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2 1 3函数的单调性 中国在近七届奥运会上获得的金牌数 情景引入 德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据 艾宾浩斯记忆遗忘曲线 记忆保持量 百分数 天数 O 20 40 60 80 100 3 2 1 4 5 6 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是增函数 x1 x2 y f x f x1 f x2 新课学习 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 y f x f x1 f x2 x1 x2 注意 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数 就说这个函数在这个区间M上具有单调性 区间M称为单调区间 例题巩固 1 证明函数f x 2x 1在 上是增函数 则 证明 设是任意两个不相等的实数 且 所以函数f x 2x 1在 上是增函数 2 证明函数 在区间 0 和 0 上分别是减函数 证明 设是 0 内的任意两个不相等的负实数 且 则 同理 对区间 0 内的任意两个不相等的正实数 且 同样有 1 下图是定义在闭区间 5 5 上的函数y f x 的图象 根据图象说出y f x 的单调区间 以及在每一个单调区间上 y f x 是增函数还是减函数 解 函数y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 上是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 y f x 练习精讲 2 证明函数f x 3x 2在R上是增函数 证明 设x1 x2是R上的任意两个实数 且x1 x2 则f x1 f x2 3x1 2 3x2 2 3 x1 x2 由x1 x2 得x1 x2 0 于是f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以 f x 3x 2在R上是增函数 1 函数的单调性一般地 设函数f x 的定义域为I 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是增函数 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 函数是增函数还是减函数 是对定义域内某个区间而言的 有的函数在一些区间上是增函数 而在另一些区间上可能是减函数 例如函数y x2 当x 0 时是增函数 当x 0 时是减函数 课堂小结 2 单调区间如果函数y f x 在某个区间是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 这一区间叫做y f x 的单调区间 在单调区间上增函数的图象是上升的 减函数的图象是下降的 3 用定义证明函数单调性的步骤证明函数f x 在区间M上具有单调性的步骤 1 取值 对
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