[原创押题]2016新北师大八年级数学上第一次月考试卷及解析.pdf

新北师大 八年级上第一次月考测试试卷 姓名 预期分数 实际分数 注意事项 1 全卷共6页 考试用时90分钟 满分为120分 2 答卷前 考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔填写自己的姓名 3 每道题必须将答案填写在试卷相应位置 非选择题必须必须写在各 题目指定区域内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写 上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 4 考生务必保持答题卡的整洁 考试结束时 将试卷上交自己的班主 任 5 本试卷考察知识点涵盖平行线的判定 勾股定理 实数三个部分 一 选择题 共12小题 满分36分 每小题3分 1 2016春 抚顺县期中 下列说法中正确的是 A 已知a b c是三角形的三边 则a2 b2 c2 B 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C 在Rt ABC中 C 90 所以a2 b2 c2 D 在Rt ABC中 B 90 所以a2 b2 c2 2 2016春 曲阜市期中 直角三角形的两条直角边的长分别为5 12 则斜边上的高线的长为 A cm B 13cm C cm D cm 3 2016春 日照期末 用a b c作三角形的三边 其中不能构成的 直角三角形的是 A b2 a c a c B a b c 1 2 C a 32 b 42 c 52 D a 6 b 8 c 10 4 2016 围场县模拟 若 2a b 1 0 则 b a 2016的值 为 A 1 B 1 C 52015 D 52015 5 2015春 重庆校级期末 如图 下列条件 1 2 3 4 3 4 180 1 2 180 1 2 90 3 4 90 1 4中 能判断直线l1 l2的条件有 A B C D 6 2016 黔东南州 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取 材于我国古代数学家赵爽的弦图 它是由四个全等的直角三角形和中间 的小正方形拼成的大正方形 如图所示 如果大正方形的面积是13 小 正方形的面积为1 直角三角形的较短直角边长为a 较长直角边长为 b 那么 a b 2的值为 A 13 B 19 C 25 D 169 7 2015秋 龙口市期末 如图所示 AB BC CD DE 1 AB BC AC CD AD DE 则AE A 1 B C D 2 8 2015春 重庆校级期末 如图是医院 公园和超市的平面示意图 超市在医院的南偏东25 的方向 且到医院的距离为300m 公园到医院 的距离为400m 若公园到超市的距离为500m 则公园在医院的 A 北偏东75 的方向上 B 北偏东65 的方向上 C 北偏东55 的方向上 D 无法确定 9 2015 资阳 如图 透明的圆柱形容器 容器厚度忽略不计 的高 为12cm 底面周长为10cm 在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭 粒 此时一只蚂蚁正好在容器外壁 且离容器上沿3cm的点A处 则蚂 蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 A 13cm B 2cm C cm D 2cm 10 2016春 德州校级期中 下列说法中正确的是 A 9的平方根是3 B 的算术平方根是 2 C 的算术平方根是4 D 的平方根是 2 11 2016 余干县三模 如图 是三个等边三角形随意摆放的图形 则 1 2 3等于 A 90 B 120 C 150 D 180 12 2016春 龙口市期中 按如图所示的程序计算 若开始输入的n值 为 则最后输出的结果是 A 3 B 15 C 3 3 D 15 7 二 填空题 共5小题 满分20分 每小题4分 13 4分 2015 海南 一次数学测试 满分为100分 测试分数出 来后 同桌的李华和吴珊同学把他俩的分数进行计算 李华说 我俩分 数的和是160分 吴珊说 我俩分数的差是60分 那么 对于下列两个 命题 俩人的说法都是正确的 至少有一人说错了 其中真命题是 用序号 填写 14 4分 2015秋 江阴市期中 在 ABC中 AB 13cm AC 20cm BC边上的高为12cm 则BC长为 15 4分 2015秋 江东区期末 如图 在 ABD中 AD 13 BD 12 若在 ABD内有一点C 其中AC 3 