人教A版选修22 1.变化率与导数.ppt

普通高中课程标准实验教科书 a版 选修2 2导数及其应用1 1变化率与导数 早在十七世纪 欧洲资本主义发展初期 由于工场的手工业向机器生产过渡 提高了生产力 促进了科学技术的快速发展 其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果 微积分的产生 背景介绍 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹 他们分别从运动学和几何学角度的来研究微积分 微积分靠着解析几何的帮助 成为十七世纪最伟大的数学发现 此后 微积分得到了广泛的应用 例如 在军事上 战争中涉及炮弹的最远射程问题 天文学上 行星与太阳的最近与最远距离问题等等 甚至连历法 农业都与微积分密切相关 更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了 函数 一 已知物体运动的路程作为时间的函数 求物体在任意时刻的速度与加速度等 二 求曲线的切线 三 求已知函数的最大值与最小值 四 求长度 面积 体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减 变化快慢 最大 小 值等问题最一般 最有效的工具 问题1气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 可以发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加越来越慢 从数学角度 如何描述这种现象呢 一 平均变化率 气球的体积v 单位 l 与半径r 单位 dm 之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积v的函数 那么 当v从0增加到1时 气球半径增加了气球的平均膨胀率为 当v从1增加到2时 气球半径增加了气球的平均膨胀率为 显然0 62 0 16 所以气球半径增加得越来越慢 p3思考 当空气容量从v1增加到v2时 气球的平均膨胀率是多少 气球半径的平均变化率可以刻画气球半径变化快慢 气球的平均膨胀率即气球半径的平均变化率 问题2高台跳水 运动员相对于水面的高度h 单位 米 与起跳后的时间t 单位 秒 存在函数关系h t 4 9t2 6 5t 10 1 用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态 求 h t 4 9t2 6 5t 10 运动员在时间 内的高度的平均变化率为 即平均速度 上述问题中的变化率可用式子表示 平均变化率 若设 x x2 x1 f f x2 f x1 称为函数f x 从x1到x2的平均变化率 则平均变化率为 练习 1 智力报p3 课堂及时练 1 1 1ex1 2 例 智力报 p5上文 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 应该用每一时刻的速度来描述运用员的运动状态 瞬时速度 3 如何求 比如t 2时的 瞬时速度 p4 为方便表示 我们用 瞬时速度 在t0时刻的瞬时速度呢 二 瞬时变化率 说明 练习 智力报p3 课堂及时练1 1 2 ex1 2 求f x 在x0处的导数步骤 例1 求y x2在点x 1处的导数 课本p102 3 4 例 智力报p4右例题1 1 平均变化率 2 瞬时变化率 趋近于一个常数 这个常数称为函数在点的瞬时变化率 复习回顾 3 导数的定义 观察函数f x 的图象平均变化率表示什么 o a b x y y f x x1 x2 f x1 f x2 x2 x1 x f x2 f x1 y 直线ab的斜率 三 导数的几何意义 1 平均变化率的几何意义 如图 曲线c是函数y f x 的图象 p x0 y0 是曲线c上的任意一点 q x0 x y0 y 为p邻近一点 pq为c的割线 pm x轴 qm y轴 为pq的倾斜角 2 函数在处的导数的几何意义 见flash课件 注意 练习 练习 例1 求抛物线y f x x2在点p 1 1 处的切线的斜率 例题讲解 思考 这里的切线定义与以前的切线定义有何不同 3 割线的极限位置就是切线 圆的切线定义并不适用于一般的曲线 通过逼近的方法 将割线趋于的确定位置的直线定义为切线 交点可能不惟一 适用于各种曲线 所以 这种定义才真正反映了切线的直观本质 根据导数的几何意义 在点p附近 曲线可以用在点p处的切线近似代替 大多数函数曲线就一小范围来看 大致可看作直线 所以 某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替 即 以直代曲 以简单的对象刻画复杂的对象 所以描述曲线在某点附近的变化状态可以考虑用切线代替 以直代曲思想 2 请描述 比较曲线分别在附近增 减 以及增 减 快慢的情况 在附近呢 增 减 增 减 快慢 切线的斜率 附近 瞬时 变化率 正或负 即 瞬时变化率 导数 数形结合 以直代曲 画切线 即 导数 的绝多值的大小 切线斜率的绝对值的大小 切线的倾斜程度 陡峭程度 以简单对象刻画复杂的对象 小结 函数在处的导数的几何意义