数学人教版九年级上册数学活动2 探究四点共圆的条件.doc

课题：活动2 探究四点共圆的条件教学内容：新人教版九年级上册二十四章圆的数学活动任课教师：南宁沛鸿民族中学 董金林设计理念：教学的实质是以教材中提供的素材或实际生活中的一些问题为载体，通过一系列探究互动过程，渗透分类讨论、特殊到一般和转化的思想方法，达到学生知识的构建、能力的培养、情感的升华。一、教材及教学内容分析（一）教材的地位和作用分析 探究四点共圆的条件是新人教版九年级上册二十四章第的数学活动课。四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆，因此本节课是对前面所学圆知识的很好补充。另外，本堂课通过“活动探究”、“观察猜想证明”等途径，进一步培养学生的动手能力、观察能力、分析能力和逻辑推理能力，因此，本堂课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育等方面都有着十分重要的作用。（二）教学内容解析在四点共圆的条件的探究过程中，通过对特殊的四边形(正方形、矩形、等腰梯形、菱形)以及一般的对角线相等的四边形和对角相等的四边形四个顶点共圆规律的探究，发现一般的规律(过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆)，体现了特殊到一般的思想同时，在研究的过程中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想和方法另外，学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，让学生形成自我的数学思维和能力，发展学生推理能力，发展学生应用数学的意识，从而帮助学生积累有效的数学活动经验二、目标及其解析教学目标：知识技能：1了解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件；2掌握对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法数学思考：1通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，发展学生合理推理能力和演绎推理能力；让学生经历“观察实验猜想论证”的过程，发展学生几何直观能力；2通过观察图形，提高学生的识图能力。3.通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。解决问题：1.在探究四边形四个顶点能否共圆的活动中，学会运用友特殊到一般的数学思想，并利用转化的数学思想解决问题，发展数学的应用能力，获得解决问题的经验；2在小组活动和探究过程中，学会与人合作，体会与他人合作的重要性.情感态度：让学生在数学活动中经历“观察实验猜想论证”的过程，发展学生使其主动参与师生、生生的交流活动，学会和人合作，学会倾听，敢于发表自己的观点，培养学生大胆实践、勇于创新、团结互助的精神，体验数学活动充满着探究性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性，并有克服困难和运用知识解决问题的成功体验，建立学好数学的自信心。教学重点：通过活动探究四点共圆的条件。教学难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明。解析本堂课是圆的的一节活动课，所以对于本堂课的知识目标的定位，主要考虑如下：1.了解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件要达到如下要求：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以作一个圆2.掌握对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法则需要：通过画图、观察、比较、分析正方形、矩形、等腰梯形、菱形、对角线相等的四边形、对角互补的四边形等等特殊的四边形的四个顶点能否共圆，得到对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论；将证明四点共圆的问题转化为不共线的三点可以确定的圆与第四个顶点的关系，并应用圆内接四边形对角互补获得证明。三、教学问题诊断分析学生在发现问题的阶段可能会受过任意一个三角形的三个顶点作一个圆的影响，去判断第四个顶点是否在这个圆上解决这一问题的关键是引导学生从特殊的四边形出发，从特殊到一般来探究问题通过分析正方形、矩形、菱形、等腰梯形获得四边形的四个顶点共圆与四边形的边长无关的猜想，通过对等腰梯形的探究获得四边形的四个顶点共圆与四边形的内角是否是直角无关，通过对对角线相等四边形的四个顶点的探究获得四边形的四个顶点共圆与四边形的对角线是否相等无关，进而联想圆内接四边形对角互补，获得猜想另外，猜想的证明要用到反证法，学生可能不知如何入手，猜想的证明对学生来说是难点，关键是从过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆入手，把四点共圆问题转化成点与圆的关系，再由圆内接四边形对角互补得到证明方法，从而解决本节课的难点四、教法、学法：教法：常言道：“教必有法，教无定法”。所以我从九年级学生的心理特点和认知能力水平出发，以学生为主体巩固学生已有的知识，并加以有效的拓展，让学生积极思维，勇于探索，主动地获取知识，呈现数学活动课的基本过程。同时，采用了现代化教学技术，激发学生的学习兴趣，使整个课堂“活”起来，提高课堂效率。本堂课的设计是以课程标准和教材为依据，采用发现式教学。遵循因材施教的原则，坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。教学过程中，注重学生探究能力的培养。还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。学法：学生都渴望与他人交流，合作探究可使学生感受到合作的重要和团队的精神力量，增强集体意识，所以本课让学生独立思考和小组讨论有机结合，让学生从活动中去观察、探索、归纳知识，沿着知识发生，发展的脉络，学生经过自己亲身的实践活动，形成自己的经验，产生对结论的感知，实现对知识意义的主动构建。这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象，而且能力得到培养，素质得以提高，充分地调动学生学习的热情，让学生学会自主学习，学会探索问题的方法。