定积分的换元法和分部积分法备课讲稿.doc

定积分的换元法和分部积分法备课讲稿 5.3定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 三、小结、作业微积分基本公式定积分法，不定积分法且使用方法与相应的不定积分法类似。 一、定积分的换元法我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。 1.第一类换元积分法（凑微分法）设函数在区间上连续，那么)(x f,b a?C xF dx x f)()(abx Fx dx f dx x x fbaba)()()()()(?例例1计算?303dx ex解解?303dx ex?30)3(33xd ex3033?xe)1(3?e例例2计算?10241dxx解解?10241dxx?102)2(1121dxx例例4计算?edxxx1ln1解解?edxxx1ln1?ex dx1)ln1()ln1(ex122)ln1(?212?23?例例5计算?462cosxdx?462cosxdx解解?4622cos1dxx?4646)2(cos22121x xddx?sin221)64(2146x?)211(211221?8124?2.第二类换元积分法设函数在区间上连续，函数)(x f,b a)(tx?满足,)()1(a?b?)(?badt ttf dx x f)()()(在（或）上具有连续导数，且)()2(t,)(b at?，于是注意:（ （1）换元前后，上限对上限、下限对下限； （2）不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着变。 例6计算?301dxxx（ （1）根号下为的一次式x解解，设t x?1，即12?t x，则dt t dx2?时，当且当0?x；1?t时，当3?x因此，2?t?212)1(2dt t?301dxxxdt ttt21212?21332?tt38?例7计算解解，设t x?,2t x?即，则dt tdx2?时，当且当0?x；0?t时，当4?x因此，2?t?4011dxxtdtt21120?4011dxx?20)111(2dtt?20|1|ln2t t?3ln24?（ （2）根号下为的二次式x例8计算解解t，x sin?设，t22?，则dt tdx cos?时，当且当0?x；0?t时，当21?x因此，6t?210221dxxx?210221dxxxtdtttcoscossin602?602sin tdtdtt?6022cos1602sin2121?t t?3sin216218312?例9计算解解t，x tan?设，t22?，则dt tdx2sec?时，当且当0?x；0?t时，当1?x因此，4t?10232)x1(dxtdt t223240sec)tan1(?40232sec)sec(1dt tt?40sint?10232)x1(dx?40sec1dtt?40cosdt t22?定理设)(x f在,a a?上连续，若)(x f为偶函数，则?aaadx x f dx x f0) (2)(；若)(x f为奇函数，则?aadx x f0)(.证证,)()()(00?aaaadx x fdx xfdx xf?0)(at xdt t f?adx xf0)(?adx xf0)(?adx xf0)(?adx xf xf0)()(?为偶函数；)(,)(20xfdx xfa?为奇函数。 )(,0xf证毕。 奇函数例10计算解解.1sin334225?dxx xxx?22cos sin2xdx x0?3342251sindxx xxx例11计算解解?22cos sin2xdx x偶函数?202cos sin2xdx x?202)sin(sin2x xd2033sin2t?32?),(),()()(x vx u a,b x v x u?上具有连续的导数在区间、设 二、定积分的分部积分法则由导数公式)()()()()()(x vx ux vxuxvxu?上求积分，有对等式两边分别在区间a,b?bababadx vu vdxu dxuv)(即即?bababaudv vduuv移项有?bababavdu uvudv分部积分公式定积分的分部积分公式的用法与不定积分的分部积分公式的用法类似。 例12计算解?xdx x0cos?xdx x0cos?00sin sinxdx xx)sin(0?x xd?0cos0x2?例13计算?102dx xex解?102dx xex?102)(21xe xd?10210221dx exex x?10222121xe e)1(412?e例14计算?30arctan xdxx解?30arctan xdxx)2(arctan302?xxd?302302)(arctan2arctan2x dxxxdxxx23021122?302)111(212dxx2332?30arctan212xx?例15计算.arcsin210?xdx解法11?210arcsinxdx?210arcsin xx?21021xxdx621?)1(112120221x dx?12?21021x?.12312?210)(arcsin xxd解法22?210arcsin xdx?60sin?tt分部积分?60sin?tdt216?60cos?t?.12312?)(sin60sinarcsin?tdtt xxt则换元例16计算?10)1ln(e-dxx解?10)1ln(e-dxx?1010)1ln()1ln(eex xdxx)()1ln(10?e-x dx?10111e-dxxx e?10)111(1e-dxxe?10|1|ln1?ex xe1?例17?402cos1?xxdx半角公式?x dxtan240?分部积分?40tan21?xxxdx tan2140?40sec ln218