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函数方程函数方程的解是古老的分析问题之一。早在200多年前的1769年法国数学家、理学家达郎贝尔在论证力的合成时，就导出了函数方程：。法国数学家柯西给出了这个方程的解，并创造了一种非常美妙的解法，这种方法被后人称为柯西方法。许多数学家都曾对函数方程进行过研究，可是至今还没有完整的理论和解法。函数方程的问题对逻辑思维的发展起着重要作用，是学习数学和日常生活分析问题、解决问题的深化。随着函数方程的广泛应用，这类问题就经常出现在高考，奥林匹克竞赛，以及IMO等数学常见考试中，这也从客观上说明了函数方程这个问题极具研究价值，对它进行研究能培养我们的创新意识。它的解法都各具特色，一些简单的函数方程，只需要以初等数学为工具便可解答，这类题目经常在数学竞赛中出现。因此，对函数方程的研究就显得非常有必要。在数学竞赛中经常遇到与函数方程有关的问题,关于这类问题,主要是直接求解某一给定的函数方程或根据实际问题列出函数方程后再求解其它延伸问题。求解这类题型是有一定难度的,这些困难同函数方程本身有关,因为暂时探索出解函数方程的方法还不全面,大量的函数方程至今仍未解出,而已解出的函数方程中的大多数需用高等数学方法求解, 能运用初等方法求解的函数方程并不多，这里先介绍函数方程的性质,然后介绍用初等方法解函数方程的方法.函数方程的求解策略函数方程即含有未知函数的等式叫做函数方程。例如： 等，都是函数方程，其中是未知函数.如果函数在其定义域内的一切值均满足所给函数方程，那么称是该函数方程的解。函数方程的解是一个或几个，甚至无限多个函数。例如，上述第一个和第二个函数方程的解分别是一切偶函数，一切以T为周期的函数。寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程，叫做解函数方程。有关函数方程方面的 题目大致可分为三类：（一） 确定函数的表达式；（二） 确定满足函数方程的函数的性质；（三） 确定函数的值。函数方程的代换解法换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量（中间变量），然后找出函数对中间变量的关系，从而求出函数的表达式。是解函数方程的基本方法之一。对函数方程进行适当的变量代换，得到一个新的函数方程，从而来得到原方程的解。例 已知，求解： 令，则，于是， 以代，得2.2 解方程组法 解方程组法是将函数方程的变量（或关系式）进行适当的变量代换（有时需要几次代换），得一个（或几个）新的函数方程，然后与原方程联立，解方程组中的未知函数，即可得出所求的函数方程的解。例 设，且 求.（第32届美国普特南数学竞赛题）解 从原方程的形式可以看出，作变量代换是有作用的，带入得，把这个式子中的改写成，得 再令，代入得把换成，又得 把，联立，就可以看成是一个关于的三元一次方程组。+-解之，可得 经验证这个函数满足原函数方程。例 是定义在的实值函数，且， 求.解：以代，得 联立，得 消去，得:此方法的特点已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还有其它未知量，如：，等，必须根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出。用此方法解题的关键是得出一个新元，将新元换为，然后和原方程联立求解，最后得出. 这种方法无需进行过多的结构分析、对原来方程进行变形等。此方法虽和换元法有联系，但解决问题的思路还是比较简单。 例4 解函数方程 （17）解 因原式中，把自变量x换为，于是就换为x. 函数方程（17）化为 （18）（17）乘以a，得 （19）（18）（19），得.从上例可以看出，代换法的基本思想是这样的：将函数中的自变量x适当地代换以别的自变量（在代换时应注意力求使函数的定义域不发生变化），得到一个新的函数方程. 把新得到的这个函数方程与原有的函数方程联立，组成一个关于未知函数的代数方程组. 再应用通常的消元法，解这个方程组，就求得了原函数方程的解. 至于原来函数中的自变量x用什么东西代换才算是适当的，这就要看所给的函数方程的具体特点了这属于解题技巧问题.例5 求函数f(x)，如果， （20）其中，n是奇数.解 把x换以-x，由于n是奇数，就有. （21）从（20），（21）中消去，求得.