数学人教版九年级上册方程思想的应用.doc

方程的转化与应用蒲阳镇中学 刘丽霞课程立意：数学的思想方法是数学学科的灵魂。它并非只是在解题中巧妙的解题思路或技巧，而是解决现实中实际问题的策略。我们在日常教学中对数学方法和数学思想的渗透总是感到学生学而不透，不能学而致用。本节课想通过的与数学相关的实际问题为载体，来培养学生对于方程思想的转化与应用。进而使数学思想方法 “内化”在学生的思维方式之中。教学目标：知识与技能：掌握一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组和分式方程的应用技巧。 体会并理解实际问题中如何转化为方程问题。过程与思考：通过列方程解实际问题的过程中，强化方程的模型思想，培养学生解决现实问题的意识和应用能力。 通过学生解决问题的深入探索。培养其归纳、概括的能力。情感态度与价值观：通过积极参与数学学习活动，培养学生独立思考、积极探索、团结合作的精神。 在用方程模型解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，培养应用数学的意识，提高学习数学的兴趣。重点与难点： 重点：学生经历和体验利用方程模型解决实际问题的过程。 难点：体会并理解实际问题中如何转化为方程问题。教学设计：教师活动学生活动设计意图课堂引入师：大家好，今天我们共同探讨学习一堂特殊的数学课，也同时向前来听课的老师表示热烈的欢迎。经过初中近三年的学习各位同学已掌握许多的数学技巧和方法，今天我就来考一考大家能否顺利地解决这些实际问题。大家有没有信心？好，我们开始！生：学生积极回应。 通过教师的语言提高学习兴趣，让学生积极参与教师的活动。教学活动（1）【例一】（2007年河北省）8我国古代的“河图”是由33的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等P 图4P图4给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是（ ） ABDC生：认真思考，呈现多样的做法，最终学生会发现题中的等量关系（每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等）。多种方法化归为等量关系，如果发现不到教师加以引导。利用一元一次方程可以解决。本题来源于生活为一元一次方程的应用，学生比较熟悉其中的等量关系很轻易的运用计算和方程的方法解决该问题。教学活动（1）师：请大家参加第一个活动，看你能否解决现实生活中的“河图”问题，如果解决请归纳一下你的解题思路。生：探讨问题，展现多种解题思路。师：点评三种做法并给于鼓励。师：好，各位同学静下心来，我们思考一下我们采用三种做法最终都是在求什么？生：都是求P处的数值。师：那么这个实际问题从问题的角度来观察你归纳这是什么问题？生：求值问题。师：求值问题可以采用什么方法来解决？生：方程、计算。师：你发现这些方法之间存在什么相同点。生：方程都是依据同一个等量关系。方法之间可以互相转化如二元可以变为一元的。方法一：计算。方法二：设：P处对应的点为x。解得：选C方法三：设二元一次方程。另外在学生解答的过程中提炼将实际问题中涉及求值的问题可以采用方程进行解决。必要时可以点拨方程建立的条件。教学活动（2）【例二】图10是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CDAB，且CD = 24 m，OECD于点E并交于半圆AB于点F，已测得OE=5m.求半径OD；图10AOBECDF师：完成第一环节，将OE=5m改为EF=8 m.结论不变。师：真棒！进入活动三，但是老师想进行一次比赛，请你看到题目后，给出正确的结果，开始！生：迅速完成。解：OECD于点E，CD=24ED =12在RtDOE中本题设有两个环节，学生在完成第一环节可以通过计算，也可以列方程。 但是完成第二环节时会发现当条件发生变化时，计算的方法不能解决该问题，必须转化为方程进行解决。利用勾股定理列一元二教学活动（2）师：统计表扬。现在老师改变一个条件其他不变，开始比赛！师：走下讲台巡查统计结果。感慨只改变一个条件就发生这样大的变化，看来我们必须要找到其中的原因。面向不会的同学提问：师：请问你有答案了吗？（没有）师：在做题中你碰到什么样的困难？（没有思路、没列出方程）师：表扬有方程思想的同学，上一活动中我们了解求值问题可以用方程的方法解决。鼓励！可是本问题应该顺利列方程来解决。（提醒方程产生的依据是等量关系）。寻求可以正确解答的同学，提炼其中的等量关系。（勾股定理）师：非常棒！在这活动中，条件的改变，问题不变的情况下就产生这样不同的情况，这里一定有特殊之处。（把两幅图呈现出来比较-标上未知量，列出相应的代数式。）你知道吗？生：计算解决不了的问题，方程可以解决！师：如果学生不能指明两种情况的差异，教师可以讲解，另外体现出方程比计算优越，方程是一种解决实际问题的重要模型，真心的希望大家可以将方程的思想内化到心灵的深处。OECD于点E，CD=24ED =12 在RtDOE中设OD=x m OE=(x-8)m次方程进行求解。想通过该设计凸现转化为方程解决的优势。教学活动（3）【例三】如图9，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的两根铁棒长度之和为55cm， 此时木桶中水的深度是 cm师：完成本题归纳方法。图9要求未知量可以建立方程进行求解。提炼题目的等量关系： 两根铁棒长度之和为55cm。 两根铁棒没入水中的长度相同。将等量关系再转化为方程。师：完成本题归纳方法。解：设两根铁棒长度分别为a cm和b cm。根据题意可知： 或答：木桶中的水深是20cm。解：木桶中的水深为xcm。根据题意可知： 解得：x=20cm答：木桶中的水深是20cm本题通过现实有趣的数学情景，将方程思想巧妙地蕴含其中此外，解法的多样性也是本题的一大特点，既可以形成一元一次方程的模型（设水的深度为未知数），又可以形成二元一次方程组的模型（设两根木棒的长度为未知数），还可以有其他方法这样使学生单向封闭的思路拓展成多维开放的思路，有效地培养了学生的创新思维能力议一议谈一谈 经过三个活动的探索方程的转化和应用。请你谈一谈你的心得和体会。我们接触形形色色的实际问题，我们发现在求值的情况下，我们不能一下就求出未知量的值，我们可以探索其蕴含的等量关系（有的是隐含的等量关系、有的是利用直角三角形的勾股定理、有的是利用平行四边形的性质、有的是利用相似的性质等）转化为方程，进而求值。学生畅谈归纳总结，提炼升华的过程。教学活动（5）【拓展】如图16，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=50，AD=75，BC=135点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0）QCDPBA图8（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQDC？师：完成本题归纳方法。（2）如图8，若PQDC，又ADBC，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t得50755t=3t，解得t=经检验，当t=时，有PQDC本题为2007年的中考26题运动类型题目，题目的第二问通过特定条件PQDC求t的值。通过化动为静的原则形成