五年级数字谜.docVIP

数字谜（一）数字谜可以用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例1把+，-，四个运算符号，分别填入下面等式的内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5137）（179）=12。分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“”的位置。当“”在第一个内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。（513-7）（17+9）。当“”在第二或第四个内时，运算结果不可能是整数。当“”在第三个内时，可得下面的填法：（5+137）（17-9）=12。例2将19这九个数字分别填入下式中的中，使等式成立：=5568。解：将5568质因数分解为5568=26329。由此容易知道，将5568分解为两个两位数的乘积有两种：5896和6487，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：12464，16348，24232，29192，32174，48116。显然，符合题意的只有下面一种填法：17432=5896=5568。例3在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。分析与解：先用443000除以573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。由443000573=77371推知，443000+（573-71）=443502一定能被573整除，所以应添502。例4已知六位数3344是89的倍数，求这个六位数。分析与解：因为未知的数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。先从右边做除法。由被除数的个位是4，推知商的个位是6；由左下式知，十位相减后的差是1，所以商的十位是9。这时，虽然8996=8544，但不能认为六位数中间的两个内是85，因为还没有考虑前面两位数。再从左边做除法。如右上式所示，a可能是6或7，所以b只可能是7或8。由左、右两边做除法的商，得到商是3796或3896。由379689=337844，389689=346744知，商是3796，所求六位数是337844。例5在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。分析与解：先看竖式的个位。由Y+N+N=Y或Y+ 10，推知N要么是0，要么是5。如果N=5，那么要向上进位，由竖式的十位加法有T+E+E+1=T或T+10，等号两边的奇偶性不同，所以N5，N=0。此时，由竖式的十位加法T+E+E=T或T+10，E不是0就是5，但是N=0，所以E=5。竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。因为N=0，所以I0，推知I=1，O=9，说明百位加法向千位进2。再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进1，百位加法向千位进2，且X0或1，所以R+T+T+122，再由R，T都不等于9知，T只能是7或8。若T=7，则R=8，X=3，这时只剩下数字2，4，6没有用过，而S只比F大1，S，F不可能是2，4，6中的数，矛盾。若T=8，则R只能取6或7。R=6时，X=3，这时只剩下2，4，7，同上理由，出现矛盾；R=7时，X=4，剩下数字2，3，6，可取F=2，S=3，Y=6。所求竖式见上页右式。解这类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是40，10，10，60，而40+10+10正好是60，真是巧极了！例6在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字，使竖式成立。分析与解：按减法竖式分析，看来比较难。同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减法变成加法来研究呢（见右上式）？不妨试试看。因为百位加法只能向千位进1，所以E=9，A=1，B=0。如果个位加法不向上进位，那么由十位加法1+F=10，得F=9，与E=9矛盾，所以个位加法向上进1，由1+F+1=10，得到F=8，这时C=7。余下的数字有2，3，4，5，6，由个位加法知，G比D大2，所以G，D分别可取4，2或5，3或6，4。所求竖式是解这道题启发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。练习11.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：123456789。