BC 4 C 90 则阴 影部分的面积为 16 4分 2016 薛城区模拟 对于任意的正数m n定义运算 为 m n 计算 3 2 8 12 的结果为 17 4分 2015 常德 规定用符号 m 表示一个实数m的整数部 分 例如 0 3 14 3 按此规定 的值为 三 解答题 共8小题 满分64分 18 6分 2014春 永川区校级期中 计算 1 2 2 22 19 6分 2014春 邗江区校级期中 如图 已知 P Q 1 2 AB与ED平行吗 为什么 20 8分 2015春 繁昌县期中 如图所示 数轴的正半轴上有A B C三点 表示1和的对应点分别为A B 点B到点A的距离与点C 到点O的距离相等 设点C所表示的数为x 1 请你写出数x的值 2 求 x 2的立方根 21 8分 2016春 金乡县期末 如图 四边形ABCD中 AB AD 6 A 60 ADC 150 已知四边形的周长为30 求四边 形ABCD的面积 22 8分 2016 陕西校级模拟 超速行驶是引发交通事故的主要原 因 上周末 小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段 尝试用自己所学 的知识检测车速 观测点设在到公路l的距离为100米的P处 这时 一 辆富康轿车由西向东匀速驶来 测得此车从A处行驶到B处所用的时间 为3秒 并测得 APO 60 BPO 45 试判断此车是否超过了每小 时80千米的限制速度 参考数据 1 41 1 73 23 8分 2016 烟台 设a b c都是实数 且满足 2 a 2 c 8 0 ax2 bx c 0 求代数式x2 x 1的值 24 10分 2016 烟台 细心观察下图 认真分析各式 然后解答 问题 2 1 2 S1 2 1 3 S2 2 1 4 S3 1 请用含n n是正整数 的等式表示上述变化规律 2 推算出OA10的长 3 求出S12 S22 S22 S102的值 25 10分 2015 黔西南州 阅读材料 小明在学习二次根式后 发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的 平方 如3 1 2 善于思考的小明进行了以下探索 设a b m n 2 其中a b m n均为整数 则有a b m2 2n2 2mn a m2 2n2 b 2mn 这样小明就找到了一种把类似a b的式子化为 平方式的方法 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题 1 当a b m n均为正整数时 若a b 用含m n的式 子分别表示a b 得 a b 2 利用所探索的结论 找一组正整数a b m n填空 2 3 若a 4 且a m n均为正整数 求a的值 2016年度初中数学北师大版八年级上第一次月考 试卷 参考答案与试题解析 一 选择题 共12小题 满分36分 每小题3分 1 3分 2016春 抚顺县期中 下列说法中正确的是 A 已知a b c是三角形的三边 则a2 b2 c2 B 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C 在Rt ABC中 C 90 所以a2 b2 c2 D 在Rt ABC中 B 90 所以a2 b2 c2 考点 勾股定理 菁优网版权所有 专题 计算题 证明题 分析 在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和 且 斜边对角为直角 根据此就可以直接判断A B C D选项 解答 解 在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的 和 且斜边对角为直角 A 不确定c是斜边 故本命题错误 即A选项错误 B 不确定第三边是否是斜边 故本命题错误 即B选项错误 C C 90 所以其对边为斜边 故本命题正确 即C选项正确 D B 90 所以斜边为b 所以a2 c2 b2 故本命题错误 即D选项 错误 故选 C 点评 本题考查了勾股定理的正确运用 只有斜边的平方才等于其他 两边的平方和 2 3分 2016春 曲阜市期中 直角三角形的两条直角边的长分别 为5 12 则斜边上的高线的长为 A cm B 13cm C cm D cm 考点 勾股定理 菁优网版权所有 分析 先利用勾股定理求出斜边长 再利用面积法求出斜边上的高即 可 解答 解 直角三角形的两条直角边的长分别为5 12 斜边为 13 设h为斜边上的高 S ABC 5 12 13h h 故选D 点评 此题考查了勾股定理 以及三角形面积公式 熟练掌握勾股定 理是解本题的关键 3 3分 2016春 