2017_18学年高中数学第二章2.3.2数学归纳法的应用练习北师大版选修.docx

2.3.2数学归纳法的应用课后篇巩固探究A组1.若x-1,x0,则下列不等式正确的是()A.(1+x)31+3xB.(1+x1+xC.(1+x)-21-2xD.(1+xn2+1对于nn0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6答案:C3.某同学回答“用数学归纳法证明n+1(nN+)”的过程如下:证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的;(2)假设当n=k(k1,kN+)时有k+1,则当n=k+1时,=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由(1)(2)可知对于nN+,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于()A.从n=k到n=k+1的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从n=k到n=k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体解析:证明(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设时,f(2k+1)-f(2k)等于.解析:f(2k+1)-f(2k)=1+.答案:+5.已知x0,观察下列几个不等式:x+2;x+3;x+4;x+5归纳猜想一般的不等式为.答案:x+n+1(n为正整数)6.用数学归纳法证明(a,b是非负实数,nN+)时,假设当n=k时不等式(*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘.解析:对比n=k与n=k+1时的结论可知,两边只需同乘即可.答案:7.用数学归纳法证明不等式1+2(nN+).证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边右边,不等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时,不等式成立,即1+2.则当n=k+1时,1+2=2.所以当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式对任意nN+都成立.8.导学号35664046已知数列an满足:a1=,且an=(n2,nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)求证:对一切正整数n,不等式a1a2an2n!恒成立.(1)解将条件变为1-,因此数列为一个等比数列,其首项为1-,公比为,从而1-,因此得an=(n1,nN+).(2)证明由得a1a2an=.为证明a1a2an1不成立;当n=2时,左边=2+1=3,右边=,3,成立;当n=3时,左边=3+3+1=7,右边=31=3,73,成立.所以n的最小值n0为2.答案:B2.已知a1=1,an+1an,且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,先计算a2,a3,再猜想an等于()A.nB.n2C.n3D.答案:B3.用数学归纳法证明1+1),第一步要证的不等式是.解析:当n=2时,左边=1+=1+,右边=2,故填1+2.答案:1+1+nx(x-1,且x0,n1,nN+),知当n1时,令x=,则1+n,所以1+n,即(a+b)nan+nan-1b.当n=1时,M=N.故MN.答案:MN5.导学号35664047已知数列an的前n项和Sn满足:Sn=-1,且an0,nN+.(1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.(1)解当n=1时,由已知得a1=-1,即+2a1-2=0.a1=-1或a1=-1(舍去).当n=2时,由已知得a1+a2=-1,将a1=-1代入并整理得+2a2-2=0.a2=或a2=-(舍去).同理可得a3=.由a1,a2,a3,猜想an=(nN+).(2)证明由(1)的计算过程知,当n=1,2,3时,通项公式成立.假设当n=k(k3,kN+)时,通项公式成立,即ak=.则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=,将ak=代入上式并整理得+2ak+1-2=0,解得ak+1=或ak+1=-(舍去).即当n=k+1时,通项公式也成立.由可知,对所有nN+,an=都成立.6.导学号35664048设数列an满足a1=0,an+1=c+1-c,nN+,其中c为实数.(1)证明:an0,1对任意nN+成立的充分必要条件是c0,1;(2)设0c,证明:an1-(3c)n-1,nN+.证明(1)必要性:a1=0,a2=1-c.a20,1,01-c1,即c0,1.充分性:设c0,1,对nN+用数学归纳法证明an0,1.当n=1时,a1=00,1.假设ak0,1(kN+,k1),则ak+1=c+1-cc+1-c=1,且ak+1=c+1-c1-c0,故ak+10,1.由数学归纳法,知an0,1对所有的nN+成立.综上可得,an0,1对任意nN+成立的充分必要条件是c0,1.(2)设0c,当n=1时,a1=0,结论成立.当n2时,an=c+1-c,1-an=c(1-)=c(1-an-1)(1+an-1+).0c,由(1)知an-10,