4.在下面的算式中填上若干个（ ），使得等式成立：123456789=2.8。5.将19分别填入下式的中，使等式成立：=3634。6.六位数391是789的倍数，求这个六位数。7.已知六位数7888是83的倍数，求这个六位数。练习11.6281。解：621819（100-1）= 6281。2.（1）由百位加法知，A=B+1；再由十位加法A+ C=B+10，推知C=9，进而得到A=5，B=4（见左下式）。（2）由千位加法知B=A-1，再由个位减法知C=9。因为十位减法向百位借1，百位减法向千位借1，所以百位减法是（10+B-1）-A=A，化简为9+B=2A，将B=A-1代入，得A=8，B=7（ 见右上式）。3.1（23456789）=90720。4.1（23）4（5678）9=2.8。5. 4679= 23158= 3634。提示：3634=22379。6.391344。提示：仿照例3。7.774888。提示：仿例4，商的后3位是336，商的第一位是8或9。一 阿拉伯数字和数的十进制现在各国通用的阿拉伯数字本来源于印度，但由于世界上其他国家和地区大都从阿拉伯地区学习到这些数字，大家都把它们叫做阿拉伯数字了。阿拉伯数字只有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个，然而用这十个数字可以记出无限多的数，随同阿拉伯数字一起的还有它的记数法，即用几个数字排列成一个数时，每个数字所在的位置（也就是数位）不同，它就有不同的计数单位，我们在这里只讨论十进制记数法，当把数字排成一个数时，最右边一个数字所在的位置叫做个位，从右到左，依次是个位、十位、百位、千位，例如352这个数，2在个位，表示2个“一”；5在十位，表示5个“十”，3在百位，表示3个百，并且每10个“一”是1个“十”，10个“十”是1个“百”，10个“百”是1个“千”，。由数的十进制可以引出许多有用的和有趣的问题。例1：530658这个数有哪些计数单位，怎样把它表示成不同的计数单位的和？解：530658这个数十万位上是5，表示5个“十万”，万位上是3，表示3个“万”，千位上是0，表示一个“千”也没有，百位上是6，表示6个“百”，十位上是5，表示5个“十”，个位上是8，表示8个“一”。530658=5100000310000610051081答：略。例2：一个自然数各位上的数字之和是16，而且各位数字都不相同，符合条件的最小的数是几？最大的数是几？解：确定一个数的大小，首先决定于数位的多少，当数位相同时，从高位到低位依次比较每位上的数字的大小。要找出符合条件的最小的数，要使数位尽量少，各位上的数字之和是16至少有两位数，两个不同的一位数的和为16，只有97=16，最小为79。要找出符合条件的最大的数，要使数位尽量多，16分成不同的一位数的和，是16=12346，除了这5个数字外，还可以用0来占一个位，所以符合条件的最大的数是643210。答：最小的数是79，最大的数是643210。例3：一个自然数各位上的数字的和是8，而且各位上的数互不相同，符合条件的自然数有多少个？解：可以分一位数、两位数、三位数、四位数考虑。一位数：就只能是数字8一个。二位数：不同的两个数字和是8的有：8、0，7、1，2、6、3、5四组，共可组成7个二位数。三位数：不同的三个数字和是8的有7、1、0，6、2、0，5、3、0，1、2、5，1、3、4共五组，前三组各可以组成4个三位数，后二组各可以组成6个三位数，共可组成3426=24个三位数。四位数：不同的四个数字和是8的有1、2、5、0和1、3、4、0共二组，各可以组成18个四位数，共可组成36个四位数。各位数字不同数字和是8的不可能组成五位以上的数，所以符合条件的自然数共有172436=68（个）。答：符合条件的自然数有68个。例4：在一个两位数的两个数字之间插入一个数字，这个两位数字就变成了三位数。有些两位数，在它的两个数字中间插入某个数字后变成的三位数，恰好是原来的两位数的9倍，求出所有这样的三位数。解：在两位数的两个数字中间插入一个数字使它变成三位数后，三位数的个位数与原来两位数的个位数字相同，就是原来两位数的个位上的数乘9，积的个位上的数不变，原来的数个位上只能是0或5，但如果两位数个位上是0，十位上的数乘9，就算得到了一个三位数，百位上的数都不会等于原十位数上的数，因此，原来个位上只能是5。个位是5的两位数有15、25、35、45、55、65、75、85、95这九个，其中只有15、25、35、45这四个数乘9分别得135、225、315、405符合题意，这四个数就是符合要求的三位数。答：符合要求的三位数有135、225、315、405四个数。例5：一个三位数，把这个三位数的个位数字去掉，再把所得的两位数与原来的三位数相加，和是755，求原来的三位数。解：原来的三位数等于前两位数的10倍加上个位数字，与这个三位数去掉个位数字所得的两位数相加，和是前两位数的11倍加上个位数字，因此，把和除以11，所得的商是原来三位数的前两位数，余数是原来三位数的个位数字。