因为n是奇数，可以把换成x，所以最后有.例6 解函数方程. （22）解 把(x-1)代之以x，那末（1-x）就代之以-x，而x就应代之以（1+x）；又如果把（x-1）代之以-x，那末（1-x）就代之以x，而x就应代之以（1-x）.分别代入原函数方程，就得解这个方程组，得知：（1）当时，；（2）当，而时，f (x)不存在；（3）当a=b，且c=0时，f (x)是任何奇函数；（4）当a=-b是，且c=0时，f (x)是任何偶函数.例7 解函数方程. （23）解 依次作下列代换：就得到方程组（24）+（25）-（26），得.就是.记即得.有时候要把自变量代换成具体的数值才行. 而当f (x)是定义在自然数上的函数时，往往要进行多次代换，才能求出这个函数. 记住等差数列和等比数列前n项和的公式，往往是很有用的.我们知道，当首项为a，公差为d时，等差数列前n项的和 （27）特别是当a=1，d=1时， （28）对于首项为a，公差为的等比数列，前n项的和. （29）特别是当时，. （30）例8 设函数f (n)的定义域是自然数，求f (n)，使它满足条件解 设m=1，便有把n顺次用1，2，3，(k+1)代换，就得把方程组的所有方程相加，得例9 函数f (n)定义在自然数上，且满足求f (n).解 把n分别代换以2，3，4，n，便得加在一起就化为 ： 所以例10 （1）n个同学任意排成一队，共有多少种排法？（2）从n个同学中任意选出个同学排队，共有多少种排法？解 （1）设n个同学排队，共有f (n)种排法. 如果再增加1个同学，让这位同学插入队伍. 对于原来n个同学的每一种排法，这位同学可以排在第1名（队首），第2名，第3名，第n+1名（队尾），即有n+1种“插”法. 因此 （35）而依次令n=1，2，3，得把这些等式左右两边分别相乘，便有依题意可知f (2)、f (3)、f (n)都不为0，故两边同除以f (2)f (3)f (4)f (n)后，得到就是说，n个同学排成一队，共有种排法.（2）设从n个同学选出k个同学排队，共有fk (n)种排法. 现在新增加一位同学，共有了(n+1)个同学，仍选出k个同学排队. k个同学排成的队伍可以分为两类：一类是这个新同学没有选进的队伍. 这种排法按照假设应共有fk (n)种. 另一类是新同学被选入队伍. 设想这种队伍的排法是这样实现的：由新同学替换原来队伍中的旧同学. 我们来看，如果新同学替换的是原队伍中的第1名，共有多少种排法；乍看起来，因为原队伍共有f k (n)种排法，因而以新同学为队首的排法也有f k (n)种. 其实不然. 因为在原队伍中，如果队首以后的(k-1)个同学及其排列顺序确定时，这时尚余个同学可充当队首. 因而有种排法. 但当队首被新同学替换后，就变成1种排法了. 可见以新同学为队首的排法为种. 同样的，以新同学为第2名，第3名，第k名的队伍，排法也各有种. 总之，有新同学出现的队伍，排法一共有种. 于是，得函数方程.或者. （36）分别令n=k，k+1，得相乘，约去等式两边相同的因式（它们显然是不为0的），得但由第（1）题知，所以或者这就是从n个同学中任意选出个同学排队的共有的排法.在这里，我们实际上得到了排列公式：从n个不同的元素里，每次取出个元素，选排列（即k0，都有 （81）当自变量的值为零时，即令x=y=0，由函数方程（79），有 这就是说，对于自变量的值为零的情形，函数方程（79）的解也是（81）.对于自变量为负数的情形，如x为负有理数，可设于是有所以总之，对于自变量的任何有理数值x=r，函数方程（79）的解都是（81）： （82）现在来讨论自变量是无理数的情形. x=(是无理数). 设的精确到小数点后第i位的不足近似值和过剩近似值是. 根据f (x)的单调性（为确定起见，不妨设f (x)是单调增加的），推知 （83）因为由又得由于，是有理数，由（83）得 （84）比较（83）和（84），看出和处于同一个区间套之内. 根据区间套原理，只有一个点为所有区间套公有，得知=. （85）综合（82）和（85），即得：对于任何实数x，函数方程（79）的解是正比例函数例20 解函数方程 （9）并求出由摄氏温度换算为华氏温度的关系式.解 在函数方程（9）中，令y=0，就有或者 （86）用数学归纳法可以证明，事实上，设n=k时，方程（87）成立，即设于是有根据（86），得就是说，对于n=k+1，方程（87）仍然成立. 又当n=2时，显然有这就证明了由函数方程（9）可以推出函数方程（87）.