从历史角度讲现代数学——推荐《普林斯顿数学指南》.pdf

从历史角度讲现代数学 推荐 普林斯顿数学指南 陈 跃 上海师范大学数学系 本文所讨论的现代数学发展历史主要是指在 世纪中发展起来的基础数学的历史 世纪是 数学飞速发展的世纪 数学知识出现了前所未有 的爆炸 据粗略估计 全部数学的 是在 世纪中创造的 如今的数学真正成为了人类知识 领域中最博大精深的一个 其抽象与艰深的程度 登峰造极 这对学习现代数学的人们来说形成了 巨大的挑战 中国的基础数学专业学生在学习现代基础 纯粹 数学时 接触的基本上都是高度抽象和形 式化的逻辑推理体系 刻板冷漠的 定义 定理 证明 推论 四步曲格式容易使他们感到困惑 不 知道如此抽象与复杂的理论是为了什么 它们到 底要解决什么问题 为什么要学习与研究它们 弄清楚教材中众多的概念和定理的证明 这 只是第一步 对于学习者来说 最大的困难还在于 如何正确理解和全面把握现代数学 曾 说 在数学中 要讲述真理是极其困难的 数学理 论的形式化的陈述并没有讲清全部的真理 数学 理论的真理更象是当我们在听一些专家所做的漫 不经心的随口评述时 我们去捕捉专家评述的动 因后才会感触到的体味 当我们最终搞清楚典型 的例子时 或是当我们发现了隐藏在表面化诸问 题之后的实质问题时 我们才品尝到数学之真 哲 学家和精神分析学要解释 为什么我们的数学家 习惯于系统地擦去我们走过的足迹 科学家们总 是不理解地看待数学家的这种怪异的习惯 而这 种习惯 自 毕 达 哥 拉 斯 以 来 直 至 今 天 几 乎 没 有 改变 这样分析其中的原因 数学有一个 本性的趋向 利用抽象和一般化 由此而将 广泛领域中的素材加以综合与提炼 形成简单而 又统一的概念与方法 去处理各种各样复杂的情 况 这个过程有时被称为 压缩 有意思的是 这 种很有效的知识形成过程却对进行教学的数学家 来说是一个障碍 他在这时必须担当起 解开压 缩 的角色 这样才能让那些自主研究学习能力不 强的学生来逐渐理解数学 讲授现代基础数 学的教材往往是在相应分支学科内已经成为经典 的研究专著的一个简编 虽然在这些被公认为是 必读的专著中具有一些最基本的成果和少量适用 于基础课教学的启发性材料 但从总体上看 这些 专著的主要目的还是为了清理该分支学科发展初 期难免的混沌状态 完整精确地建立已有各结果 之间的逻辑联系 并尽可能精炼地得到最一般的 结果 这样做对该分支学科以后进一步的研究与 发展来说是十分必要的 也是由数学的本质特性 所决定的 但是 和许多两难的问题一样 这个提 炼与抽象的 压缩 过程同时也切断了与以往工作 的联系 即擦去了 走过的痕迹 最后定型的概念 和成熟的方法一般来说不能反映数学思想发展的 实际进程 它们必定会给初学者造成理解上的极 大困难 所说的 解开压缩 实际上就是按照 数学发展的顺序来讲授现代数学 也就是将数学 思想逐步演进的历史过程与数学严格的逻辑推理 过程有机地结合起来 补上必要的被舍弃的中间 过程 使学生理解精炼抽象的概念与定理背后的 真正内涵 这种被称为 历史途径法 的教学方法不是 简单地在传统的只讲逻辑推理的课程中堆砌一些 数学史料和数学家的生平故事来调节数学的枯燥 叙述 而是直接在历史的框架中来讲授数学课程 数学通报 年 第 卷 第 期 的内容 从而更容易抓住现代数学的本质内容 数 学教育的研究已经证实数学历史的发展过程与学 习者个人认识理解数学的心理程序有极明显的相 似之处 因此历史途径法对于数学 尤其是现代 基础数学 的教学有极大的帮助 为学生考虑 历 史途径法一般都用历史上曾经出现过的原始数学 问题来引入教学的主题 采用具体简单的素材作 铺垫 从中引导出抽象的数学概念与命题 并且运 用前人具有启发性的有趣朴素想法来解决一些相 