日照期末 用a b c作三角形的三边 其中不能 构成的直角三角形的是 A b2 a c a c B a b c 1 2 C a 32 b 42 c 52 D a 6 b 8 c 10 考点 勾股定理的逆定理 菁优网版权所有 分析 根据选项中的数据 由勾股定理的逆定理可以判断a b c三 边组成的三角形是否为直角三角形 勾股定理的逆定理 如果三角形的 三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形就是直角三角形 解答 解 A b2 a c a c b2 a2 c2 b2 c2 a2 能构成直角三角形 故选项A错误 B a b c 1 2 设a x 则b 2x c x x2 x 2 2x 2 能构成直角三角形 故选项B错误 C a 32 b 42 c 52 a2 b2 32 2 42 2 81 256 337 52 2 不能构成直角三角形 故选项C正确 D a 6 b 8 c 10 62 82 36 64 100 102 能构成直角三角形 故选项D错误 故选C 点评 本题考查勾股定理的逆定理 利用勾股定理的逆定理时 可用 较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较 如果相等 则三角形为 直角三角形 否则不是 4 3分 2016 围场县模拟 若 2a b 1 0 则 b a 2016的值为 A 1 B 1 C 52015 D 52015 考点 非负数的性质 算术平方根 非负数的性质 绝对值 菁优网版权所有 分析 首先根据非负数的性质 几个非负数的和是0 则每个非负数 等于0列方程组求得a和b的值 然后代入求解 解答 解 根据题意得 解得 则 b a 2016 3 2 2016 1 故选B 点评 本题考查了非负数的性质 几个非负数的和是0 则每个非负 数等于0 正确解方程组求得a和b的值是关键 5 3分 2013春 重庆校级期末 如图 下列条件 1 2 3 4 3 4 180 1 2 180 1 2 90 3 4 90 1 4中 能判断直线l1 l2的条件有 A B C D 考点 平行线的判定 菁优网版权所有 分析 欲判定l1 l2 需考虑内错角 同旁内角 同位角 从图中可 以看出 1的补角 180 1 和 2且 3的补角 180 3 和 4对于直线l1和l2来说是两对同位角 根据同为角相等 两直线平行 可以证明l1 l2 解答 解 由图可以看出 1的补角 180 1 和 2且 3的补 角 180 3 和 4对于直线l1和l2来说是两对内错角 若使180 1 2 即 1 2 180 180 3 4 即 3 4 180 所以 l1 l2 同位角相等 两直线平行 故选 C 点评 解答此类要判定两直线平行的题 可围绕截线找同位角 内错 角和同旁内角 本题是一道探索性条件开放性题目 能有效地培养 执 果索因 的思维方式与能力 6 3分 2016 黔东南州 2002年8月在北京召开的国际数学家大会 会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图 它是由四个全等的直角三角形 和中间的小正方形拼成的大正方形 如图所示 如果大正方形的面积是 13 小正方形的面积为1 直角三角形的较短直角边长为a 较长直角边 长为b 那么 a b 2的值为 A 13 B 19 C 25 D 169 考点 勾股定理的证明 菁优网版权所有 专题 数学建模思想 构造法 等腰三角形与直角三角形 分析 根据题意 结合图形求出ab与a2 b2的值 原式利用完全平方 公式化简后代入计算即可求出值 解答 解 根据题意得 c2 a2 b2 13 4 ab 13 1 12 即 2ab 12 则 a b 2 a2 2ab b2 13 12 25 故选C 点评 此题考查了勾股定理的证明 利用了数形结合的思想 熟练掌 握勾股定理是解本题的关键 7 3分 2015秋 龙口市期末 如图所示 AB BC CD DE 1 AB BC AC CD AD DE 则AE A 1 B C D 2 考点 勾股定理 菁优网版权所有 分析 根据勾股定理进行逐一计算即可 解答 解 AB BC CD DE 1 AB BC AC CD AD DE AC AD AE 2 故选D 点评 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力 即 直角三角 形两直角边的平方和等于斜边的平方 8 3分 2015春 重庆校级期末 如图是医院 公园和超市的平面 示意图 超市在医院的南偏东25 的方向 且到医院的距离为300m 公 园到医院的距离为400m 若公园到超市的距离为500m 