在（87）中，令，即得 （88）又令（m是正整数），则有就是但由（88）知代入上式即得因而记 最后有 （89）当x=0时，显然有 （90）如果令，就有所以总之，由（89），（90），（91）得，对于任何有理数x=r，函数方程（9）的解是现在，讨论自变量是无理数的情形：x=（是无理数）. 设的精确到小数点后第i位的不足近似值和过剩近似值是i和i. 根据f (x)的单调性不妨假定f (x)是单调增加的. 单调减小情形的论证类似推知， （93）同样根据单调增加性，得知所以由可得而由于，是有理数，所以（93）又可写成 （94）（93）和（94）表明和处于同一个区间套之内. 根据区间套原理，就有=. （95）综合（92），（95），可知对于任何实数x，函数方程（9）的解是一次函数 （96）现在来求由摄氏温度换算为华氏温度的关系式.由（10）知此外，由（10）还知所以最后得例21 解函数方程 （10）解 由（10）容易推得（用数学归纳法）：如果令，对于任何实数x和自然数n，就有 （97）在（97）中，令（m是自然数），便有记f (1)=c. 就得 （98）令y=0. 对于任何实数x，由（16）各因为f (x)是单调的，所以f (x)不恒等于零. 从而 （99）如果令那末由（16）又得所以 （100）（98），（99），（100）表明，对于任何有理数r，满足函数方程（16）的是指数函数对于自变量为无理数的情形，推证方法和例19，20类似，这里从略.总之，函数方程（16）的解是指数函数由此可见，放射性物质的衰变规律服从指数函数. 进一步研究得知，1克的放射性物质经过时间x年后，剩余的放射性物质为就是说，指数的底 而是一个与具体放射性物质有关的常数.例22 解函数方程 （101）函数的定义域是正实数.解 在（101）中，如果令y=1，就有 f (1)=0. （102）又由（101）容易推得令即得 （103）在上式中，以代x，又得 （104）设是正有理数（p，q是正整数）. 由（103），（104）就有 （105）在函数方程（101）中，如果令，就得 或者 （106）仍设r是正有理数. 于是由（106），（103）有 （107）此外 （108）综合（105），（107），（108）所得结果，证明了对于任何有理数r，都有当指数为无理数时，仿照例19，20那样，可以证明 （109）因而有 （110）其中y是任何实数.因为f (x)是单调的，所以不能恒等于零. 从而存在着值x=c，使得. 在（110）中，令可得记=那末有于是令，可得.这就是说，函数方程（101）的解是对数函数.值得指出的是，例19所讨论的函数方程（79）是一个很重要的方程. 这方程是由柯西最早加以研究的，后来就叫做柯西函数方程. 我们立即就会看到，柯西函数方程在解函数方程上的作用：有许多其它函数方程，都可以通过适当方法转化为柯西函数方程，从而获得解答. 试看以下例子.例23 用柯西方程解例20中的函数方程解 设f (0)=a. 由所给的函数方程得由此又有 （111）设，就有代入（111），即得 （112）这方程正是柯西函数方程. 所以有这和我们在例20中所获得的结果是一致的，但解答过程却简短多了.例24 用柯西方程解函数方程解 我们首先证明由所给的函数方程得知这就是说，对于x的任何实数值，f (x)的值是非负数. 我们进一步证明，对于x的任何实数值，f (x)不能是零. 实际上，一旦存在某个x0，能使f (x0)=0. 那末f (x)将恒等于零. 这是因为这样一来，就与我们在本节初对f (x)的单调性要求相矛盾了. 总之，对于任何实数x，总有在所给的函数方程两边同时取对数，即得设，就有这样就把原函数方程化成了柯西方程. 柯西方程的解是正比例函数 即这里，. 所得的结果和例21相同.练习与解答练习13 用柯西方程解函数方程解 由原方程得设 就有这是柯西方程. 这里，所给函数方程的解是反比例函数.练习14 用柯西方程解例22中的方程解 因函数的定义域是正实数. 故可设或 代入原函数方程得令就有这是柯西方程. 所以有设则 所给函数方程的解是对数函数.练习15 利用函数方程的解是指数函数这一结果（例21，24），解定义在正实数上的函数方程解 设代入原函数方程，得令就有 令就有所给函数方程的解是幂函数.