中为动态元件两端看去的一端口电路的等效电阻，计算的方法与求戴维宁等效电阻的方法相同；（3）利用或，求得和，再利用或元件的伏安关系式求出其它各支路的电压和电流。也可根据等效电路，求出其它待求量的初值，应用得到所求量6-6 图示电路为发电机的励磁电路，历次绕组的参数为，接在的直流电源上。当打开开关S 时，要求绕组两端电压不超过正常工作电压的2.5倍，并使电流在0.05s内衰减到初值的5%，试求并联放电电阻为多大？（图中二极管的作用是，当开关S闭合时，放电电阻中无电流，当S打开后，绕组电流将通过衰减到零，此时二极管如同短路）解：t0后，二极管处于导通状态，电路如题解图（b）所示。由图知，绕组两端的最大电压为 因为要求 故有 又因为要求在0.05s内，衰减为原来的5%，所以有把代入上式中，有解得 考虑到以上两个要求，的值应取 6-7 一个高压电容器原先已充电，其电压为10kV，从电路中断开后，经过15min它的电压降低为3.2kV，问:(1) 再过15min电压将降为多少？(2) 如果电容，那么它的接援电阻是多少？(3) 需经过多少时间，可使电压降至30V以下(4) 如果以一根电阻为的导线将电容接地放电，最大放电电流是多少？若认为在时间内放电完毕，那么放电的平均公功率是多少？(5) 如果以的电阻将其放电，应放电多长时间？并重答（4）。 解：根据题意，这个高压电容器为非理想电容，其电路模型如图所示。且有 t 0时 由于经过t=15min，,所以有 注意时间单位的换算统一从中可解得 （1） 再过15min，即时 （2） 根据，可得绝缘电阻 （3） 当降至30V时，有 从中解得放电时间t为 （4） 电阻为的导线将电容接地放电，这时电路的等效电阻为绝缘带内阻和导线电阻的并接，即 因为时单点电流最大，所以由图可知 时间常数 在时间内，电容若放电完毕，放出的总能量为 则放电的平均功率为 （5） 如果以电阻将其放电，这是电路的放电电阻为 最大放电电流为 电路的时间常数 放电时间为 所以放电的平均功率为 显然放电电阻越大，对放电电流的阻碍作用越大，故放电电流小，所需的放电时间长。注：放电的平均功率也可用 计算。6-8 图示电路中，若t = 0时开关S闭合，求电流。 解：时，电路处于稳定状态，电容看作开路，电感相当于短路。电路如题解图（a）所示。由图（a）可得 换路时，由于电容电压和电感电流不能跃变，所以有 t 0后的电路如题解图（b）所示，短路线把电路分成了三个相互独立的回路。由R，L串联回路可得由R，C串联回路可得 故根据KCL，电流为 6-9 图示电路中，若t = 0时开关S打开，求和电源发出的功率。 解：t 0时，由于电流源被短路，所以可得电容C的初始值为 t 0后的电路如题解6-9图（a）所示。故这是一个求零状态响应问题。一阶RC零状态电路满足初始条件的微分方程的解为式中是，电路达到稳定状态时，电容上的电压，为电路的时间常数。本题中，当时，电容相当于开路，如题解图（b）所示，则时间常数为 所以有 电流源两端的电压为 则电流源发出的功率为 6-10 图示电路中开关S闭合前，电容电压为零。在t = 0时S闭合，求t0时的和。 解：由题意可知：，这是一个求零状态的问题。在时电路如题解6-10图所示。由图可得 等效电阻 所以时间常数 则t 0时，电容电压 电容电流为 6-11 示电路中，开关S打开前已处于稳定状态。t = 0开关S打开，求时的和电压源发出的功率。 解：由图可知，t 0时，电感支路被短路，故有，这是一个求零状态响应问题。当时，电感看作短路，电路如题解6-11图所示。应用叠加定理可求得为 从电感两端想电路看去的等效电阻为 则时间常数 故t 0后的电感电流为电感电压10V电压源中的电流为 电压源发出的功率为 即，电压源实际为吸收功率。6-12 图示电路中开关闭合前电容无初始储能，t = 0时开关S闭合，求时的电容电压。解：由题意知，这是一个求零状态响应问题。当时电容看作开路，电路如题解6-12图所示。由于电流，所以受控电流源的电流为零，故有 求a，b断口的等效电阻。由于有受控源，故用开路短路法求。把a，b端子短路，有 解得短路电流 则等效电阻 故时间常数 所以t 0后，电容电压 6-13 图示电路中t = 0时开关S闭合，求和电源发出的功率。 解：显然t 0时，由于开关是打开的，电感中无电流，即 这是一个求零状态响应的问题。由时的稳态电路题解图（a）可得， 由t 0后的电路题解图（b）可知，从电感两端向电路看去的等效电阻为从而有时间常数 则t 0后，电感电流 电感电压为 由题解图（b）可知，电压源发出的功率 6-14 图示电路中V，t=0时合上开关S 。