高二数学第十章排列、组合和二项定理10.1分类计数原理与分步计算原理课件人教版.ppt

1 第十章排列 组合和二项定理 10 1分类计数原理与分步计数原理 分类计数 分步计数原理的理解与应用 2 做一件事情 完成它需要分成n个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事有n m1 m2 mn种不同的方法 2 分步计数原理 做一件事情 完成它可以有n类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n m1 m2 mn种不同的方法 1 分类计数原理 复习引入 3 3 分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么 不同点什么 答 共同点是 它们都是研究完成一件事情 共有多少种不同的方法 不同点是 它们研究完成一件事情的方式不同 分类计数原理是 分类完成 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事 深化理解 分步计数原理是 分步完成 即这些方法需要分步 各个步骤顺次相依 且每一步都完成了 才能完成这件事情 2020 3 2 4 4 何时用分类计数原理 分步计数原理呢 答 完成一件事情有n类方法 若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完成这件事情的方法总数用分类计数原理 深化理解 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成互相独立的这n步后 才能完成这件事 则计算完成这件事的方法总数用分步计数原理 2020 3 2 5 例1 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个 解法1 按个位数字是2 3 4 5 6 7 8 9分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别是1个 2个 3个 4个 5个 6个 7个 8个 则根据分类计数原理共有1 2 3 4 5 6 7 8 36 个 解法2 按十位数字是1 2 3 4 5 6 7 8分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别是8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 则根据分类计数原理共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 例题讲解 2020 3 2 6 例2 一个三位密码锁 各位上数字由0 1 2 3 4 5 6 7 8 9十个数字组成 可以设置多少种三位数的密码 各位上的数字允许重复 首位数字不为0的密码数是多少 首位数字是0的密码数又是多少 第一步 m1 10 第二步 m2 10 第三步 m2 10 解 按密码位数 从左到右依次设置第一位 第二位 第三位 需分为三步完成 例题讲解 根据分步计数原理 共可以设置n 10 10 10 1000个三位数的密码 2020 3 2 7 例2 一个三位密码锁 各位上数字由0 1 2 3 4 5 6 7 8 9十个数字组成 可以设置多少种三位数的密码 各位上的数字允许重复 首位数字不为0的密码数是多少 首位数字是0的密码数又是多少 第一步 m1 9 第二步 m2 10 第三步 m3 10 解 按密码位数 从左到右依次设置第一位 第二位 第三位 需分为三步完成 例题讲解 根据分步计数原理 共可以设置n 9 10 10 900个首位数字不为0的三位数的密码 2020 3 2 8 例2 一个三位密码锁 各位上数字由0 1 2 3 4 5 6 7 8 9十个数字组成 可以设置多少种三位数的密码 各位上的数字允许重复 首位数字不为0的密码数是多少 首位数字是0的密码数又是多少 第一步 m1 1 第二步 m2 10 第三步 m3 10 解 按密码位数 从左到右依次设置第一位 第二位 第三位 需分为三步完成 例题讲解 根据分步计数原理 共可以设置n 1 10 10 100个首位数字是0的三位数的密码 2020 3 2 9 若设置四位 五位 六位 十位等密码 密码数分别有多少种 答 它们的密码种数依次是104 105 106 个 由此可以看出 首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数 综上 可以设置各位上的数字允许重复三位数的密码103 1000个 首位数字不为0的密码数是9 102 900个 首位数字是0的密码数是1 102 100个 例题变式推广 2020 3 2 10 例3 要从甲 乙 丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班 有多少种不同的选法 解 从3名工人中选1名上日班和1名上晚班 可以看成是经过先选1名上日班 再选1名上晚班这两个步骤完成 上日班的工人选定后 上晚班的工人有2种选法 n 3 2 6 答 有6种不同的选法 先选1名上日班 共有3种选法 根据分步计数原理 所求的不同的选法数是 例题讲解 2020 3 2 11 例4 要将4封不同的信投递到3个不同的信箱 有多少种不同的投送方法 解 要将4封不同的信投递到3个不同的信箱 可以按照如下的四个步骤完成 n 3 3 3 3 34 将a信投入到一个信箱中 有3种投法 根据分步计数原理 所求的不同的投信方法数是 例题讲解 将b信投入到一个信箱中 有3种投法 将c信投入到一个信箱中 有3种投法 将d信投入到一个信箱中 有3种投法 投信模型 2020 3 2 12 1 如图 要给地图a b c d四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 染色问题 课堂练习 2020 3 2 13 1 如图 要给地图a b c d四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 染色问题 课堂练习 2020 3 2 14 第一步涂a m1 3种 第二步涂b m2 2种 第三步涂c m3 1种 第四步涂d m4 1种 1 如图 要给地图a b c d四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 染色问题 课堂练习 所以根据分步计数原理 得到不同的涂色方案种数共有n 3 2 1 1 6种 解 按地图a b c d四个区域依次分四步完成 注 a b c d四个区域涂法顺序的设计 15 2 如图 一蚂蚁沿着长方体的棱 从它的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条 a1 b1 c1 d1 a c d b 解 如图 从总体上看 如蚂蚁从顶点a爬到顶点c1需要三步走 从局部上看每步有不同的路径选择 所以 第一步 m1 3种走法 第二步 m2 2种走法 第三步 m3 1种走法 所以 根据分步计数原理 从顶点a到顶点c1最近路线共有 课堂练习 n 3 2 1 6条 16 关于分步计数原理的几点注记 各个步骤之间相互依存 且方法总数是各个步