对简单的问题 这样可以揭示出抽象的数学概念 与方法的实际内涵 并且使初学者不受纷繁复杂 的表面逻辑现象的干扰 由于我们已经了解了数 学后来的发展过程 所以可以选取对以后的发展 来说是至关重要的思想和方法 也就是用历史发 展线索在大量复杂的知识体系中找出基本的概念 与方法 并且将具体的历史演进过程与学科严密 的逻辑推理体系巧妙地结合起来 由浅入深地合 理编排有关教学内容 说 为了 得到真正有用的想法 我们假想我们的前人从问 题出发 没有经过迂回曲折的探索过程 而是合情 合理地直接找到了解决的方法 在这里我想着重 强调的是 虽然这种直线式的思考过程显得十分 粗糙 并带有一定程度的虚构成分 但是暂时不会 有什么麻烦 不必顾虑重重 在此过程中我们 还可以采用今天的简洁记号和更简单的基本概念 来表述历史上数学家们取得的基本成果 包括记 号演变在内的数学真正的历史其实是非常复杂 的 所以严格说来 历史途径法所涉及的 历史 只 能是一种简化的历史 虽然与真实的历史有一段 距离 但却是教学所需要的 在现代数学中 许多重要的基本概念和方法 都是经过了多次反复抽象和推广而得到的 所以 它们在本质上是互相联系的 显示了高度的统一 性 只有通过让学生不断地积累经验和进行反思 最好是能够亲自观察和体验抽象与拓广的过程 才能使他们悟出表面上完全不同的题材其实是在 讨论同一件事 只不过是抽象的层次和抽象的方 向不同 历史途径法在教学过程中部分地还原了 数学创造的过程 让学生在学习较高层次的理论 前先经历较低层次的抽象过程 这样才能让学生 领悟所学知识的真正内涵 并且把握数学以后发 展的方向 例如相邻分支学科之间的交叉与融 合 当然这时候一些重要结论的导出和定理的证 明并不是用现代最快捷的方式得到的 定理的结 论也经常不是最一般的情形 可能还要适当淡化 课程理论体系的完整性 增加一些相邻学科的内 容 舍弃一些次要的或技巧性比较强的内容 很多 时候从表面上看好象没有用到历史材料 也不出 现数学家的姓名 但是只要是从一般数学发现和 学生认知学习的规律出发 来想象和还原数学发 现的过程 并先在一些具体的相对比较简单的场 合中总结规律 得到命题 然后再进行适当的推 广 这同样也可以理解为是在 广义 地使用历史 途径法 这一方面是因为数学发展的一个本质特 征是 不断地从个别的具体材料抽象出一般的概 念和适用面更广的方法 许多在一般 或高维 的 情形成立的结论都是先从特殊 或低维 的情形得 到的 另一方面 很多教学内容的创始者及相关的 历史材料也是很难找到的 特别是一些常规的教 学内容和小的知识点就更是如此 这时 只能对历 史上数学知识的发现过程作出一些合理的推测 历史途径法的目标是要努力达到严格推理的 形式化与直观启发的非形式化之间的平衡 这样 就对教师和教材的编著者提出了相当高的要求 需要具备深刻的洞察力和付出艰苦的努力 容易 发现他们中有不少是有很深造诣的数学家 有的 时候 很难把具有复杂逻辑结构的学科基础知识 完全纳入到历史发展的框架中来加以演绎推导 而只能部分地采用历史途径法 此外 与许多数学 家喜欢的提纲挚领式的简练写作风格相反 用历 史途径法写的教科书会抓住重点和关键的内容 用较长的篇幅不厌其烦地展开必要的细节叙述 从国外已经出版的数十本用历史途径法写的 现代基础数学教材的反映看 历史途径法非常有 利于学生学习抽象的现代基础数学 它可以揭开 现代数学的神秘面纱 降低学习的难度 使学生产 生继续学习和研究的兴趣 和中学讲的初等数学 以及大学本科讲的近代数学相比 历史途径法对 于现代基础数学的教学帮助更大 甚至可能是不 可或缺的 由美国普林斯顿大学出版社在 年出版 的 普林斯顿数学指南 以下简称 指南 是一本 帮助现代数学初学者的综合普及类工具书 篇幅 年 