则公园在医院 的 A 北偏东75 的方向上 B 北偏东65 的方向上 C 北偏东55 的方向上 D 无法确定 考点 勾股定理的逆定理 方向角 菁优网版权所有 专题 应用题 分析 首先根据勾股定理逆定理证明 AOB 90 再计算出 AOC的 度数 进而得到 AOD的度数 解答 解 3002 4002 5002 AOB 90 超市在医院的南偏东25 的方向 COB 90 25 65 AOC 90 65 25 AOD 90 25 65 故选 B 点评 此题主要考查了勾股定理逆定理 关键是掌握勾股定理的逆定 理 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形就是 直角三角形 9 3分 2015 资阳 如图 透明的圆柱形容器 容器厚度忽略不 计 的高为12cm 底面周长为10cm 在容器内壁离容器底部3cm的点B 处有一饭粒 此时一只蚂蚁正好在容器外壁 且离容器上沿3cm的点A 处 则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 A 13cm B 2cm C cm D 2cm 考点 平面展开 最短路径问题 菁优网版权所有 分析 将容器侧面展开 建立A关于EF的对称点A 根据两点之间线 段最短可知A B的长度即为所求 解答 解 如图 高为12cm 底面周长为10cm 在容器内壁离容器底部3cm的点B处有 一饭粒 此时蚂蚁正好在容器外壁 离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处 A D 5cm BD 12 3 AE 12cm 将容器侧面展开 作A关于EF的对称点A 连接A B 则A B即为最短距离 A B 13 Cm 故选 A 点评 本题考查了平面展开 最短路径问题 将图形展开 利用 轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 同时也考查了同学们 的创造性思维能力 10 3分 2016春 德州校级期中 下列说法中正确的是 A 9的平方根是3 B 的算术平方根是 2 C 的算术平方根是4 D 的平方根是 2 考点 算术平方根 平方根 菁优网版权所有 分析 根据平方根 算术平方根的定义对各选项分析判断后利用排除 法求解 解答 解 A 9的平方根是 3 故本选项错误 B 4 的算术平方根是2 故本选项错误 C 的算术平方根是2 故本选项错误 D 4 的平方根是 2 故本选项正确 故选D 点评 本题考查了算术平方根 平方根的定义 要注意先求出的 值 这也是本题最容易出错的地方 11 3分 2016 余干县三模 如图 是三个等边三角形随意摆放的 图形 则 1 2 3等于 A 90 B 120 C 150 D 180 考点 三角形内角和定理 等边三角形的性质 菁优网版权所有 分析 先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60 用 1 2 3表示出 ABC各角的度数 再根据三角形内角和定理即 可得出结论 解答 解 图中是三个等边三角形 1 180 60 ABC 120 ABC 2 180 60 ACB 120 ACB 3 180 60 BAC 120 BAC ABC ACB BAC 180 1 2 3 360 180 180 故选D 点评 本题考查的是等边三角形的性质 三角形的内角和 熟知等边 三角形各内角均等于60 是解答此题的关键 12 3分 2016春 龙口市期中 按如图所示的程序计算 若开始输 入的n值为 则最后输出的结果是 A 3 B 15 C 3 3 D 15 7 考点 实数的运算 菁优网版权所有 专题 图表型 分析 按所示的程序将n 输入 结果为3 小于15 再把3 作 为n再输入 得15 7 15 7 15 则就是输出结果 解答 解 当n 时 n n 1 1 3 15 当n 3 时 n n 1 3 4 15 7 15 故选D 点评 本题以一种新的运算程序考查了实数的运算 要注意两方面 新的运算程序要准确 实数运算要准确 二 填空题 共5小题 满分20分 每小题4分 13 4分 2003 海南 一次数学测试 满分为100分 测试分数出 来后 同桌的李华和吴珊同学把他俩的分数进行计算 李华说 我俩分 数的和是160分 吴珊说 我俩分数的差是60分 那么 对于下列两个 命题 俩人的说法都是正确的 至少有一人说错了 其中真命题 是 用序号 填写 考点 推理与论证 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 根据满分为100分 若两人分数的和是160分 