75511=687所以原来的三位数是68107=687。答：原来的三位数是687。*例6：用1、2、3、4、5、6、7七个数组成三个两位数和一个一位数，并且使这四个数的和等于100，我们要求三个两位数中的最大的一个尽可能小，那么，这个最大的两位数是多少？解：用1、2、3、4、5、6、7这七个数组成三个两位数和一个一位数，使这四个数的和等于100，如果用尝试的方法拼数，可以有多种拼法，要找出符合题意的一个两位数，要进行大量的尝试和筛选。也可以用另一个方式来想，即三个两个数和一个一位数求和时，个位上有四个数，十位上有三个数相加，百位上的1是十位上的数相加进上去的，在四个数相加时，个位上和必须是10或20，十位上必须是10，个位上四个数的和是10只能是1234，但其余三个数5、6、7的和超过10，四个数的和超过100，因此，个位上四个数的和只能是20，也就是说，个位上可以是2、5、6、7或3、4、6、7的和，当个位上是2、5、6、7、时，十位上是1、3、4的和，当个位上是3、4、6、7时，十位上是1、2、5的和，这两种拼法，组成的四个数的和都是100，为了使三个两位数中的最大的一个尽可能小，应选用前一种拼法，这样最大的两位数最小是42。答：最大的两位数最小是42。应用练习 一1一个自然数各位上的数字的和是7，而且各位上的数都不相同，符合条件的自然数有多少个？2把从1999这999个自然数按照从小到大的顺序排成一排，组成一个多位数：123456789101112998999，这个数共有多少位？从左到右第2000位数是几？3某个四位数乘9得到一个新四位数，新四位数与原四位数的各位数字的排列顺序正好相反，原来的四位数是几？4一个四位数减去它的各位数字的和得134，中的数字是几？5有一个三位数，在这个三位数的前面写上数字3得到一个四位数，在这个三位数的后面写上数字3也得到一个四位数，这两个四位数相差1575，求原来的三位数。6一个五位数是这个五位数去掉万位上的数字后得到的四位数的9倍，那么满足条件的五位数有几个？*7把一个两位数的个位数字与十位数字交换得到一个新数，它与原来的数相加，和恰好是某个自然数的平方，这个和是几？*8如果用三个不同的数字可以组成六个不同的三位数，其中五个数的和是2558，那么还有一个数是几？课后练习 一1一个三位数，十位上的数字比百位上的数字大2，比个位上的数字小1，把百位与个位上的数字交换位置后得到一个新数，新数与原数的和为1231，求原数。2由四个不同的非0数字组成的所有的四位数中，数字和等于12的共有多少个？3一个两位数乘7的积正好是在原来两位数的数字间插入一个数字得到的三位数，求原来的两位数。4一个三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用它的三个数字组成一个最小的三位数，这两个数的差正好等于原来的三位数。求原来的三位数。5在一个三位数的末尾加写一些0后，再减去原来的三位数，得9999，求原来的三位数。十二 多边形面积计算（二）进行有关图形面积的计算，有时需要对图形进行平移、旋转、割补、比较等的处理，这样要添加一些线，这些在解题时添加的线叫做辅助线，通常画成虚线。例1：右图三角形ABC是直角三角形，BDEF是正方形，D、E、F分别在三角形的三条边上，AF长4厘米，DC长9厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米？解：只对已知图形进行推理，难于求出有关的长度和面积，但如右图那样在AC的另一侧作一个与三角形ABC相同的三角形AGC，并分别延长DE于AG交AG于H，延长FE于CG交CG于K，很明显，ABCG是一个长方形，在这个长方形中，甲=乙，丙=丁，戊=己，并且己的长EK=DC=9厘米，己的宽HE=AF=4厘米，己的面积是94=36（平方厘米），戊的面积也是36平方厘米，36=66，即BF=BD=6厘米，AB=46=10（厘米），BC=69=15（厘米），三角形ABC的面积是10152=75（平方厘米）。答：三角形ABC的面积是75平方厘米。例2：右图ABCD是长方形，在长方形中三角形，CDF的面积是12，三角形CEF的面积是6，求长方形ABCD的面积。解：连结AE，如右图。三角形AEC和三角形DEC都以EC为底，这 两个三角形的高都等于长方形的宽，两个三角形的面积相等，那么三角形AEF的面积与三角形CDF的面积相等，都等于12。而三角形CDF和三角形CEF分别以DF和EF为底，两个三角形有相同的高，CDF的面积是CEF的126=2倍，DF的长也是EF的2倍，三角形ADF和三角形AEF分别以DF和EF为底，两个三角形的高相同，DF是EF的2倍，三角形ADF的面积是三角形AEF的2倍，三角形ADF的面积是122=24，那么长方形ABCD的面积是（1224）2=72。答：长方形ABCD的面积是72。例3：右图ABCD是边长为12厘米的正方形，CEFG是长方形，它的长是15厘米，宽是多少厘米。解：连结DG（如右图）。