高二数学 直线与圆锥曲线整理课件苏教版选修21.ppt

一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 图形 说明 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点 也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏 由曲线的方程的定义可知 如果曲线c的方程是f x y 0 那么点p0 x0 y0 在曲线c上的充要条件是 f x0 y0 0 问题研讨 例1判断下列结论的正误并说明理由 1 过点a 3 0 且垂直于x轴的直线为x 3 2 到x轴距离为2的点的轨迹方程为y 2 3 到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy 1 对 错 错 变式训练 写出下列半圆的方程 条件甲 曲线c上的点的坐标都是方程f x y 0的解 条件乙 曲线c是方程f x y 0的曲线 则甲是乙的 a 充分非必要条件 b 必要条件 c 充要条件 d 非充分也非必要条件 b 若命题 曲线c上的点的坐标满足方程f x y 0 是正确的 则下列命题中正确的是 a 方程f x y 0所表示的曲线是c b 坐标满足f x y 0的点都在曲线c上 c 方程f x y 0的曲线是曲线c的一部分或是曲线c d 曲线c是方程f x y 0的曲线的一部分或是全部 d 求曲线方程的步骤 1 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点m的坐标 2 写出适合条件p的点m的集合p m p m 3 用坐标表示条件p m 列出方程f x y 0 4 化方程f x y 0为最简形式 5 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 1 直接法 动点运动的规律简单 明确 易于表达 可将条件直接写成关于 x y 的关系式 例1 长为2a a是正常数 的线段ab的两端点a b分别在互相垂直的两条直线上滑动 求线段ab中点m的轨迹 例 求平面内到两个定点 b的距离之比等于 的动点 的轨迹方程 变题 求平面内到两个定点 b的距离之比等于的动点 的轨迹 这个方法又叫相关点法或坐标转移法 即利用动点p x y 是定曲线f x y 0上的动点 另一动点p x y 依赖于p x y 那么可寻求关系式x f x y y g x y 后代入方程f x y 0中 得到动点p的轨迹方程 2 代入法 例3 已知点a 2 0 点p在圆x2 y2 1上 ap的中点为q 求点q的轨迹方程 提示 利用 定比分点坐标公式 变题 已知点a 2 0 点p在圆x2 y2 1上半圆周上 即y 0 aop的平分线交pa于q 求点q的轨迹方程 已知 abc a 一2 0 b 0 一2 第三个顶点c在曲线y 3x2 1上移动 求 abc的重心的轨迹方程 同类变式 3 几何法 就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法 例4 已知线段labl a 端点a在x轴正半轴上 包括原点 运动 端点b在射线l x o 上运动 过点a且垂直于x轴的直线与过点b且垂直于直线l的直线相交于p 求p点的轨迹方程 求出轨迹方程后 注意考查曲线的完备性和纯粹性 以防 疏漏 和 不纯 本例容易忽视考虑纯粹性 即漏掉o x a y 0 圆一个点那两题 4 参数法 根据题中给定的轨迹条件 用一个参数来分别表示动点的坐标x和y 间接地把坐标x和y联系起来 得到用参数表示的方程 如果消去参数 就可以得到轨迹的普通方程 例 已知抛物线y2 2x过点 作一直线交抛物线于 两点 试求弦 的中点的轨迹方程 例 在边长为a的正方形abcd中 ab bc边上各有一个动点q r 且 bq cr 试求直线ar与dq的交点p的轨迹方程 解析 建立直角坐标系后 注意到 bq cr 即 aq br 而p为两直线ar与dq的交点因而应引进参数 用参数法求其轨迹方程 5 交轨法 在求动点轨迹时 有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题 常常通过解方程组得出交点 含参数 的坐标 再消去参数求出所求轨迹的方程 已知两点p 2 2 q 0 2 以及一条直线l y x 设长为的线段ab在直线l上移动 求直线pa和qb的交点m的轨迹方程 同类变式 三 巩固练习1 abc一边的两个端点是b 0 6 和c 0 6 另两边斜率的2 点p与一定点f 2 0 的距离和它到一定直线x 8的距离的比是1 2 求点p的轨迹方程 并说明轨迹是什么图形 3 求抛物线y2 2px p 0 上各点与焦点连线的中点的轨迹方程 布置作业1 两定点的距离为6 点m到这两个定点的距离的平方和为26 求点m的轨迹方程 2 动点p到点f1 1 0 的距离比它到f2 3 0 的距离少2 求p点的轨迹 3 已知圆x2 y2 4上有定点a 2 0 过定点a作弦ab 并延长到点p 使3 ab 2 ab 求动点p的轨迹方程 求证 不论m取任何实数 方程 3m 4 x 5 2m y 7m 6 0所表示的曲线必经过一个定点 并求出这一点的坐标 2 椭圆的定义 平面内到两定点f1 f2的距离之和等于常数 大于 f1f2 