即使让其中一人 的得分最高是100 另一人的得分是60 则他们分数的差也不会是60 分 所以命题 是正确的 解答 解 若设李华的说法是真命题 则两个人的分数和为160分 若其中一人拿100分 另一人拿60分 那么他们的分差最大 为100 60 40分 60分 因此他们两人之中 肯定有人说谎 故本题的真命题是 点评 解决问题的关键是读懂题意 能够根据满分100分进行分析判 断 14 4分 2015秋 江阴市期中 在 ABC中 AB 13cm AC 20cm BC边上的高为12cm 则BC长为 21cm或11cm 考点 勾股定理 菁优网版权所有 专题 分类讨论 分析 分两种情况 B为锐角 B为钝角 利用勾股定理求 出BD CD 即可求出BC的长 解答 解 分两种情况 当 B为锐角时 如图1所示 在Rt ABD中 BD 5 cm 在Rt ADC中 CD 16cm BC BD CD 21cm 当 B为钝角时 如图2所示 在Rt ABD中 BD 5 cm 在Rt ADC中 CD 16cm BC CD BD 16 5 11 cm 综上所述 BC的长为21cm或11cm 点评 本题主要考查了勾股定理 熟练掌握勾股定理 画出图形 分 类讨论是解答此题的关键 15 4分 2015秋 江东区期末 如图 在 ABD中 AD 13 BD 12 若在 ABD内有一点C 其中AC 3 BC 4 C 90 则阴 影部分的面积为 24 考点 勾股定理 勾股定理的逆定理 菁优网版权所有 分析 先利用勾股定理求出AB 然后利用勾股定理的逆定理判断出 ABD是直角三角形 然后分别求出两个三角形的面积 相减即可求出 阴影部分的面积 解答 解 在RT ABC中 AB 5 AD 13 BD 12 AB2 BD2 AD2 ABD为直角三角形 阴影部分的面积 ABD的面积 ABC的面积 AB BD BC AC 30 6 24 故答案为 24 点评 此题考查了勾股定理 勾股定理的逆定理 属于基础题 解答 本题的关键是判断出三角形ABD为直角三角形 16 4分 2016 薛城区模拟 对于任意的正数m n定义运算 为 m n 计算 3 2 8 12 的结果为 2 考点 二次根式的混合运算 菁优网版权所有 专题 新定义 分析 根据新定义把所求的式子化为二次根式的和 积的形式 根据 二次根式的混合运算法则计算即可 解答 解 3 2 8 12 2 2 故答案为 2 点评 本题考查的是二次根式的混合运算 正确理解新定义的运算 掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键 17 4分 2012 常德 规定用符号 m 表示一个实数m的整数部 分 例如 0 3 14 3 按此规定 的值为 4 考点 估算无理数的大小 菁优网版权所有 专题 压轴题 新定义 分析 求出的范围 求出 1的范围 即可求出答案 解答 解 3 4 3 1 1 4 1 4 1 5 1 4 故答案为 4 点评 本题考查了估计无理数的应用 关键是确定 1的范围 题 目比较新颖 是一道比较好的题目 三 解答题 共8小题 满分64分 18 6分 2014春 永川区校级期中 计算 1 2 2 22 考点 实数的运算 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 1 原式利用平方根 立方根 以及绝对值的代数意义化 简 计算即可得到结果 2 原式利用平方根 立方根以及乘方的意义计算即可得到结果 解答 解 1 原式 2 4 2 2 原式 4 4 2 2 点评 此题考查了实数的运算 熟练掌握运算法则是解本题的关键 19 6分 2014春 邗江区校级期中 如图 已知 P Q 1 2 AB与ED平行吗 为什么 考点 平行线的判定 菁优网版权所有 专题 常规题型 分析 根据内错角相等 两直线平行由 P Q得到PB CQ 再根 据平行线的性质得 PBC BCQ 由于 1 2 根据等式的性质得 PBC 1 BCQ 2 即 ABC DCB 然后根据平行线的判定方 法即可得到AB ED 解答 解 AB ED 理由如下 P Q PB CQ PBC BCQ 1 2 PBC 1 BCQ 2 即 ABC DCB AB ED 点评 本题考查了平行线的判定 同位角相等 两直线平行 内错角 相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 两条直线都和第三条 直线平行 那么这两条直线平行 20 8分 2015春 繁昌县期中 如图所示 数轴的正半轴上有A B C三点 表示1和的对应点分别为A B 点B到点A的距离与点C 到点O的距离相等 设点C所表示的数为x 1 请你写出数x的值 