三角形CDG以CD为底，它的高也等于正方形的边长，三角形CDG的面积是正方形ABCD的一半，三角形CDG如果以CG为底，它的高等于长方形的宽，CDG的面积是长方形CEFG的一半，因此，长方形CEFG和正方形ABCD面积相等，它的宽等于121215=9.6（厘米）。答：宽是9.6厘米。例4：右图ABCD是长方形，AE长6厘米，ED长18厘米，F是EB的中点，AB长12厘米，求图中阴影部分的面积。解：连结AF（如右图），三角形ABF和三角形AEF分别以BF和FE为底，两个三角形的底相等，高相同，它们的面积相等。而三角形ABE的面积是6122=36（厘米），三角形AFE的面积是362=18（厘米），三角形AFE和三角形DFE分别以AE和ED为底，两个三角形的高相同，ED是AE的186=3倍，三角形DFE的面积是AFE的3倍，是183=54（平方厘米），那么，图中阴影部分的面积是（618）12（5436）=198（平方厘米）。答：阴影部分的面积是198平方厘米。例5：右图一个四边形ABCD中，已知AD=7，BC=3，角B和角D是直角，角A是45，求这个四边形的面积。解：这个四边形可以看作是一个等腰直角三角形ADE切掉了一个等腰直角三角形BCE，如右图。就是说把原四边形的边AB、DC延长，相交于E，因为角A是45，角D是90，角E = 1804590=45，即三角形ADE是等腰直角三角形，又因为角ABC是90，角CBE也是90，角BCE = 1804590=45，所以三角形BCE也是等腰直角三角形。那么四边形ABCD的面积是这两个等腰直角三角形面积之差，即772332=20。答：这个四边形的面积是20。*例6：两个形状和大小都一样的直角三角形ABC与DEF，如右图放置，它们的面积都是100平方厘米，而每一个三角形在直角的顶点都恰好落在另一个直角三角形的斜边上，这两个直角三角形的重叠部分是一个长方形，那么四边形ADEC的面积是多少平方厘米？解：如右图，过D点到AC作DG垂直于AC，以AC为底，DG是平行四边形ADEC的高（D、B在平行于AC的同一直线上），因此，平均四边形ADEC的面积是ABC的2倍，平行四边形ADEC的面积是：1002=200（平方厘米）答：四边形ADEC的面积是200平方厘米。应用练习 十二1在直角三角形ABC中，长方形ADEF的D在AB上，E在BC上，F在AC上，DB=15厘米，CF=6厘米，求长方形ADEF的面积。2右图正方形ABCD的边长是10厘米，BO长8厘米，AE长多少厘米？3右图平行四边形ABCD中，三角形ADO的面积是34，AOE的面积是17，平行四边形ABCD的面积是多少？4有红、黄、绿大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间互相叠合（如右图），已知在外面的部分中，红色面积是36，黄色面积是20，绿色面积是16，求纸盒的正方形底面的面积。5右图四边形ABCD中，AB=3BE，AD=3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边形BODC的面积是多少？6右图平行四边形ABCD的面积是120平方厘米，AD=3AE，AF=3FC，三角形BEF的面积是多少平方厘米？*7右图三角形的ABC的面积是360，AB=3AD，BC=4BE，CA=5CF，那么三角形DEF的面积是多少？*8右图ABCD是长方形，AFOE是边长为6厘米的正方形，三角形AGH的面积是80平方厘米，ABCD的面积是多少平方厘米？课后练习 十二1用四块相同的等腰三角形纸片相互重叠在一起拼成右图所示的正方形（单位：厘米）。求阴影正方形的面积。2右图三角形ABC的面积是18平方厘米，BC=CD，CE=2EA，三角形CDE的面积是多少平方厘米？3右图长方形ABCG的长和宽分别是7和4，长方形DEFG的长和宽分别是10和2，求三角形BCM与三角形DEM的面积的差。4右图三角形ABC的面积是15，BD=2DC，AE=ED，求阴影部分面积的和。5右图三角形ABC的面积是1，BA延长到D，DA=AB，CB延长到E，EB=2BC，AC延长到F，FC=3CA，求三角形DEF的面积。八 多边形面积计算（一）我们学过的三角形、四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形、一般四边形等）以及其他由几条线段首尾相接围成的图形都是多边形，多边形的面积计算除了运用我们已经掌握的计算面积公式外，还常常运用平移、旋转、割补等方法对图形进行适当的变换；或者通过底和高的比较及等量代换等方法，从一个图形的面积和直接求得另一个图形的面积。例1：右图的长方形划分成边长为10的15个小正方形，求里面的平行四边形的面积。解：求平行四边形的面积虽然有计算公式，但从题中的条件很难求出这个平行四边形的底和高。通过观察图形，可以看到，在长方形中，平行四边形外正好是4个三角形，其中左上角和右下角的两个三角形合在一起是一个2010的长方形，左下角和右上角的两个三角形合在一起是一个3020的长方形，所以平行四边形的面积是：5030（20103020）=700答：平行四边形的面积是700。