2017_18学年高中数学第一章1.3.1柱体锥体台体的表面积与体积学案含解析.docx

13.1柱体、锥体、台体的表面积与体积柱体、锥体、台体的表面积与体积提出问题南京青年奥运会的前奏是奥运圣火的传递，圣火由“幸福之门”火炬承载，传遍五洲四海，弘扬奥林匹克精神“幸福之门”火炬外形是细长的圆台形式，燃料为丙烷问题1：能否计算出“幸福之门”火炬的外层着色需要覆盖多大的面积？提示：可以，即计算圆台的表面积问题2：能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷？提示：可以，即计算其容积导入新知1几种几何体的表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积旋转体圆柱底面积：S底r2侧面积：S侧2rl表面积：S2rl2r2圆锥底面积：S底r2侧面积：S侧rl表面积：Srlr2圆台上底面面积：S上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧l(rr)表面积：S(r2r2rlrl)2柱体的体积公式VSh(S为底面面积，h为高)；锥体的体积公式VSh(S为底面面积，h为高)；台体的体积公式V(SS)h.化解疑难对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识(1)等底、等高的两个柱体的体积相同(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系柱体、锥体、台体的表面积例1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A180 B200C220 D240答案D类题通法1求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积2结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解活学活用圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，求圆台的表面积解：如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，由于扇环的圆心角是180，则cSA210，解得SA20(cm)同理可得SB40(cm)，所以ABSBSA20(cm)所以S表S侧S上S下(1020)201022021 100(cm2).柱体、锥体、台体的体积例2(天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为_m3.答案2 类题通法求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积；同时，对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱体、锥体、台体的体积计算问题活学活用已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积解：如图所示，在三棱台ABCABC中，O，O分别为上、下底面的中心，D，D分别是BC，BC的中心，则DD是等腰梯形BCCB的高，所以S侧3(2030)DD75DD.又AB20 cm，AB30 cm，则上、下底面面积之和为S上S下(202302)325(cm2)由S侧S上S下，得75DD325，所以DD(cm)又OD20(cm)，OD305(cm)，棱台的高hOO 4(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V(S上S下)(3252030)1 900(cm3).简单组合体的表面积和体积例3已知ABC的三边长分别是AC3，BC4，AB5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积解如图，在ABC中，过C作CDAB，垂足为D.由AC3，BC4，AB5，知AC2BC2AB2，则ACBC.BCACABCD，CD，记为r，那么ABC以AB所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r，母线长分别是AC3，BC4，所以S表面积r(ACBC)(34)，Vr2(ADBD)r2AB25.所以，所求旋转体的表面积是，体积是.类题通法求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解活学活用一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案：典例把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积解设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h.当2r4，l2时，r，hl2，所以V圆柱r2h.当2r2，l4时，r，hl4，所以V圆柱r2h.综上所述，这个圆柱的体积为或.易错防范把矩形卷成圆柱时，可以以4为底，2为高；也可以以2为底，4为高容易漏掉一种情况，解决此类问题一定要考虑全面成功破障 如图，从底面半径为2a，高为a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比解：由题意知，S122aa2(2a)2(48)a2，S2S1a(2a)a2(49)a2.S1S2(48)(49)随堂即时演练1(全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20B24C28D32答案：C2若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A12 B1C1 D.2答案：C3(天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案：4圆台的上、下底面半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的侧面积为_答案：1005一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积解：表面积：(248) cm2，体积：8 cm3.课时达标检测一、选择题1.如图，ABCABC是体积为1的棱柱，则四棱锥CAABB的体积是()A.B.C. D.答案：C2如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于()A B2C4 D8答案：B3如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A6 B9C12 D18答案：B4(全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. B.C. D.答案：D5.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是()A4，8 B4，C4(1)， D8,8答案：B二、填空题6一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_答案：127(浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.答案：72328一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为_ cm2.答案：1 012三、解答题9如图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积(单位：cm)解：由三视图知该几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致长方体的长、宽、高分别是8,4,6，圆柱的高是8，底面半径是2，表面积为S8428624622222817620(cm2)，体积为V84622819216(cm3)，故该几何体的表面积为(17620)cm2，体积为(19216)cm3.1