第 卷 第 期 数学通报 达一千页 它不同于一般的百科辞典的地方是 尽 量用通俗浅显的语言和历史途径法来深入浅出地 解释现代数学的基本思想 而不是面面俱到 并且 适当降低准确性 指南 总共包含有 一 引言 二 现代数学的起源 三 数学概念 四 数学的分支 五 定理与问题 六 数学家 七 数学的影响 和 八 看法与建议 等八个部 分 其中第一部分和第八部分是用平易的语言向 学生介绍现代数学大致包含的内容 研究数学所 要达到的目标以及对于学习的建议 第二和第六 部分简要介绍了数学发展的历史以及重要数学家 的生平 第七部分比较全面地介绍了数学对自然 科学和社会科学的各种应用和影响 而介绍现代 数学各主要分支的第四部分是整本 指南 最重要 的部分 第三和第五部分则是进一步解释第四部 分所涉及的一些现代数学最基本概念和最重要定 理的具体内容 虽然 指南 不是一本严格意义上的教科书 但是它在其第四部分介绍现代数学的主要分支学 科时 按照 世纪数学历史发展的主要线索 力 求通俗地介绍现代数学各主要分支学科所要解决 的问题和一些有代表性的成果 为此 指南 尽量 减少使用高深的专业术语 并且选取对解决研究 生专业基础课教学难点有帮助的历史素材和至关 重要的思想方法 努力还原被擦去的 走过的痕 迹 由于没有象教科书那样有比较严密的理论体 系限制 指南 可以更充分地利用历史途径法来 深入浅出地解释现代数学主流学科中一些最基本 成果的内涵 在这方面 指南 的第四部分有点象 前苏联著名数学家为普及数学知识而撰写的名著 数学 它的内容 方法和意义 只不过前者 是讲现代数学 后者主要是讲 与 世纪的近 代数学 相比较而言 指南 讲解现代数学的难度 自然更大 此外在 指南 的第四部分极其有限的 两百页左右的篇幅内 不包括介绍应用数学和计 算数学 只能对现代基础数学各主要学科中极少 的基本内容运用历史途径法来进行解说 在现代基础数学众多的大大小小各种分支学 科中 指南 着重强调了数论 代数几何 拓扑 表 示论等分支学科的重要性 这是特别值得我们注 意的 根据 世纪数学发展的主要潮流 尤其是 最近几十年的情况 和在未来的发展前途 该书认 为目前现代基础数学的分支学科主要有代数数 论 解析数论 代数几何 算术 代数 几何 代数拓 扑 微分拓扑 参模空间 表示论 调和分析 偏微 分方程和算子代数等十几门主流的分支学科 这 与目前我们对现代基础数学分支学科的划分与强 调有不小的差异 我们比较重视实变函数论 泛函 分析 抽象代数 整体微分几何以及偏微分方程等 经典学科 但是另一方面 对数论 代数几何以及 拓扑等主要学科 我们缺乏必要的关注与投入 例 如目前在国内数百所设置基础数学专业的高校 中 开设代数几何课程的学校数不超过个位数 而 迄今为 止 国 内 出 版 的 代 数 几 何 中 文 教 材 只 有 一本 如果我们将代数数论与解析数论合称为 数 论 将代数几何 算术 代数 几何与参模空间合 称为 代数几何 将代数拓扑与微分拓扑合称为 拓扑 将表示论与调和分析合称为 表示论 将 偏微分方程与算子代数合称为 分析 那么 指 南 实际上就认为在目前现代基础数学所包含的 几十个分支学科中 最主要的分支学科是数论 代 数几何 拓扑 表示论和分析等五个比较大的学 科 指南 对于现代基础数学主要分支的这种强 调的重要意义在于 它能帮助我们从浩如烟海的 数学文献中辨别出基础数学未来进一步发展的主 要方向 从 世纪数学发展的历史我们可以看到 数论 代数几何 拓扑 表示论以及分析这五个主 要学科已经成为整个现代数学的核心部分 联系 着基础数学的各个分支 显示了强大的生命力 下面就以数论 代数几何以及拓扑这三个主 要学科为例分别对 指南 第四部分的内容及其与 世纪数学发展之间的紧密联系作一些简要的 