五、教学支持条件分析在本堂课中，准备利用圆规和直尺等工具，过一些特殊的四边形的四个顶点作圆，利用利用几何画板去探究和验证学生的猜想，借助多媒体信息技术与学生的实际动手操作加强学生对所学知识的理解和运用。六、教学过程设计1创设情境，发现问题问题演示课件：1. 经过平面内一点A可以作几个圆？圆心和半径能确定吗？2. 经过平面内两点A，B可以作几个圆？圆心和半径能确定吗？3. 经过平面内的三点可以作几个圆？圆心和半径能确定吗？4. 那经过平面内的四点又可以作几个圆？师生活动：教师提出问题，引导学生利用作图工具作出图形；由学生经过观察、分析、总结归纳出简单的点与圆的关系，并了解点共圆所必须满足的基本条件；教师利用课件进行演示，让学生能直观的对所作图形进行观察，以验证自己所得到的结论是否正确设计意图：从经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点圆、三角形与圆的关系入手，由经过三角形三个顶点可以作一个圆想到经过四边形的四个顶点是否可以作一个圆，从学生已有的知识经验出发，获得探究问题的方向同时也渗透将探究四点共圆问题转化成三点共圆的问题为后继猜想的证明作适当的知识准备2合作探究获得猜想活动11、 过不在同一直线的三点作圆可以看作是过三角形的顶点作圆，那么过四点作圆同样可以看作是过四边形的顶点作圆，那如何去过一个四边形的四个顶点作一个圆？2、 这里有一些同学们常见的特殊四边形（正方形、矩形、等腰梯形、菱形），同学们尝试着作一下，看能不能过它们的顶点作一个圆？3、 作圆的方法有几种？怎么判断这四点共圆？师生活动：教师提出问题，让学生先进行思考，然后动手操作，在活动中探寻问题的答案。在学生动手画四边形的外接圆的过程中，学生会发现有的四边形的四个顶点能共圆，有的却不行，那这些过它们顶点能作圆的四边形有什么共同特征？这些四边形的哪些元素决定了过这些四边形的四个顶点可以作一个圆？教师引导学生从四边形的边和角的方面去猜测，探究。教师重点关注学生自主探究的步骤和方法教师针对学生的不同方法、不同的表达形式给出指导，并引导学生从特殊的图形出发，寻找它们共性的条件学生会出现下面几种常见情况：(1)四条边的垂直平分线交于一点的四边形；(2)分析一些特殊的四边形，如正方形、矩形、等腰梯形、菱形等；(3)过对角线相等的四边形的四个顶点能作一个圆(4)过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆对于第(1)种情况，师生共同归纳：由圆的定义可以得出此命题成立对于第(2)种情况，教师引导学生动手画图，思考、交流过正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点可以作一个圆，菱形的四个顶点不能作一个圆教师展示学生的画图并且用几何画板的画圆功能进行验证(如图1)图1对于第(3)种情况，教师引导学生学生思考，并通过几何画板去验证：并不是过所有对角线相等的四边形的四个顶点都可以作一个圆。对于第(4)种情况，教师借助几何画板的画圆功能过任意对角互补的四边形的三点画圆，该圆同时也经过四边形的第四个顶点，给同学有了过对角互补的四边形的顶点可以作一个圆的直观认识，同时引导学生从圆内接四边形对角互补出发进行思考，从而获得猜想：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆设计意图：让学生学会利用载体去对问题进行研究从特殊过渡到特殊，最后到一般情形，一步一步地向探究的目标靠近在学生动手画四边形的外接圆的过程中，学生会发现有的四边形的四个顶点能共圆，有的却不行，引导学生从四边形的边、对角线、角等方面去猜测、探究，这有利于学生在“做”数学的过程中思考、积淀，积累数学活动的经验3证明猜想，获得结论活动2如何证明“过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆”？师生活动：教师展示问题，师生共同写出已知、求证即：已知：如图2，在四边形ABCD中，AC180，BD180求证：过点A，B，C，D可作一个圆图2学生分组讨论证明思路，学生思考并尝试回答学生可能联想到圆的定义，因此需要找到一定点O，满足OAOBOCOD追问1：如何找到这个点？师生活动：教师引导学生：四边形的问题可以转化成三角形来研究，四点共圆的问题可以考虑能否转化成三点共圆的问题？不在同一条直线上的三点是共圆的，我们可以作出过四边形的三点的圆，第四点不能确定是否共圆，但其中的三点是可以保证共圆的，再考虑余下的第四个点是否在过三点的圆上，把四点共圆问题转化为点与圆的位置关系问题追问2：假设过三点的圆已经作出(如图3过三点A，B，D作出圆O)，如何证明第四点(点C)在这个圆上？图3 图4 图5师生活动：学生尝试证明点C与圆心O的距离等于半径但这种方法目前存在困难追问3：点C与圆心O的位置关系有多少种？假设点C不在过三点A，B，D的圆上，会出现哪些情况？你能对它们进行证明吗？追问4：如图6，对于点C点在圆内情况，您能自己完成证明吗？师生活动：学生可以得出点C与圆心O的位置关系有三种（如图3、图4、图5），师生共同分析点C在圆内的情况，根据教材证明不共线三点共圆的方法：反证法，并借助圆内接四边形对角互补的性质进行证明证明：如图6，假设过A、B、C、D四点不能作一个圆过A、B、D三点作圆，若点C在圆外设BC与圆相交于点E，连接DE，则ABED180而已知BD180，所以AECDBCD是CED的外角，BCDBEDABCD180，与已知矛盾，假设不成立当点C在圆O外的情况(如图7)证明同理可证. 因此点C在过A，B，D三点的圆上 图6 图7最后师生共同得出：对角互补的四边形的四个顶点共圆设计意图：在学生动手活动的过程中，通过交流和沟通，让学生明确一个问题的解决方案，在推测之后要进行验证，通过证明，让学生感受数学的严谨性，感受到数学结论的确定性和证明的必要性，培养学生推理能力4、当堂练习1、在四边形ABCD中，如果A= 115，B= 30，那么当C=_时，四边形ABCD能四点共圆。设计意图：考查学生对圆内接四边形对角互补的掌握情况2、在（1）矩形、（2）平行四边形、（3）梯形中能过四个顶点作圆的是_.设计意图：考查学生能否由四边形的对角互补判定该四边形的四个顶点共圆3、 如图 点A、B、 C、D都是O上的点,则正确的选项是（ ）（A）1+2A (B) 1+2=A (C) 1+2A (D)不能确定第3题设计意图：考查学生对对角互补的四边形的四个顶点共圆的应用5归纳反思，总结提升教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并回答