求：（1）（2）为何值时，瞬态分量为零。 解：由题意可知，电容电压的初始值为 （1） t 0时，由KVL得电路的微分方程为 其通解为 为对应方程的通解，即 把代入上式中，有 为非齐次线性方程的解，设并代入微分方程中，有 用待定系数法确定和。引入，有 再令则上面等式变为于是，得 比较等式两边可求得各待定系数为 所以，特解 方程的通解为 代入初始条件 ，得常数 因而电压为 （2） 由可知，当时 无暂态分量。注：一阶非齐次微分方程的解由两部分组成，即，（在一阶电路中，或）为微分方程相应的齐次方程的通解，为满足齐次方程的特解，它具有与激励相同的函数形式，当激励为直流时，为常数。电路中常见的激励函数形式及其相应的特解列于下表中。 不同激励时动态电路的特解激励特解的形式直流当a不是特征值时当a为特征值时当a为二重根时或 表中均为待定常数。6-15 图示电路中时闭合开关S，在下列两种情况下求以及电流源发出的功率：（1）；（2） 解：由题意知：后，电路有外加激励电源的作用，即本问题为一阶电路的全响应问题。对线性电路而言，其全响应等于零输入响应与零状态响应之和，即 由图可知时，时间常数 当时 由于电流源的端电压等于，故电流源发出的功率为 (2) 当时零输入响应为 零状态响应仍为 所以电容电压的全响应为 则 注：当电路的初始状态不为零，即，同时又有外加激励的作同时，电路的响应称为完全响应。对线性电路，其完全响应等于零输入响应与零状态响应之和，即可以表示为 上式也可以表示为 即全响应也等于问台响应与暂态响应之和。全响应的表示式可作为一阶电路在直流电源作用下计算完全响应的公式，如6-15题的求解。公式说明，求解全响应问题可以归结为求初始值和稳态值及时间常数这三个基本量，故以上表示式也称为三要素式。6-16 图示电路中直流电压源的电压为，且电路原已达稳态，t = 0时合上开关S，求：（1） 电感电流；（2） 直流电压源发出的功率。解：（1）计算初始值。t 0时，电路如题解6-16图（a）所示，因此，有 计算稳态值。t 0的电路土题解图（b）所示，由图知 时间常数为 利用三要素公式得 以上结果说明，当电路的时，过渡时间为零，电路直接进入稳定状态。（2） 因，所以电压源发出的功率 6-17 示电路中开关S打开以前已达稳态，t = 0时开关S打开。求时的，并求t=2 ms时电容的能量。 解：t 0时的电路如题图（a）所示。由图（a）知 则初始值 t 0后的电路如题解图（b）所示。当时，电容看作断路，有 时间常数 利用三要素公式得 电容电流 t = 2 ms时 电容的储能为 6-18 图示电路中t = 0时开关打开，闭合，在开关动作前，电路已达稳态。试求时的。 解：t 0后的电路如题解图（b）所示。当时，电感看作短路，因此 时间常数 根据三要素公式，有 则电感电压 6-19 图示电路中开关原打开，t = 0时将开关S闭合，已知，求t 0时的电流。 解：由题意知：，时，L看作短路，由KLV得解得，所以的稳态值为电流源的电流，即 把电感断开，电路如题解6-19图所示。由图知，开路电压 由开路，短路法可求得等值电阻 故电路的时间常数 利用三要素公式，可得 6-20 图示电路中，已知，t = 0时将开关S闭合，求t 0时的电流。 解：由题意知电容电压的初始值为 时，由于电路中无独立电源，故必有 把电容断开，外加电压源，如题解6-20图所示，由KVL得 从中解出 故电路中的等效电阻 电路的时间常数 由三要素公式可得电容电压 所以电容电流 6-21 图示电路中，已知，。求全响应。 解：把电容断开，如题解图（a）所示，先求t 0一端刀口电路的戴维宁等效电路。由KVL得 由KVL得 联立求解以上两方程，解得 把端口短路，得短路电流故等效电阻 等效电路如题解图（b）所示。显然电路的三个要素为 代入三要素公式中，的电容电压 电容电流为 应用KCL于原电路，有 把代入，解得电流 注：本题是求电路的阶跃响应。单位阶跃函数作用于电路，相当于单位直流源在t=0时接入电路。电路的零状态响应即为单位阶跃响应。对于一阶电路，仍可用三要素方法求解。6-22 图（a）所示电路中的电压的波形如图（b）所示，试求电流。 解法一：将电路的工作过程分段求解。在区间为电路的零状态响应，因为 稳态值为 故电流 在区间为电路的零输入响应，此时的初始值为 故有 解法二：用阶跃函数表示激励，求电路的阶跃响应，图（b）可以写为 由，而在单位阶跃函数的作用下，其稳态值为，所以电路的单位阶跃响应为 故当激励为时，根据线性叠加定理和时不变网络性质，电路的零状态响应为 6-23 RC电路中，电容C原未充电，所加的波形如图所示，其中，求（1）电容电压；（2）用分段形式写出；（3）用 一个表达式写出。 