2 求 x 2的立方根 考点 实数与数轴 立方根 菁优网版权所有 分析 1 根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的 值 2 把x的值代入所求代数式进行计算即可 解答 解 1 点A B分别表示1 AB 1 即x 1 2 x 1 原式 1的立方根为1 点评 本题考查的是实数与数轴 熟知实数与数轴上的点是一一对应 关系是解答此题的关键 21 8分 2016春 金乡县期末 如图 四边形ABCD中 AB AD 6 A 60 ADC 150 已知四边形的周长为30 求四边 形ABCD的面积 考点 勾股定理 等边三角形的判定与性质 菁优网版权所有 分析 连接BD 易证 ABD是等边三角形 BCD是直角三角形 因而只要求出CD与BD的长就可以求出结果 解答 解 连接BD 作DE AB于E AB AD 6 A 60 ABD是等边三角形 AE BE AB 3 DE 3 因而 ABD的面积是 AB DE 6 3 9 ADC 150 CDB 150 60 90 则 BCD是直角三角形 又 四边形的周长为30 CD BC 30 AD AB 30 6 6 18 设CD x 则BC 18 x 根据勾股定理得到62 x2 18 x 2 解得x 8 BCD的面积是 6 8 24 S四边形ABCD S ABD S BDC 9 24 答 四边形ABCD的面积是9 24 点评 考查了勾股定理和等边三角形的判定与性质 注意求不规则图 形的面积可以转化为求一些规则图形的面积的和或差的问题 22 8分 2016 陕西校级模拟 超速行驶是引发交通事故的主要原 因 上周末 小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段 尝试用自己所学 的知识检测车速 观测点设在到公路l的距离为100米的P处 这时 一 辆富康轿车由西向东匀速驶来 测得此车从A处行驶到B处所用的时间 为3秒 并测得 APO 60 BPO 45 试判断此车是否超过了每小 时80千米的限制速度 参考数据 1 41 1 73 考点 勾股定理的应用 菁优网版权所有 分析 首先利用两个直角三角形求得AB的长 然后除以时间即可得 到速度 解答 解 由题意知 PO 100米 APO 60 BPO 45 在直角三角形BPO中 BPO 45 BO PO 100m 在直角三角形APO中 APO 60 AO PO tan60 100 AB AO BO 100 100 73米 从A处行驶到B处所用的时间为3秒 速度为73 3 24 3米 秒 87 6千米 时 80千米 时 此车超过每小时80千米的限制速度 点评 本题考查了解直角三角形的应用 从复杂的实际问题中整理出 直角三角形并求解是解决此类题目的关键 23 8分 2003 烟台 设a b c都是实数 且满足 2 a 2 c 8 0 ax2 bx c 0 求代数式x2 x 1的值 考点 非负数的性质 算术平方根 非负数的性质 绝对值 非负数 的性质 偶次方 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 先根据非负数的性质和已知条件可以列出关于a b c的方程 组 解方程组求得a b c的值 再代入ax2 bx c 0 得x的方程2x2 4x 8 0解方程 再代入代数式求值即可 解答 解 2 a 2 0 0 c 8 0 而 2 a 2 解这个方程组得 2x2 4x 8 0 x2 2x 4 0 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 2 x 2 1 6 点评 此题主要考查了非负数的性质 如果代数式中的字母表示的数 没有明确告知 而是隐含在题设中 首先应从题设中获取x的值 然后 求代数式的值 24 10分 2003 烟台 细心观察下图 认真分析各式 然后解答 问题 2 1 2 S1 2 1 3 S2 2 1 4 S3 1 请用含n n是正整数 的等式表示上述变化规律 2 推算出OA10的长 3 求出S12 S22 S22 S102的值 考点 勾股定理 菁优网版权所有 专题 规律型 分析 此题要利用直角三角形的面积公式 观察上述结论 会发现 第n个图形的一直角边就是 然后利用面积公式可得 由同述OA2 0A3 可知OA10 S12 S22 S32 S102的值就是把面积的平方相加就可 解答 解 1 1分 n是正整数 2分 2 3分 3 S12 S22 S32 S102 5分 6分 点评 此题的关键是观察 观察题中给出的结论 由此结论找出规律 进行计算 千万不可盲目计算 25 10分 2013 黔西南州 阅读材料 小明在学习二次根式后 