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王红娟论文定稿范文 分类号编号xx010119毕业论文题目凸函数及其在不等式证明中的应用学院数学与统计学院姓名王红娟专业数学与应用数学学号281010119研究类型研究综述指导教师杨钟玄提交日期xx年5月原创性声明本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名:年月日论文指导教师签名:凸函数及其在不等式证明中的应用王红娟（天水师范学院数学与统计学院甘肃天水741000）摘要:凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。 本文论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。 本文论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。 关键词:凸函数;性质;不等式;Jensen不等式1引言在很多数学问题的分析与证明中,我们都需要用到凸函数,例如在数学分析、函数论泛函分析、最优化理论等当中.大家都熟悉函数()f x=2x的图像,它的特点是:曲线y=2x上任意两点间的弧线总在这两点连线之下,我们可以下这样一个定义:设()f x在,a b上有定义,若曲线()f xy=上任意两点间的弧线总位于直线的之下,则称函数()f x是凸函数.上面的定义只是几何描述性的,为了便于函数的应用,用严格的分式来定义是非常必要的.1.凸函数的定义、性质及判定定理1.1凸函数的定义设函数()f x在区间(,)a b上有定义,若对(,)a b上任意两点1x,2x和正数()0,1,总有()()(f x)(f x)121211fxx?+?, (1)则()f x为区间,a b上的凸函数.若不等式 (1)中的不等号改为严格不等号,则称()f x为(,)a b内的严格不等式.常见的凸函数有:()()()f x (01),lnkx kkf xxx=或均为(0,)+内的严格凸函数数学与统计学院xx届毕业论文2(ii)22()f xln(1+e),() (0)xf xcxc=+均为(0,)+内的严格凸函数1.2凸函数的几种等价定义设函数()f x在区间(),a b上有定义,()1对(,)a bix?及0.1,2,.nipi?=?1nii i=p=,恒有()()nniiiii i=i i=fp xpf x()2()()121212()f x,22f xxxx xa b+?对任意,恒有f()3对任意()1212,x x xa bxxx (1)xxx?=+1212()f x( (1)()f x (1)(f x)fxx?=+=221xxxx?1()f x121xxxx?+从而有212112()()x f x()()x f x()()xxxx f x?+?212111112()()x f x()()x f x()()x f x()()xxxxx f x?+?212111211()()x f x()()x f x()()()()x f xxxxx f xx?211121()()f x()f x()()()f xxxxxf x?所以有()()f xx()()f xx121121f xf xxx?同理可证()()f xx()()f xx212212f xf xxx?综上所述()()f xx()()f xx()()f xx12121212f xf xf xxxx? (4)()f x在区间(),a b上有定义,当且仅当曲线()f xy=的切线恒保持在曲线数学与统计学院xx届毕业论文3以下,则称()f x为凸函数.1.3凸函数的性质及定理()()()()f x,xa bxxa b (1)若与g均为区间上的凸函数，则f+g也是区间上的凸函数.()f x,a b (2)若为区间上的凸函数，则（）()f x,a b0,则是上的凸函数；（）0,()f x,a b (3)设()(),f xg x都是,a b单调非负凸函数,则()()()f x g xhx=也是,a b上的凸函数证明对任意1x,2x(),a b12xx0,nnniixx xxa b,=?则()f x11nniiiiiifx=?12nx xx=?此外，上式当且仅当=时，等号成立。 证明应用数学归纳法,当2n=时,由凸函数的定义知命题成立.设当数学与统计学院xx届毕业论文5nk=是命题成立.即对任意12,x x,kxa b设当nk=是命题成立.即对任意12,xx,kxa b及11kiia=,都有()11kkiiiiiia xa f x=?f,现设121,kkx xxxa b+?及i0,(1,2,i=1),k+111kii+=令1,1,2,1iikaik+?=?