分析与说明 数论 不少人以为数论基本上就是研究整数的初等 数论 这是一个很大的误解 实际上 经过高斯 库 默尔 狄利克雷 黎曼 戴德金和希尔伯特等人的 努力 世纪的数论就已经突破初等数论的范围 而产生了代数数论和解析数论的基本理论 到了 世纪 数论与抽象代数 代数几何 多复变 调 和分析 表示论和自守形式等学科相互促进 发展 成了蔚为大观的现代数论 在自身发展的同时 数论也触发了现代数学中的许多重要进展 从而 数学通报 年 第 卷 第 期 在现代数学的发展中起到了领头羊作用 现代数 论包括了类域论 局部域理论 函数域理论 韦依 定理 模形式理论 代数簇的算术理论 近代分圆 域理论 费马大定理 朗兰兹猜想 以及 几何等理论 指南 按照数论发展的历史途径 从古典的 二次无理数逼近问题逐步引入二次代数整数环的 概念 然后直接讨论其至关重要的唯一分解问题 因为试图证明费马大定理而导致人们关注这一 重要问题 为了弄清楚影响唯一分解性质的 障 碍 指南 用具体的计算例子介绍了高斯的重要 发现 即可以用二元二次型来度量二次代数整数 环是否具备唯一分解的性质 以及如果不具备的 话在何种 程度 上具备 然后再开始引入戴德金 非常基本的 理想 概念 将二元二次型所涉及的 繁琐计算逐步转化为理想的运算 并且能非常自 然地形成理想类群和理想类数这两个更抽象的概 念 以便用来衡量唯一分解性质 指南 详细介绍 的另一个衡量唯一分解性质的工具是经典的椭圆 模函数 它在某些代数整数上的取值也是代数整 数 这就引出了克罗内克希望的将某些他感兴趣 的代数数表示成某些解析函数的值的 青春之 梦 这个梦想的范围后来不断扩大 伴随着代数 几何与群表示论的加入 最终导致产生了庞大的 朗兰兹猜想 代数几何 依 的观点 代数几何在 世纪现代数学的发展历史中占据着一个中心 的位置 这是因为在 世纪基础数学各主要分支 学科的发展过程中 代数几何所起的推动作用最 大 抽象代数 代数拓扑与微分拓扑 整体微分几 何以及分析中许多重要的理论都是因代数几何的 需要而提出的 所以说代数几何是 世纪数学统 一化的一个主要源动力 在大多数 世纪基础数 学重大进步 例如获得菲尔茨奖和沃尔夫奖的工 作 的背后 总能看到代数几何的影子 代数几何 与数论 拓扑 抽象代数 多复变函数 复几何 代 数群以及表示论等学科有着极密切的联系 常常 交织在一起密不可分 只有对这些相关学科都有 所涉足 才能对代数几何有比较深入的了解 因此 代数几何也可以看成是一门综合性的学科 这是 代数几何比较难学的主要原因 代数几何最早起源于在 和 世纪牛顿和 等人关于平面代数曲线的研究工作 到了 世纪上半叶射影几何登场后 才开始出现关于 曲线和曲面的初步的代数几何理论 然后黎曼在 研究阿贝尔积分理论的过程中提出了内蕴的黎曼 面概念和代数函数的理论 打开了通向现代代数 几何的大门 在这之后 分析学派 几何学派和代 数学派分别用他们自己的语言进一步发展了这门 不同寻常的学科 一直要等到 世纪的中叶 当 整体微分几何 多复变函数 抽象代数 以及拓扑 学得到充分的发展后 才有可能 在这几个学派工作的基础上 用更精确的代数与 拓扑工具 更先进的几何思想将经典的代数簇理 论推广成适用面更广的 概形 理论 从而将代数 几何打造成了一个极其完美的理论体系 促进了 世纪下半叶代数几何的大发展 代数几何的历史可以帮助我们学习与理解高 度抽象的代数几何 在其用历史 途径法编写的名著 基础代数几何 中说 类 似于 生物个体发育重演该物种整体进化过程的 生物发生律 学生在重复经历了代数几何历史演 变的大致过程后 将会更清楚地掌握该学科的逻 辑体系 指南 依照代数几何发展的历史途径 先从古老的多项式谈起 该书作者甚至认为不妨 