例2：右图是两个相同的直角三角形重叠了一部分，求图中阴影部分的面积。解：阴影部分是个直角梯形，但只知道高是12厘米，无法直接求面积。由于三角形ABC和三角形DEF是相同的三角形，三角形DOC是两个三角形重叠的部分，那么三角形ABC和三角形DEF同时减去三角形DOC，所得的差也相等，就是说梯形OEFC的面积等于阴影部分的面积，是（601260）82=432（平方厘米）。答：阴影部分的面积是432平方厘米。例3：右图正方形ABCD的边长是15厘米，AE长9厘米，BF长7厘米，求三角形DEF的面积。解：根据已知条件，虽然无法直接求三角形的面积，但是正方形的面积减去三角形ADE、BEF和DCF的面积，就是三角形DEF的面积。正方形的面积是：1515=225（平方厘米）三角形ADE的面积是：9152=67.5（平方厘米）三角形BEF的面积是：（159）72=21（平方厘米）三角形DCF的面积是：（157）152=60（平方厘米）所以三角形DEF的面积是：225（67.52160）=76.5（平方厘米）答：三角形DEF的面积是76.5平方厘米。例4：右图大、小两个正方形拼在一起，大正方形的边长是18厘米，求阴影部分的面积。解：如图，设小正方形边长为a。三角形甲和梯形丙合起来所组成的梯形的面积为（a18）a2，三角形乙和梯形丙合起来所组成的三角形的面积为（a18）a2，就是说甲丙=乙丙，所以甲=乙，阴影部分的面积等于大正方形面积的一半：18182=162（平方厘米）。答：阴影部分面积是162平方厘米。例5：右图长方形长6厘米，宽4厘米，两个阴影部分面积的和是10平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？解：三角形AGH和AFE分别以AH、AE为底，两底之和等于长方形的长，它们的高等于长方形的宽，这两个三角形面积之和为642=12（平方厘米），那么三角形ABH和ADE的面积之和为1210=2（平方厘米）。三角形HCE的面积是长方形面积的四分之一，是644=6（平方厘米），所以四边形ABCD的面积是62=4（平方厘米）。答：四边形ABCD的面积是4平方厘米。*例6：右图长方形ABCD长是18厘米，宽是10厘米，EF与长AD、BC平行，三角形FGH的面积是60平方厘米，那么EO长多少厘米？解：三角形FGH由三角形FGO和FOH组成，两个三角形都以OF为底，它们的高的和等于长方形的宽，所以OF的长是60210=12（厘米），EO长1812=6（厘米）。答：EO长6厘米。应用练习 八1右图的小方格是面积相等的正方形，甲三角形的面积是10平方厘米，乙三角形的面积是多少平方厘米？2右图两个相同的直角梯形重叠了一部分放在桌面上，求图中阴影部分的面积。3右图长方形长15厘米、宽9厘米，长方形分成了甲、乙、丙、丁4个三角形，甲的面积是45平方厘米，乙的面积是54平方厘米，丙的面积是多少平方厘米？4右图长方形ABCD长是18厘米，宽是13厘米，E在BC的延长线上，甲三角形的面积比乙三角形大78平方厘米，那么CE长多少厘米？5右图ABCD是长方形，长24厘米，宽14厘米，ADEF也是长方形，HE长3厘米，三角形CFG的面积是多少平方厘米？6右图在一个宽为14厘米的长方形里，甲是等腰直角三角形，甲比乙大98平方厘米，这个长方形的长是多少厘米？*7右图，P是平行四边形ABCD内的一点，三角形PAB的面积是6，三角形PAD的面积是2，求三角形PAC的面积。*8两个长方形叠放在一起（如右图），小长方形的宽是2米，A点是大长方形一边的中点，那么图中阴影部分的面积是多少平方米？课后练习 八1右图在梯形ABCD中，BO的长是OD的2倍，三角形COD的面积是12平方厘米，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？2一个平行四边形和一个梯形重叠了一部分平放在桌面上，平行四边形的底是15厘米，高是8厘米，没重叠的部分是甲：梯形的上底是9厘米，下底是16厘米，高是8厘米，没重叠的部分是乙。那么甲的面积比乙大多少平方厘米？3三角形ABC是等腰直角三角形，直角边长6厘米，三角形DCB是直角三角形，三角形AOB的面积比三角形DOC小6平方厘米。DC长多少厘米？4右图大小两个正方形拼在一起，小正方形的边长是12厘米，求阴影部分的面积。5右图ABCD是长方形，图中的数是各部分的面积数，求图中阴影部分的面积。巧用“辅助线”1998年全国小学数学奥林匹克决赛试卷的第4题：设正方形的面积为分析与解答：此题若按照一般思路，需要有关初中几何的知识，对于小学生来说有难度。实质此题只要画几条辅助线，答案便可找到。画线过程是：从G点画线HI，使HI垂直于AD、BC；再找到FG的中点J，通过J点画线KL，使KL垂直于AD、BC；最后画线FM，使FM垂直于BC。作完在一些求图形的面积题中，有许多可以从以上方法直接、迅速求出答案。