利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：（1） 若f（xy）=f（x）f（y） （x0，y0），则f（x）=ax（2） 若f（xy）=f（x）f（y） （x0，y0），则f（x）=x2（3） 若f（xy）=f（x）f（y）kxy，则f（x）=ax2bx（4） 若f（xy）f（xy）=2f（x），则f（x）=axb函数方程其它解法1、赋值法赋值法是在函数定义域内，赋予变量（一个或几个）一些特殊值或式子，使方程化简，从而使问题获得解决.例 设是定义在上的不恒等于零的函数，,且对任意，恒有 证明：（1）； （2）； （3）.证明：（1）在中，以分别代替，得 （2）在中，令，则 因不恒等于0，故必有，使，不妨取，则，由可得.于是 （3）在中，以，0分别代，得例 （2002年北京卷）已知是定义在上的不恒等于零的函数，且对任意的都满足：(1) 求的值.(2) 判断的奇偶性，并证明你的结论.解：(1) 令，有令，有，得(2) 令，有.因为，所以令，则故为奇函数.此方法的特点是当函数方程的自变量多于一个时，将其中的一个或几个自变量用一些特殊值代入，常常可以简化方程，或求得未知函数在某些特殊点的值。这样就能使题设条件得到转化，从而得出我们要求的结果。2、递推法递推法涉及到两个方面的内容，一类是以递推表达式为特征的函数方程形式，另一类是以递归数列表达的函数方程形式。当函数方程按递归的方式表达时，可通过解函数方程相应的特征方程，然后得出所求函数方程的解。设是定义在自然数集上的函数.(确定常数) , 如果存在一个递推(或递归) 关系,当知道了前面项的值 由可唯一确定的值, 那么称为阶递归函数. 递推法(或递归)是解决函数方程的重要方法.例 已知函数定义在自然数集上，且对任意的,都满足求.分析：对于已知条件中的可首先确定递推关系式，即令得出关于的递推关系，利用递归数列求通项的方法求解.解 令，得 在中，依次令，有 以上个式子相加，得 即 例 已知是定义在自然数集上的函数，满足，且对任意，有：，求.解 原函数方程中令，并利用得 整理后，可得令将上述各式相加，得 以代入后，经过整理得于是，所求的函数应为经验证它满足原函数方程.求定义在自然数集上的函数, 实际上就是数列的通项. 就是利用等比、等差数列的有关知识(通项公式、求和公式等) 求定义在上的函数.例 已知有，.解法一 由 得 ，得 所以数列是首项为，公比为2的等比数列，其通项为： 将及代入，并整理，得即 3、数学归纳法数学归纳法是数学中的重要方法之一. 适用范围相当广泛，所以对求解函数方程也同样有效，当未知函数定义在自然数集上时常用到.例函数的定义域为正整数集，值域为非负整数集，所有正整数，满足：；，求.（第23届IMO第1题）分析：由已知条件得知的定义域为正整数集，则我们试着将这个题的解法同数学归纳法相联系，在解答过程中将题设中的条件适当的转化，我们将发现一定规律，由此得出答案。解 由或1，得下面用数学归纳法证明这个命题成立.假设对于小于的一切自然数，结论成立，则例 设是自然数集，是定义在上并在内取值的函数，且对有 求的所有可能的值.解 设，则由可得特别如果设，则有下面用反证法证明，若不然，设又设则 ，这是不可能的，这就证明了，如果，则 由数学归纳法知，对一切所以 例 求证：不存在这样的函数，它对每个都有证明： 反设存在这样的函数，它满足条件，则 于是，用数学归纳法易证：对所有，有.下面证明：设则 的充分必要条件是，这里都是整数.事实上，设成立，则由有充分性可类似证明.由上述结论可见，若则可将配成一个无序数对，这样，A中的数将两两配对.由于A中有奇数（1987）个数，所以，必存在与自己配对，即存在整数，使得于是 从而，与是整数矛盾.故假设不成立，原命题成立.4、函数迭代法例 设为自然数集，如果有一个函数时严格递增的，且对每一个，都有.求证：对每一个，都有（CMO,1990年）证明：例 设(1999年第十届希望杯数学竞赛)解 因为 所以 则例设为常数，且证明：对任意（2003年全国高考新课程卷天津等省市试卷第22题)分析：本题的递推关系式中是一个变量，于是我们在利用待定系数法构造新数列时要注意与类型（1）的区别，于是可以设，由比较系数得的值，再迭代；思路二，对递推关系进行等价变形，即两边同除以转化为类型（1）的问题求解；思路三直接利用关系式迭代转化为求和问题 解：法1(构造等比数列迭代) 方法2原式化为方法3(下标递降)：5、不动点法不动点定理时应用十分广泛的定理，很多数学问题都可以用到它的理论来解题，函数方程的解也不例外，同样可以应用它，而且有时会觉得比其它方法更为简单。例 求所有