的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做焦距 说明 若动点m到的距离之和为2a f1f2 2c则当a c 0时 动点m的轨迹是椭圆 当a c 0时 动点m的轨迹是线段f1f2 当0 a c时 动点m无轨迹 1 方程的右边是常数1 2 方程的左边是和的形式 每一项的分子是x2 y2 分母是一个正数 椭圆的标准方程的特点 问题1 1 2 根据上述讨论 如何判断椭圆的焦点的位置 问题2 若x2项的分母大 则其焦点就在x轴上 若y2项的分母大 则其焦点就在y轴上 f1 c 0 f2 c 0 f1 0 c f2 0 c 看分母的大小 焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上 1 求适合下列条件的椭圆方程 1 a 4 b 3 焦点在x轴上 2 b 1 焦点在y轴上 2 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 该椭圆上一点p到焦点f1的距离为8 则点p到另一个焦点f2的距离等于 10 6 8 0 8 0 8 16 12 练习 b 例2 将圆 上的点的横坐标保持不变 纵坐标变为原来的一半 求所得曲线的方程 并说明它是什么曲线 5 求下列椭圆的焦点坐标 椭圆的几何性质 1 熟悉椭圆的几何性质 对称性 范围 顶点 离心率 2 掌握椭圆中a b c e的几何意义以及a b c的相互关系 3 理解椭圆的离心率对椭圆形状的影响 4 能利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程 a x a b y b b x b a y a 关于x轴 y轴 原点对称 a1 a 0 a2 a 0 b1 0 b b2 0 b a1 0 a a2 0 a b1 b 0 b2 b 0 pf1 a ex0 pf2 a ex0 pf1 a ey0 pf2 a ey0 3 双曲线的定义 平面内与两定点f1 f2的距离的差的绝对值是常数 小于 f1f2 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点f1 f2叫做双曲线的焦点 两个焦点之间的距离叫做焦距 说明 若动点m到两定点的距离之差的绝对值为2a f1f2 2c当c a 0时 动点m的轨迹是双曲线 当a c 0时 动点m的轨迹是两条射线 当0 c a时 动点m无轨迹 平面内与两定点f1 f2的距离的差的绝对值等于常数2a点的轨迹叫做双曲线 f1 f2 焦点 设常数 mf1 mf2 2a f1f2 焦距 设为2c 注意 对于双曲线定义须抓住三点 1 平面内的动点到两定点的距离之差的绝对值是一个常数 2 这个常数要小于 f1f2 3 这个常数要是非零常数 二 双曲线的定义 思考 1 平面内与两定点的距离的差等于常数2a 小于 f1f2 的轨迹是什么 2 平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数 等于 f1f2 的轨迹是什么 3 平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数 大于 f1f2 的轨迹是什么 双曲线的一支 是在直线f1f2上且以f1 f2为端点向外的两条射线 不存在 1 当 mf1 mf2 2a f1f2 时 2 当 mf1 mf2 2a f1f2 时 3 当 mf1 mf2 2a f1f2 时 m点的轨迹不存在 4 当 mf1 mf2 2a 0时 m点轨迹是双曲线 其中当 mf1 mf2 2a时 m点轨迹是双曲线中靠近f2的一支 当 mf2 mf1 2a时 m点轨迹是双曲线中靠近f1的一支 m点轨迹是在直线f1f2上且以f1和f2为端点向外的两条射线 m点的轨迹是线段f1f2的垂直平分线 结论 谁正谁对应 双曲线的标准方程 椭圆的标准方程 练习3 已知双曲线的焦点在y轴上 并且双曲线上两点 1 2的坐标分别为 求双曲线的标准方程 练习5 1 方程mx2 my2 n中mn 0 则其表示焦点在轴上的 双曲线 2 若方程 k2 k 2 x2 k 1 y2 1的曲线是焦点在y轴上的双曲线 则k 1 1 3 双曲线的焦点坐标是 y 5 双曲线的焦距是6 则k 6 6 若方程表示双曲线 求实数k的取值范围 25 x2与y2的系数的大小 x2与y2的系数的正负 c2 a2 b2 ab 0 二 巩固练习 1 过双曲线的焦点且垂直x轴的弦的长度为 2 y2 2x2 1的焦点为 焦距是 3 方程 2 x2 1 y2 1表示双曲线的充要条件是 2 1 4 说明下列方程各表示什么曲线 方程表示的曲线是双曲线 方程表示的曲线是双曲线的右支 方程表示的曲线是x轴上分别以f1和f2为端点 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线 例3 已知方程kx2 y2 4 k r 讨论k取不同实数时方程所表示的曲线 1 k 0时 直线y 2 2 k 1时 是x2 y2 4 圆 3 01时 是焦点在y轴上的椭圆 5 k 0时 焦点在y轴上的双曲线 3 已知f1 f2为双曲线的焦点 弦mn过f1且m n在同一支上 若 mn 7 求 mf2n的周长 2 已知椭圆与双曲线有相同的焦点f1 f2 p为两条曲线的交点 求 pf1 pf2 的值 