发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的 平方 如3 1 2 善于思考的小明进行了以下探索 设a b m n 2 其中a b m n均为整数 则有a b m2 2n2 2mn a m2 2n2 b 2mn 这样小明就找到了一种把类似a b的式子化为 平方式的方法 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题 1 当a b m n均为正整数时 若a b 用含m n的式 子分别表示a b 得 a m2 3n2 b 2mn 2 利用所探索的结论 找一组正整数a b m n填空 4 2 1 1 2 3 若a 4 且a m n均为正整数 求a的值 考点 二次根式的混合运算 菁优网版权所有 分析 1 根据完全平方公式运算法则 即可得出a b的表达式 2 首先确定好m n的正整数值 然后根据 1 的结论即可求出a b的值 3 根据题意 4 2mn 首先确定m n的值 通过分析m 2 n 1或者 m 1 n 2 然后即可确定好a的值 解答 解 1 a b a b m2 3n2 2mn a m2 3n2 b 2mn 故答案为 m2 3n2 2mn 2 设m 1 n 1 a m2 3n2 4 b 2mn 2 故答案为4 2 1 1 3 由题意 得 a m2 3n2 b 2mn 4 2mn 且m n为正整数 m 2 n 1或者m 1 n 2 a 22 3 12 7 或a 12 3 22 13 点评 本题主要考查二次根式的混合运算 完全平方公式 解题的关 键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则 考点卡片 1 非负数的性质 绝对值 任意一个数的绝对值都是非负数 当几个数或式的绝对值相加和为0 时 则其中的每一项都必须等于0 根据上述的性质可列出方程求出未知数的值 2 非负数的性质 偶次方 偶次方具有非负性 任意一个数的偶次方都是非负数 当几个数或式的偶次方相加和为0 时 则其中的每一项都必须等于0 3 平方根 1 定义 如果一个数的平方等于a 这个数就叫做a的平方根 也叫 做a的二次方根 一个正数有两个平方根 这两个平方根互为相反数 零的平方根是 零 负数没有平方根 2 求一个数a的平方根的运算 叫做开平方 一个正数a的正的平方根表示为 a 负的平方根表示为 a 正数a的正的平方根 叫做a的算术平方根 记作a 零的算术平方根 仍旧是零 平方根和立方根的性质 1 平方根的性质 正数a有两个平方根 它们互为相反数 0的平方根 是0 负数没有平方根 2 立方根的性质 一个数的立方根只有一个 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 0的立方根是0 4 算术平方根 1 算术平方根的概念 一般地 如果一个正数x的平方等于a 即 x2 a 那么这个正数x叫做a的算术平方根 记为a 2 非负数a的算术平方根a 有双重非负性 被开方数a是非负数 算术平方根a 本身是非负数 3 求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算 在求 一个非负数的算术平方根时 可以借助乘方运算来寻找 5 非负数的性质 算术平方根 1 非负数的性质 算术平方根具有非负性 2 利用算术平方根的非负性求值的问题 主要是根据被开方数是非 负数 开方的结果也是非负数列出不等式求解 非负数之和等于0时 各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题 6 立方根 1 定义 如果一个数的立方等于a 那么这个数叫做a的立方根或三 次方根 这就是说 如果x3 a 那么x叫做a的立方根 记作 a3 2 正数的立方根是正数 0的立方根是0 负数的立方根是负数 即 任意数都有立方根 3 求一个数a的立方根的运算叫开立方 其中a叫做被开方数 注意 符号a3 中的根指数 3 不能省略 对于立方根 被开方数没有限 制 正数 零 负数都有唯一一个立方根 规律方法 平方根和立方根的性质 1 平方根的性质 正数a有两个平方根 它们互为相反数 0的平方根 是0 负数没有平方根 2 立方根的性质 一个数的立方根只有一个 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 0的立方根是0 7 实数与数轴 1 实数与数轴上的点是一一对应关系 任意一个实数都可以用数轴上的点表示 反之 数轴上的任意一个点都 表示一个实数 数轴上的任一点表示的数 不是有理数 就是无理数 2 