解：（1）分段求解。 在区间，RC电路的零状态响应为 时 在区间，RC的全响应为 时 在区间，RC的零输入响应为 （3） 用阶跃函数表示激励，有 而RC串联电路的单位阶跃响应为 根据电路的线性时不变特性，有 6-24 图示电路中，试求电路的冲激响应和。 解：应用戴维宁定理把原电路变化为题解6-24图所示的电路。其中 解法一：由于激励为冲激函数，所以在时，虽然，但电容电压，电路中有由引起的零输入响应。先求。根据KVL，电路的方程为 即 把上式在与时间域积分，应用的“筛分”性质，得 由于不是冲激函数，有，上式积分为 把代入，得 当时，即相当于短路，电容电压为 原图中的电流为 电容电流也可以用下列方式求得 解法二：利用阶跃响应求冲激响应。由于阶跃函数和鲜冲激函数之间满足关系 因此线性电路中阶跃响应与冲激响应满足 设题解2-24图电路的电压源，其阶跃响应为 则冲激响应为 注：对于和的零状态一阶RC或RL电路，当冲激函数作用其上时，在到区间内，电容电压和电感电流将发生跃变，即。当后，电路中有或引起的零输入响应。因此，一阶电路冲激响应的求解，关键在于或的确定，确定的方法见本题的解法一。对于线性电路，冲击响应可以按阶跃响应的一阶导数求得，如本题解法二。6-25 图示电路中，试求冲激响应。 解法一：应用戴维宁定理把原电路变为题解6-25图所示的等效电路。其中 应用KVL，可得电路方程 即 把上式在与时间域积分，得 考虑到不是冲激函数，有，上式积分为 因，所以有则电路的冲激响应为 解法二：利用阶跃响应求冲激响应。设题解6-25图中的，则阶跃响应为 则当为时，有冲激响应6-26 图示电路中，电容原未充电，求当给定为下列情况时的和；（1）；（2） 解：图示电路的戴维宁等效电路如题解6-26图所示，其中 （1） 当时，时间常数所以电容电压为 mA（2） 当 mA时，根据线性电路的齐次定理，（1）中电路的单位阶跃响应为 所以单位冲激响应为 6-27 电路如图所示，当：（1），；（2）时，（3） 试求响应。解：图示电路的戴维宁等效电路如题解6-27图所示。其中电路的单位阶跃响应为（设） （1） 当，时，电路的冲激响应为 （2）当时，电路的响应看作是冲激响应与零输入响应之和，即 （3）当时，电路的响应看作是延迟的冲激响应与零输入响应之和，即 注：本题的求解运用了阶跃响应和冲激响应之间的关系及线性电路的叠加性。6-28 图示电路中，试求电路响应。解：原电路的戴维宁等效电路如题解6-28图所示，由于所在支路对电感电流没有影响，可以断开，所以有 电路的时间常数 故电感电流为 6-29 图示电路中，电源，求t0时电感支路的电流。解：原图可以等效为题解6-29图所示的电路，其中 电路的时间常数为 s图示电路的单位阶跃响应为 根据线性电路的叠加性和齐次性，把看成是两个激励源之和，因此当作用时，有 A 当作用时，所以当两部分激励共同作用时，响应为 6-30 已知图（a）电路中，其零状态响应为如果用的电感代替电容C（见图（b），试求零状态响应。解：计算时间常数（a1） （b1） 由图（a）的表达式可知 所以得 由于图（b）的等效电阻也图（a）一致，故图（b）电路的时间常数为 s（2）计算初始值因为图（b）的，既时，电感相当于开路，其等效电路如题解图（a1）所示，显然图（a1）也是图（a）在时的稳态电路。由图（a）的表达式知 V因此，图（b）中的电压 V（3）计算图（b）中的稳态值时，图（b）中的电感看作短路，等效电路如题解图（b1）所示。图（b1）恰是图（a）在时的等效电路（因，电容相当于短路），由图（a）的表示式知 V因此，图（b）中的电压 V把以上求得的三个值代入三要素公式中，可得 6-31接续上题，试设计一个电路N（指6-30图中的N），并选取合适的元件值。解：由题意可知，电路N由电阻组成，设它由三个电阻按图示联接构成（不能少于三个电阻），根据6-30题可得 V V因此，图示三个电阻应满足关系联立求解以上三式，得， ， 本题实际上给出了6-30题的另一求解方法，即求出N的等效电路后，再计算图（b）中的。6-32 图示电路中含有理想运算放大器，试求零状态响应，已知V。解：先求从电容两端看进去的一端口电路的戴维宁等效电路。把电容断开，根据理想运算放大器的性质可知 mA V外加电压源如题解6-32图（a）所示。因此，有 所以等效电阻为 等效电路如题解图（b）所示。因此，有 砖骂哪临迷寅哄涅黎凸眠喀弄需浙党蔬欺辫杉侠喇橙鞘孟延颈翱唐磺青