比如：1994年小学数学奥林匹克数学竞赛第一试（A卷）第六题：两个长方形叠在一起（如图），小长方形的宽是2米，A点是大长方形一边的中点，那么图中阴影部分的总面积等于_平方米。整体读题察图可知此题告诉我们三个条件：A是中点，小长方形的宽是2米、两长方形重叠一角为45。由这三个条件是很难直接、快速求出问题。我们可以通过画辅助线来寻找解法。其过程为：经过A点作大长方形长的垂线与小长方形的长相交为B，连结BC；再通过D点作大长方形的垂线，与BC、AC、AF分别相交；最后作HJ，使HJ垂直于FE，连结HF。从图中我们可以直接看出三角形LKA与三角形BCD的面积相等，等于2222（平方米），三角形DCE的面积就是22=1（平方米），三角形AFC的面积就是4平方米，图中阴影部分的总面积就是5平方米。奥数五年级试卷一、填空1、在不大于100的自然数中，被13除后商和余数相同的数有多少个，分别是（ ）。2、a、b是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么a与b的和可以有（ ）种不同的值。3、有一个七层塔，每一层所点灯的盏数都等于上一层的2倍，一共点了381盏灯。求顶层点了（ ）盏灯。4、有这样一个百层球垛，这个球垛第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球，第四层有个小球，第五层有个小球，第一百层有（ ）个小球。这一百层共有（ ）个小球。5、一本书的页码由7641个数码组成，这本书共有（ ）页。6、某校举行体育达标测评，分两试进行，初试达标人数比未达标人数的3倍多14人，复试达标人数增加33人，正好是未达标人数的5倍，问有（ ）人参加了达标测评。7、10块的巧克力，小明每天至少吃一块，直至吃完，问共有（ ）种不同的吃巧克力的方案。8、小明要登上15级台阶，每步登上2级或3级台阶，共有（ ）种不同登法。二、解答题：1、某校五年级有两个班，每班的人数都是小于50的整十数。期末数学考试两个班的总平均分为78分，其中一班平均82分，二班平均75分。一班和二班各有多少人？2、数1447、1005、1231有一些共同特征,每个数都是以1开头的四位数,且每个数中恰好有两个数字相同,这样的数共有多少个?3、甲在南北路上，由南向北行进；已在东西路上，由西向东行进。甲出发的地点在两条路交叉点南1120米，乙从交叉点出发，两人同时开始行进，4分钟后，甲乙两人所在的位置与交叉点等远（这时甲仍在交叉点南），在经过52分钟后，两人所在的位置又距交叉点等远（这时甲在交叉点北）。求甲、乙二人的速度。整除性质及应用整除有几个性质。其中一个性质是：“如果数b能整除数a，数c能整除数a，且b和c互质，那么b和c的积也能整除a。”如，2能整除12，3能整除12，且2和3互质，则23=6也能整除12。整除的这一性质，应用较为广泛。请看：例1.只修改970405的某一个数字，就可使修改后的六位数能被225整除，修改后的六位数是_。（安徽省1997年小学数学竞赛题）解：逆向思考：因为225=259，且25和9互质，所以，只要修改后的数能分别被25和9整除，这个数就能被225整除。我们来分别考察能被25和9整除的情形。由能被25整除的数的特征（末两位数能被25整除）知，修改后的六位数的末两位数可能是25，或75。再据能被9整除的数的特征（各位上的数字之和能被9整除）检验，得97+04525，25227，257=32。故知，修改后的六位数是970425。例2.在32的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？（山东省1997年小学生数学竞赛初赛试题）解：因为15=35，且3和5互质。所以，只需分别考察能被3和5整除的情形。由能被5整除的数的特征知，组成的四位数的个位上是5或0。再据能被3整除的数的特征试算，若个位上是5，则有325=10。可推知，百位上最大可填入8。即组成的四位数是3825；若个位上是0，则有320=5。可推知，百位上最大可填入7。即组成的四位数是3720。故知，这个数是3825。例3.一位采购员买了72只桶，在记账本上记下这笔账。由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。账本是这样写的：72只桶，共用去67.9元（为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。应是_元。（德阳市第十届小学生数学邀请赛试题）。解：72只桶共用去 a 67.9 b 元，把它改写成a 679 b 分后，应能被72整除。72=89，8和9互质，若8能整除它，9能整除它，72就一定能整除它。由能被8整除的数的特征（末三位数能被8整除）知，79 b 能被8整除，则b2；由能被9整除的数的特征知，a6792a24能被9整除，则a=3。故这笔账应是367.92元。例4.将1至9九个数字写在一条纸带上，如下图：将它剪成三段，每段上数字联在一起算一个数，把这三个数相加，使和能被77整除，那么中间一段的数是_。