在数轴上 表示相反数的两个点在原点的两旁 并且两点到原点 的距离相等 实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距 离 3 利用数轴可以比较任意两个实数的大小 即在数轴上表示的两个 实数 右边的总比左边的大 在原点左侧 绝对值大的反而小 8 估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法 思维方法 用有理数逼近无理数 求无理数的近似值 9 实数的运算 1 实数的运算和在有理数范围内一样 值得一提的是 实数既可以 进行加 减 乘 除 乘方运算 又可以进行开方运算 其中正实数可 以开平方 2 在进行实数运算时 和有理数运算一样 要从高级到低级 即先 算乘方 开方 再算乘除 最后算加减 有括号的要先算括号里面的 同级运算要按照从左到有的顺序进行 另外 有理数的运算律在实数范围内仍然适用 规律方法 实数运算的 三个关键 1 运算法则 乘方和开方运算 幂的运算 指数 特别是负整数指 数 0指数 运算 根式运算 特殊三角函数值的计算以及绝对值的化 简等 2 运算顺序 先乘方 再乘除 后加减 有括号的先算括号里面的 在同一级运算中要从左到右依次运算 无论何种运算 都要注意先定符 号后运算 3 运算律的使用 使用运算律可以简化运算 提高运算速度和准确 度 10 二次根式的混合运算 1 二次根式的混合运算是二次根式乘法 除法及加减法运算法则的 综合运用 学习二次根式的混合运算应注意以下几点 与有理数的混合运算一致 运算顺序先乘方再乘除 最后加减 有括 号的先算括号里面的 在运算中每个根式可以看做是一个 单项式 多个不同类的二次根式 的和可以看作 多项式 2 二次根式的运算结果要化为最简二次根式 3 在二次根式的混合运算中 如能结合题目特点 灵活运用二次根 式的性质 选择恰当的解题途径 往往能事半功倍 11 方向角 1 方位角是表示方向的角 以正北 正南方向为基准 来描述物体 所处的方向 2 用方位角描述方向时 通常以正北或正南方向为角的始边 以对 象所处的射线为终边 故描述方位角时 一般先叙述北或南 再叙述偏 东或偏西 注意几个方向的角平分线按日常习惯 即东北 东南 西 北 西南 3 画方位角 以正南或正北方向作方位角的始边 另一边则表示对象所处的方向的射 线 12 平行线的判定 1 定理1 两条直线被第三条所截 如果同位角相等 那么这两条直 线平行 简单说成 同位角相等 两直线平行 2 定理2 两条直线被第三条所截 如果内错角相等 那么这两条直 线平行 简单说成 内错角相等 两直线平行 3 定理3 两条直线被第三条所截 如果同旁内角互补 那么这两 条直线平行 简单说成 同旁内角互补 两直线平行 4 定理4 两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线平行 5 定理5 在同一平面内 如果两条直线同时垂直于同一条直线 那 么这两条直线平行 13 三角形内角和定理 1 三角形内角的概念 三角形内角是三角形三边的夹角 每个三角 形都有三个内角 且每个内角均大于0 且小于180 2 三角形内角和定理 三角形内角和是180 3 三角形内角和定理的证明 证明方法 不唯一 但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起 组合成一个平角 在转化中借助平行线 4 三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数 直接根据两已知角求第三个角 依 据三角形中角的关系 用代数方法求三个角 在直角三角形中 已知 一锐角可利用两锐角互余求另一锐角 14 等边三角形的性质 1 等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形 等 边三角形是特殊的等腰三角形 它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法 可以得到它与等腰三角形的关系 等边三角形是等腰三角形的特殊情 况 在等边三角形中 腰和底 顶角和底角是相对而言的 2 等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等 且都等于 60 等边三角形是轴对称图形 它有三条对称轴 它的任意一角的平分线都 垂直平分对边 三边的垂直平分线是对称轴 15 等边三角形的判定与性质 1 等边三角形是一个非常特殊的几何图形 它的角的特殊性给有关 角的计算奠定了基础 它的边角性质为证明线段 角相等提供了便利条 件 同是等边三角形又是特殊的等腰