可以简单地将代数几何看成是 用多项式研究几 何 用几何的想法研究多项式 的学科 多项式虽 然是一种非常特殊的初等函数 但是它的零点集 却可以用来代表大多数的流形 因此多项式非常 有用 特别是从中体现出来的代数与几何相互作 用的方式 具有普遍的意义 指南 用直观和具体 的简单例子解释了最基本的 定理 零点定 理 以及相交重数 维数和奇点分解等基本概念 对于抽象的概形概念 指南 也是从最经典的初 看上去与几何毫无关系的 丢番图 不定方程入 手 用一种简单的比喻方法解释了如何将代数簇 的几何研究转化为对相关坐标环的代数研究 例如 不可约簇对应于整环 代数研究的好处是可以将 有关结果进一步推广到更一般的情形 目标是实现 人们长久以来希望的将代数几何与代数数论统一 起来的梦想 指南 进一步指出 由于不是每个环 都可以成为代数簇的坐标环 那么为什么不能发明 一种广义的几何对象 使得每一个环都可以成为这 年 第 卷 第 期 数学通报 种广义几何对象的 坐标环 呢 而这种新的几何 对象就是著名的概形 在概形上 可以用精细的纯 代数的方法来研究各种抽象的 几何性质 这样就 为解决一大批重要的经典问题开辟了道路 这种将问题 几何化 的强有力方法也用在了 许多几何与拓扑对象的分类问题中 此时所构造 的概形就是参模空间 参模空间的思想方法是试 图从整体的视角来研究某种数学对象 传统的方 法是先通过某些特定的几何结构的计算 例如度 量 来获取拓扑不变量 然后再设法证明这种计算 与所选取的几何结构无关 而参模空间的新方法 是同时对所有的这种类型的几何结构进行计算 例如某种积分 如果能证明收敛性 则所获得的 结果自然就不依赖于特定的几何结构 微分拓扑 中 理 论 理 论 以 及 理论 还有现代数论中费马大定 理的证明过程等 都要用到参模空间的这种思想 方法 当然对于复杂的参模空间概念 指南 不会 直接给出其抽象的定义 而是从讨论射影平面上 过原点的全体直线组成的最简单的参模空间开 始 将其归结为一个线丛 这样就可以用示性类来 找出有关的拓扑不变量 接下来用比较多的篇幅 重点介绍了曲线的参模问题 这也是历史上的原 始问题 先用一种比较简单的取商空间的比较粗 略的方式给出了椭圆曲线的参模空间的概念 这 个空间中的每一个点都对应了一条椭圆曲线 然 后再从内蕴的黎曼面的角度来仔细地给出曲线的 参模空间 因为此时每一条曲线对应了一个黎曼 面 特别地 亏格为 的曲线对应了椭圆曲线 而 后者可以表示成复环面 接着再将复环面与上半 复平面上的点联系起来 从而得到了椭圆曲线的 参模空间 指南 还进一步介绍了亏格为 曲线 的参模空间的构造方法 为简易起见 以上所有关 于参模空间的讨论均不涉及概形的概念 拓扑 拓扑学主要研究在连续变形下关于几何形状 的不变性质 它曾被 誉为现代数学 的 女王 这主要是因为拓扑学的思想方法已经 渗透到了现代数学的各个分支学科中 无论是数 论 抽象代数和代数几何 还是微分方程与几何分 析 但是不少代数拓扑学的教材都受到 单纯同调 奇异同调 同伦 这一理论框架的束缚 不能很 好地解释代数拓扑的想法来源于何处 其作用又 是什么 实际上 拓扑学的基本思想来源于复变函 数论 尤其是黎曼面 和经典代数几何 而在现代 数学中之所以要大量使用抽象的拓扑学方法的主 要原因是由于研究高维抽象几何空间整体问题的 需要 值得我们注意的是 指南 还将整体微分几 何和几何分析也纳入到了微分拓扑的范围中 这 说明用整体微分几何 包括复几何 与偏微分方程 的方法研究微分流形上的整体几何性质 其最后 的目标指向了微分拓扑 由此我们也可以将拓扑 学看成是更抽象的现代意义上的几何学 指南 按照拓扑学发展的历史途径 先解释 了 世纪末以 三体问题 为代表的一批经典的 数学物理问题因为无法求出