（1998年全国小学数学奥林匹克决赛试题）解：因为77=117，且11和7互质，所以，只需分别考察能被11、7整除的情形。由能被11整除的数的特征知，和的奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差能被11整除。由数字19的和是45，可推知，和的奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差不可能是0。我们不妨设差为11，则有（4511）2=28，（4511）2=17。据此列举、试算，得再据能被7整除的数的特征（末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差能被7整除）检验2079是否能被7整除：79-2=77，77能被7整除。故知，中间一段的数是56。例5.有三个连续的自然数，它们的平均数能分别被三个不同的质数整除。要使它们的和最小，这三个自然数分别是多少？（山东省1997年小学生数学竞赛决赛试题）解：三个连续自然数的平均数等于这三个自然数中间的一个数。要使这三个自然数的和最小，它们的平均数应最小。要使它们的平均数最小，能分别整除它们平均数的三个不同的质数应尽可能的小。我们不妨设这三个不同的质数是2、3、5。能分别被2、3、5整除的最小数是235=30。即所求的这三个自然数的平均数是30，也就是这三个自然数中间的一个数是30。故知，这三个自然数分别是29、30、31。练一练：1.如果各位数字都是1的某个整数能被33333整除，那么这个整数中1的个数至少有_个。（答：15个）2.要使四位数72能被24整除，且最小，方框中各应填上什么数字？（答：1、5）3.修改693205中的一个数字，使修改后的数能被275整除。修改后的数是_。（答：693275）“数阵”的填法“数阵”是一种数字图形，一般分为两种类型辐射型和封闭型。请同学们看下面的两个例子。当a=1时，282=30，30310，10-1=9，除中心处数外，其它的数的和应该是9，只要把2、3、4、5、6、7这六个数按和为9分成三组，填入相应的“”内，如图2。当a=4时，填法如图3；当a=7时，填法如图4。小为1+23=6，最大为789=24，所以填法很多。我们只讨论abc6这种情况。当abc=6时，k（45b）3=17。这时三个顶点上分别填1、2、3，每条边上四个“”内数的和应该是17。这样，可以得到图6、图7的两种填法。当abc=9，k18；abc=12，k19；abc=24，k=23的情况下，也有各种不同的填法，请小朋友自己试一试。通过以上两例可以得出：辐射型数阵的关键是确定中心“”内的数，确定的方法是先建立有关等式，然后讨论余数，要注意随着分支数的不同，中心“”内数的重复次数及有关除式中的除数也将不同。封闭型数阵的关键也是先建立有关等式，先分情况（从最小值到最大值）讨论各顶点上“”内数的和，从而确定各条边上几个“”内数的和。练一练：请同学们将18八个数字及111这十一个数字分别填在图8、图9的各个“”内，使每条边（线段）上三个“”内数的和相等。数学竞赛五年级试题一、填空。（共20分，每小题2分）2.把一个小数的小数部分扩大4倍，这个小数就变成6.6；把这个小数的小数部分扩大8倍，这个小数就变成9.2。原来这个小数为（）。3.有一个数在700800之间，用15、18和24去除都不能整除，如果把这个数减1，那么就能同时被15、18和24整除，这个数是（）。4.把一张边长24厘米的正方形纸对折4次后得到一个小正方形，这个小正方形的面积是（）平方厘米。5.一个长方体的长、宽、高是整分米数，和为19分米，它的最大体积是（）立方分米。6.把长为9厘米的长方形的一条长边减少3厘米，面积就减少9平方厘米，这时变成的梯形面积是（）平方厘米。10.一个自然数除326、258、207得到的余数相同，这个自然数是（）。二、判断。（正确的在括号里画“”，错误的画“”。共10分，每小题2分）12.如果一个分数的分母只能被2和5整除，这个分数就一定能化成有限小数。（）13.把一批圆木自上而下按1、2、314、15根放在一起，这批圆木共有240根。（）14.在一条笔直的路旁，从起点每隔1米种一棵树，如果把写有“爱护小15.右图中长方形的面积与阴影部分的面积相等。（ ）三、选择。（把正确答案的序号填在括号里。共10分，每小题2分）16.6月9日是星期五，那么再过19951995天是星期（ ）。A.一 B.三 C.五 D.日17.在校门上安装200盏彩灯，每6只一组按照红、黄、绿、紫、白的顺序排列，那么最后一盏灯的颜色是（）。A.红 B.黄 C.蓝 D.绿19.如果用一个通用公式来概括正方形、长方形、平方四边形、三角形和梯形的面积，应该是（）面积公式。A.长方形 B.平行四边形 C.三角形 D.梯形20.71427与19的积被7除，余数是（ ）。A.2 B.3 C.4 D.5四、简算与计算。