则111kiia+=,有数学归纳假设可推得11x2211()kkkkfxxx+?11x221111( (1)1kkkkkkxxfx+?+?+=?1112211 (1)(f ax)()kkkkka xaxf x?+?1112211 (1)()()()()kkkkka f xa f xaf xf x?+?1211112111 (1)()f x()()()111kkkkkkkkff xf xx?+?=+?11()f xkiii+=这就证明了对任何正整数2n,凸函数总有不等式11()f xnniiiiiix=?f成立.2.3Holder不等式1对任给定的,0,(1,2,).niia bi=?证明:11111qqnnnppi iiiiiia bab=?,111 (0)ppq+=;证明令11iinppiiaa=?11iiqqniibb=?数学与统计学院xx届毕业论文6则11pnii=11qnii=1111qppqiiiiiinqnpiiiibapqpqab=?+=+11111ni iiiiqqnnppiiiia bab=?+?111pq+=所以11111qqnnnppi iiiiiia bab=?+?即11111qqnnnppi iiiiiia bab=?+?2.4Holder不等式2,p q定义如前,(),()f xgx在,ab上可积,证明:11()()f xgxd x()f x()g xbbbpqpqaaa（范数形式为1.pqf gfg）证明用定积分定义证明,将,abn等分,设1,kkknn?,由Holder不等式1得()()111()11pqnkkipqnnfgkkiifg=?两边同时乘以ban?,由111 (0)ppq+=得:数学与统计学院xx届毕业论文7()11111()(g)pqpqnnnkkkkiiibababaffgnnn=?当n时,由(),()f xgx的可积性得11()()f xgxd x()f x()g xbbbpqpqaaa3.凸函数在不等式证明中的应用3.1利用Jensen不等式1和凸函数性质证明不等式例1在ABC?中,求证:()133sinsinsin2ABC+()233sinsinsin8ABC?()3若ABC?为锐角三角形,则tantantan33ABC?.证明 （1）令()sin,(0,),f xxx=?由()f x,则0()f x在(0,)是凸函数.所以由Jensen不等式1得:sinsinsinsin33ABCABC+?,即得:sinsinsin3sinsin3332ABCABC+?=故33sinsinsin8ABC （2）()f xln,(0,)xx=?,由()0f x,则()f x为(0,)上的凸函数.所以由Jensen不等式1得:ln(sinsinsin)3ABC?=?lnsinlnsinlnsin3ABC+?sinsinsin3ln3ABC+?数学与统计学院xx届毕业论文8又由 （1）知:33sinsinsin2ABC+,所以有:sinsinsin3ABC+32则有ln(sinsinsin)ABC?3?sinsinsinln3ABC+?3ln?32=3ln32?=33ln()8?所以:33sinsinsin8ABC （3）,A BC(0,),2而32sin(tan)xxcox x=在(0,)2上恒大于零.所以tan x在(0,)2是凸的.所以由Jensen不等式得:tantantantan33ABCABC+?又tantan333ABC+?=?=所以tantantan3ABC+3即tantantanABC+33又tantantantantantanABCABC+=?证明如下(tantantan)ABC+=()tantantanABAB?+?+?=tantan(tantan)1tantanABABAB+?=22tantantantan1tantanABABAB?tantan(tanBtan)1tantanAABAB+=?tantantantantantan()ABCABAB?=?+=tantantan()ABAB?+数学与统计学院xx届毕业论文9tantan(tanBtan)1tantanAABAB+=?所以tantantanABC?333.2利用Jensen不等式2和凸函数性质证明不等式例2用凸函数的方法证明代数平均数于几何平均数，在条件0,iiqxI?1,2,in=?并且有121nqqq+=?下,设0,ia1,2,in=?.证明12121a1a1annnna aa+?12naaan+?证明设()f x=ln x?,(0,),x?+有21()f x0x=根据定理1知()f x=ln x?在(0,)x+上是严格凸函数,根据Jensen不等式2,得()11221122()()()nnnnf qxq xqxq f xq f xq f x+?,其中(0,)ix?