4 已知双曲线16x2 9y2 144 求焦点的坐标 设p为双曲线上一点 且 pf1 pf2 32 求 设p为双曲线上一点 且 f1pf2 120 求 2 对称性 一 研究双曲线的简单几何性质 1 范围 关于x轴 y轴和原点都是对称的 x轴 y轴是双曲线的对称轴 原点是对称中心 又叫做双曲线的中心 x y x y x y x y 二 讲授新课 3 顶点 1 双曲线与对称轴的交点 叫做双曲线的顶点 4 离心率 离心率 c a 0 e 1 e是表示双曲线开口大小的一个量 e越大开口越大 1 定义 2 e的范围 3 e的含义 令中的1为0 再化简所得的直线方程 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线 等轴双曲线 等轴双曲线的离心率为 等轴双曲线的两渐近线为y x 互相垂直 所成角为90 2000高考 双曲线的两条渐近线互相垂直 那么该双曲线的离心率是a 2b c d 关于x轴 y轴 原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 a1 a 0 a2 a 0 a1 0 a a2 0 a 关于x轴 y轴 原点对称 渐进线 f2 0 c f1 0 c 如何记忆双曲线的渐进线方程 例1 求双曲线9x2 16y2 144的实半轴长和虚半轴长 焦点坐标 离心率 渐近线方程 例2 求证 1 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长b 2 过双曲线的焦点与实轴垂直的直线被双曲线截得的弦长为 双曲线中的第二个特征三角形 双曲线中通径长公式 p41练习3 已知双曲线的对称轴为坐标轴 两个顶点间的距离为2 焦点到渐近线的距离为 求双曲线的方程 例3 1 若双曲线的两个端点把两焦点间的距离三等分 则双曲线的离心率为 2 若双曲线的渐近线方程为 则双曲线的离心率为 3 中华一题p353 双曲线与的离心率分别为e1和e2 则e1 e2的最小值为 3 5 3或5 4 例4 1 已知双曲线的焦点在y轴上 焦距为16 离心率是4 3 求双曲线的标准方程 2 已知双曲线的渐近线是x 2y 0 并且双曲线过点 求双曲线方程 改为 如何 共渐近线双曲线的方程的设法 以bx ay 0为渐近线的双曲线可设为b2x2 a2y2 0 抛物线的定义 平面内与一个定点f的距离和一条定直线l f不在l上 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点f叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 说明 1 点f不能在直线l上 否则其轨迹是过点f且与l垂直的直线 2 与椭圆 双曲线不同 抛物线只有一个焦点和一条准线 小结 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 第一 一次项的变量如为x 或y 则x轴 或y轴 为抛物线的对称轴 焦点就在对称轴上呀 第二 一次项的系数决定了开口方向 其中p为正常数 它的几何意义是 焦点到准线的距离 说明 四种抛物线标准方程之比较 顶点为原点 对称轴为坐标轴 p为焦点到准线的距离 顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为p 2 一次变量为x y 则对称轴为x y 轴 焦点在x y 轴正半轴上 则开口向右 上 焦点在x y 轴负半轴上 则开口向左 下 例题 例1 1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 变题1 已知抛物线的方程是y 6x2 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的焦点坐标是f 0 2 求它的标准方程 变题2 已知抛物线的方程是y 4ax2 a 0 求它的焦点坐标和准线方程 变题3 已知抛物线的焦点在直线3x 4y 12 0上 求其标准方程 1 定位 焦点位置 2 定形 求p 例2 求过点a 3 2 的抛物线的标准方程 解 当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时 把a 3 2 代入x2 2py 得p 当焦点在x轴的负半轴上时 把a 3 2 代入y2 2px 得p 抛物线的标准方程为x2 y或y2 x 练习 1 根据下列条件 写出抛物线的标准方程 1 焦点是f 3 0 2 准线方程是x 3 焦点到准线的距离是2 y2 12x y2 x y2 4x y2 4x x2 4y或x2 4y 例3 创新训练5 已知抛物线的顶点在坐标原点o 焦点f在x轴上 过f且垂直于x的直线l与抛物线交于a b两点 若s oab 4 求此抛物线的标准方程 当焦点在x坐标轴上 而方向不定时 可设为y2 2px p 0 当焦点在y坐标轴上 而方向不定时 可设为x2 2py p 0 例4 已知动圆m与直线y 2相切 且与定圆c x2 y 3 2 1外切 求动圆圆心的轨迹方程 将条件转化为距离相等 从而避免了直接法求方程的繁琐化简 例5 m是抛物线y2 2px p 0 上一点 若点m的横坐标为x0 则点m到焦点的距离是 这就是抛物线的焦半径公式 将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离 