（2124题要写出简算过程，共25分，每小题5分）21.（253255257256264）25722.3600000125322523.699372724.1.2567.8752533.937512500.053375五、解决问题。（共35分，每小题7分）26.人民公园售两种门票，成人票每张8元，儿童票每张5元。现在共售出3500张，总金额为23500元，这两种票各售出多少张？27.甲、乙两个书店存书册数相等，甲书店售出3000册，乙书店购入2000册，这时乙书店书的册数是甲的2倍，甲、乙两书店原来共存书多少册？28.一座铁路桥长1200米，一列火车开过大桥需75秒；火车开过路旁一根信号杆需要15秒。求火车的速度和车长。29.一辆汽车从A地开往B地，如果每小时行90千米，可提前0.5小时到达；如果每小时行60千米，将晚点0.5小时。正点到达需要多少小时？A、B两地的路程是多少千米？30.一只汽船往返松花江A、B两个码头之间，从A到B顺流航行需用6小时，从B到A逆流航行需用8小时。一个木排从A码头顺流漂浮而下，需要多少小时到达B码头？（只填得数，不写算式）。需要（）小时。平均数应用题小军参加了三科的测试。已知：语文和英语平均分是90分，数学和英语的平均分是94分，数学和语文的平均分是95分，问小军这三科的平均分成绩是多少？小明期未考试五门功课的平均分是91分，如果去掉最高的数学100分和最低的英语分后，其余3科的平均分是90分，求英语分是多少分？化肥厂计划用15天生产化肥4500吨，前5天平均每天生产340吨，后又提高了产量，结果提前3天就完了任务。求后几天平均每天生产化肥多少吨？七个数排成一列，前4个数的平均数是43，后4个数的平均数是72。已知七个数的平均数是56，求第四个数是多少？某校有100名学生参加数学竞赛，平均得63分，其中男学生平均60分，女学生平均70分。男学生比女学生多多少名？机床厂举办法律知识竞赛，一车间、二车间共有80人参加了竞赛。结果80人的平均分是90分，一车间的平均分是92分，二车间的平均分是87分。求一、二车间各有多少人参加法律知识竞赛。轮船从甲港航行到乙港，每小时航行18千米，10小时到达乙港。返回时顺水，8小时航行到甲港。求轮船往返航行平均每小时航行多少千米？甲、乙、丙、丁四人做纸花，甲、乙、丙三人平均每人做了24朵，乙、丙、丁三人平均每人做了26朵。已知丁做了28朵，求甲做了多少朵？有三个数。甲、乙的平均数是21.5,乙、丙的平均数是22.5，甲、丙的平均数是16。这三个数各是多少？某校八名学生参加数学竞赛，他们所得的平均分是87.5分，其中A同学得86分。如果A同学只得74分，那么他们的平均分就降低了多少分？7个自然数按从大到小的顺序排列成一排，求得它们的平均数是46。已知前3个数是30，后5个数的平均数是54，求第三个数是多少？甲乙两地相距180千米，一辆汽车从甲地开往乙地时每小时行驶45千米，从乙地返回甲地时，由于上坡较多平均每小时行驶36千米。求这辆汽车往返平均每小时行多少千两块菜地共创收14000元，平均每公顷收入1750元。已知第一块菜地每公顷收入2500元，比第二块菜地每公顷多收1000元。这两块菜地各有多少公顷长、正方体的体积和表面积一、填空：1)把两个棱长为3厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长之和是( )厘米，它的体积是( )立方厘米，它的表面积是多少( )厘米。2)一种正方体的棱长是5厘米，用4个这样的正方体拼成一个大长方体。大长方体的表面积可能是( )平方厘米，也可能是( )平方厘米。3)两个完全相同的长方体，长5厘米，宽4厘米，高3厘米。拼成一个表面积最大的正方体后，表面积比原来减少了( )平方厘米，现在是( )平方厘米。4)一个长方体底面是一个连长4分米的正方形，高3分米，这个长方体除长和宽围成的面的面积相等外，还有( )( )围成的面的面积相等，都是( )平方分米。5)一个正方体水箱棱长总和是36米，表面积是( )，它的容积是( )，它占地面积是( )。二、选择题：1)把两个棱长都是2分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比两个正方体的表面积的和减少了( )平方分米。A 4 B 8 C 16 D 122)用4个体积是1立方厘米的小木块，摆成一个长方体，它的表面积可以是( )平方厘米A18 B16 C243)一个棱长为1米的正方体，如从一棱角处去掉一个1立方分米的小正方体后表面积和原来比( )。A减少了 B增多了 C没有变 D不能比4)大正方体棱长是小正方体棱长的2倍，大正方体表面积是小正方体表面积的( )，大正方体体积是小正方体体积的( )，A 2倍 B 4倍 C 8倍 D 16倍5)一个棱长是1分米的正方体木块，横截成三个体积相等的小长方体后，表面积增加了( )平方分米。A 2 B 4 C 3 D 66)把一个底面积是9平方厘米的正方体横截成两个体积相等的小长方体，表面积增加了( )平方厘米A 9