+,iq0,1,2,in=?,并且又取iixa=(0,)+,iq=1n,1,2,in=?,121nqqq+=?则有1212lnlnlnlnnnaaaaaannnnnn?+?等价于式子111121212lnlnlnlnlnnnnnnnnaaaaaaa aan?+?+=?即1212nnnaaaa aan+?即不等式的后半部分成立只需证明不等式12121a1a1annnna aa+?成立即可同理有数学与统计学院xx届毕业论文1012121111lnlnlnln1x1x1xnnnnxxx?+?12lnnnx xx=?所以12121a1a1annnna aa+?于是,nN?,有12121a1a1annnna aa+?12naaan+?3.3凸函数在积分不等式中的应用例3设()f x是区间,ab上的凸函数,则()f xdx()f a()f b122baabfba+?证明由()f x的凸性保证了()baf xdx有意义,当,2abxb+?,2ababxa+?+?,有11 (2)222abxabxfffxabx+?=+?11()f x()22f abx+?因此()f xdx()f xdx()f xdx22ab+bba b+aa=+令,xabu=+?得()f xdx()22ab+ab+abf abu du+?=?=()2ba bf a+bx dx+?因此()()2()f xdxbaf xdxba b+f abx=+?+,又()()1111()f x,2222f abxfabxx?+?+?+数学与统计学院xx届毕业论文11()()f x()11222f abxfabxx?+?+?+所以()()2()f xdxbaf xdxba b+f abx=+?+()211222ba bf+abxx dx?+?+22()2(f)222ba b+abab bafdx+?=即()f xdx12baabfba+?另外令,bxba?=得()f x (1)()f a (1)(f bfab?=+）()f a()f baf b dxa (1)bbxxafabxabba?x+,有()fxdx()f adx()bbaaabbab?+()f a()()2f bba+=?所以()fxdx()()1?2baf afbba+综上所述不等式()fxdx()fa()fb122baabfba+?成立.4.凸函数的推广4.1凸函数的定义推广定义1若区域2DR?满足:其中任意两点的连线仍属于D,即11221212(,x y),(,),(0,1),( (1), (1)x yDxxyyD?+有,则称D为凸区域.定义2设D为凸区域,1122(,x y),(,)x yD?,(0,1),?数学与统计学院xx届毕业论文12若有12121122 (1), (1)(,fx y) (1)(fx y,)fxxyy?+,则称(),fx y为D上的凸函数.4.2凸函数的性质及定理推广4.2.1凸函数的性质推广设二元函数(),fxy在凸区域D上有定义,函数(),fxy为D上为凸函数，则以下命题成立.()()111211,p xypx yD?,线段12p p上一点(),p xy，不妨设12xxx12(),yyy，所以有11211121121221(,)()(,)()()()xyf xyxxf xyyyxxyy+?+?2211(,)(,fxy)fxy?得221111211121(,)(,fxy)(,)()(,)()xyfxyf xyxxf xyyy+?+?4.2.2凸函数的定理推广定理2（Jensen不等式）(),fxy是凸区域D上凸函数的充要条件是(),iix yD?及101,niii?=()1,2,in=?有()11,nniiiiiiiifxyf xy=?证明充分性当n=2时有定义知命题成立.假设当n=k时命题成立,即:101,kiii?=()1,2,ik=?.有()111,kkkiiiiiiiiifxyf xy=?当n=k+1时,(,xy)iiD?及0i?且()111,1,2,1kiiik+=+?,令1,1iik+?=1,2,.ki=?则0i且11kii=,()()11111111111111,1,111kkkkiiiikikkkikkiiiikkfxyfxxyy?+?+=+?=?数学与统计学院xx届毕业论文14()()111111111,1kkkiikkkiikkiifxxyy?+?+=?=()()11111111,kkkiiiikkkkiifxyxf xy?+=?()()()1,11111,kkiiikkkif xyf xy?+=()()11111 (1),kkiiikkkif xyf xy?+=()()1111,kiiikkkif xyf xy+=()11,kiiiif xy+=即当n=k+1时成立,根据数学归纳法知命题成立.必要性显然.证毕.结束语凸函数的应用领域非常广泛，特别是