定义 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 f p 抛物线的几何性质 1 掌握抛物线的几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 通径 2 会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程 焦点坐标及解决其它问题 4 离心率 5 焦半径 6 通径 始终为常数1 通径长为2p pf x0 p 2 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y r x 0y r y 0 x r y 0 x r 0 0 x轴 y轴 1 特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的 为1 5 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 p越大 开口越开阔 例题 例1 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且过点m 2 求它的标准方程 并用描点法画出其图形 例2 一个顶点在坐标原点 焦点在x轴上抛物线截直线2x y 4 0所得弦长为 求抛物线的方程 当焦点在x y 轴上 开口方向不定时 设为y2 2mx m 0 x2 2my m 0 可避免讨论 例 正三角形的一个顶点位于坐标原点 另外两个点在抛物线y2 2px p 0 上 求这个正三角形的边长 等腰直角三角形aob内接于抛物线y2 2px p 0 o为抛物线的顶点 oa ob 则 aob的面积为a 8p2b 4p2c 2p2d p2 点与抛物线 点与圆 椭圆 双曲线的位置关系及判断方法 点p x0 y0 与抛物线y2 2px p 0 的位置关系及判断方法 1 点在抛物线外 2 点在抛物线上 3 点在抛物线内 y02 2px0 0 y02 2px0 0 y02 2px0 0 直线与抛物线 1 直线与抛物线相离 3 直线与抛物线相交 2 直线与抛物线相切 x o y 有两个不同的交点相交 或二次项系数为0 方程 组 只有一解 只有一个交点相交 证明 与抛物线y2 2px p 0 的对称轴平行的直线和抛物线只有一个交点 只有一个交点不一定就相切 结论 1 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为a x1 y1 b x2 y2 则 1 x1x2 p2 4 2 y1y2 p2 3 ab x1 x2 p 4 若直线ab的倾斜角为 则 ab 2p sin2 5 以ab为直径的圆与准线相切 a b 2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交于p x1 y1 q x2 y2 1 过p和抛物线顶点的直线交准线于m 则直线mq平行于抛线的对称轴 2 过q作qm 准线l 垂足为m 则m o p三点共线 2000年高考题 m 练习 1 已知直线l过点a 3p 2 p 且与抛物线y2 2px p 0 只有一个公共点 则直线l的条数为 2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交于p x1 y1 q x2 y2 则y1y2 p2是直线pq过抛物线焦点的a 充分非必要条件b 必要非充分条件c 充要条件d 非充分非必要条件 例题 1 ab是抛物线y2 2px p 0 上两点 满足oa ob o为坐标原点 求证 1 a b两点的横坐标之积 纵坐标之积均为定值 2 直线ab经过一定点 1 逆命题 若横坐标之积为定值4p2 或纵坐标之积为定值 4p2 是否有oa ob 2 逆命题 若直线ab过定点 2p 0 是否有oa ob 结论 抛物线y2 2px p 0 的轴上有三个点 1 焦点f 有许多关于焦点弦有关的结论 2 点 2p 0 过该点的直线与抛物线交于两点a x1 y1 b x2 y2 有x1x2 4p2 y1y2 4p2 oa ob 3 点m p 0 p为抛物线上任一点 在轴上m点左侧的点 有 pm 的最小值为 om 在轴上m点右侧的点 到顶点的距离不是最小 小结 1 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为a x1 y1 b x2 y2 则 1 x1x2 p2 4 2 y1y2 p2 3 ab x1 x2 p 2 4 若直线ab的倾斜角为 则 ab 2p sin2 5 以ab为直径的圆与准线相切 2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交于p x1 y1 q x2 y2 1 过p和抛物线顶点的直线交准线于m 则直线mq平行于抛线的对称轴 2 过q作qm 准线l 垂足为m 则m o p三点共线 2000年高考题 抛物线y2 2px p 0 的轴上有三个点 1 焦点f 有许多关于焦点弦有关的结论 2 点 2p 0 过该点的直线与抛物线交于两点a x1 y1 b x2 y2 有x1x2 4p2 y1y2 4p2 oa ob 3 点m p 0 p为抛物线上任一点 在轴上m点左侧的点 有 pm