2017_18学年高中数学第二章2.3.2平面与平面垂直的判定学案含解析.docx

23.2平面与平面垂直的判定二面角提出问题随手打开一本书，发现每两书页之间所在的平面也形成一个角度；修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度问题1：根据上述问题，你发现两平面形成的角有何特点？提示：可以是锐角、直角、钝角、平角问题2：两平面形成的角可以为0角吗？提示：可以问题3：两平面成角的范围是什么？提示：0180.导入新知二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图)直线AB叫做二面角的棱，半平面和叫做二面角的面记法：AB，在，内，分别取点P，Q时，可记作PABQ；当棱记为l时，可记作l或PlQ.(2)二面角的平面角：定义：在二面角 l 的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角直二面角：平面角是直角的二面角化解疑难对于二面角及其平面角的理解(1)二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角的取值范围是0180.平面与平面垂直提出问题建筑工地上，砌墙时，泥水匠为了保证墙面与地面垂直，常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直问题1：由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？提示：垂直问题2：若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一个方法？提示：可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可导入新知1面面垂直的定义(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)画法：记作：.2两平面垂直的判定(1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直(2)图形语言：如图(3)符号语言：AB，ABB，AB.化解疑难对面面垂直的判定定理的理解(1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”(2)定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线(3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直线面垂直面面垂直这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握面面垂直的判定例1如图所示，已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC.求证：平面ABC平面SBC.解证明：法一：(利用定义证明)BSACSA60，SASBSC，ASB和ASC是等边三角形，则有SASBSCABAC，令其值为a，则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则ADBC，SDBC，ADS为二面角ABCS的平面角在RtBSC中，SBSCa，SDa，BDa.在RtABD中，ADa，在ADS中，SD2AD2SA2，ADS90，即二面角ABCS为直二面角，故平面ABC平面SBC.法二：(利用判定定理)SASBSC，且BSACSA60，SAABAC，点A在平面SBC上的射影为SBC的外心SBC为直角三角形，点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点，AD平面SBC.又AD平面ABC，平面ABC平面SBC.类题通法证明面面垂直的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面活学活用(江苏高考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因为B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.二面角例2已知D，E分别是正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D2B1EB1C1.求过D，E，C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小解如图所示，在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于点F，则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点于是C1F为这两个平面的交线因而，所求二面角即为二面角DC1FA1.A1DB1E，且A1D2B1E，E，B1分别为DF和A1F的中点A1B1B1C1A1C1B1F，FC1A1C1.又CC1平面A1B1C1，FC1平面A1B1C1，CC1FC1.又A1C1，CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线，FC1平面AA1C1C.DC1平面AA1C1C，FC1DC1.DC1A1是二面角DC1FA1的平面角由已知A1DA1C1，则DC1A145.故所求二面角的大小为45.类题通法解决二面角问题的策略清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”活学活用如图所示，在ABC中，ABBC，SA平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SAAB，SBBC，求二面角EBDC的大小解：E为SC中点，且SBBC，BESC.又DESC，BEDEE，SC平面BDE，BDSC.又SA平面ABC，可得SABD，SCSAS，BD平面SAC，从而BDAC，BDDE，EDC为二面角EBDC的平面角设SAAB1，在ABC中，ABBC，SBBC，AC，SC2.在RtSAC中，DCS30，EDC60，即二面角EBDC为60.线面、面面垂直的综合问题例3如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPCa，求证：(1)PD平面ABCD；(2)平面PAC平面PBD；(3)二面角PBCD是45的二面角解证明：(1)PDa，DCa，PCa，PC2PD2DC2.则PDDC.同理可证PDAD.又ADDCD，且AD，DC平面ABCD，PD平面ABCD.(2)由(1)知PD平面ABCD，又AC平面ABCD，PDAC.四边形ABCD是正方形，ACBD.又BDPDD，且PD，BD平面PBD，AC平面PBD.又AC平面PAC，平面PAC平面PBD.(3)由(1)知PDBC，又BCDC，且PD，DC为平面PDC内两条相交直线，BC平面PDC.PC平面PDC，BCPC.则PCD为二面角PBCD的平面角在RtPDC中，PDDCa，PCD45，即二面角PBCD是45的二面角类题通法本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直线面垂直面面垂直活学活用已知ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点求证：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.证明：(1)设BDa，作DFBC交CE于F，则CFDBa.因为CE平面ABC，所以BCCF，DFEC，所以DEa.又因为DB平面ABC，所以DAa，所以DEDA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綊CE綊DB.所以四边形MNBD为平行四边形，所以MDBN.又因为EC平面ABC，所以ECBN，ECMD.又DEDA，M为EA中点，所以DMAE.又ECAEE，所以DM平面AEC，所以平面BDM平面ECA.(3)由(2)知DM平面AEC，而DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA.典例(12分)如图所示，已知三棱锥PABC，ACB90，CB4，AB20，D为AB的中点，且PDB是正三角形，PAPC.(1)求证：平面PAC平面ABC；(2)求二面角DAPC的正弦值；(3)若M为PB的中点，求三棱锥MBCD的体积解题流程活学活用在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且ADPD2MA.(1)求证：平面EFG平面PDC；(2)求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比解：(1)证明：由已知MA平面ABCD，PDMA，所以PD平面ABCD.又BC平面ABCD，所以PDBC.因为四边形ABCD为正方形，所以BCDC.又PDDCD，因此BC平面PDC.在PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点，所以GFBC，因此GF平面PDC.又GF平面EFG，所以平面EFG平面PDC.(2)因为PD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA1，则PDAD2，所以VPABCDS正方形ABCDPD.由于DA平面MAB，且PDMA，所以DA的长即为点P到平面MAB的距离三棱锥VPMAB122，所以VPMABVPABCD14随堂即时演练1如图，已知CD，EA，垂足为A，EB，垂足为B，AEB45，那么二面角 CD的平面角等于()A30B60C90 D135答案：D2对于直线m，n和平面，能得出的一组条件是()Amn，m，nBmn，m，nCmn，n，mDmn，m，n答案：C3如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是_答案：面面垂直的判定定理4若P是ABC所在平面外一点，而PBC和ABC都是边长为2的正三角形，PA，那么二面角PBCA的大小为_答案：905在四面体ABCD中，BDa，ABADCBCDACa，求证：平面ABD平面BCD.证明：如图所示，ABD与BCD是全等的等腰三角形，取BD的中点E，连接AE，CE，则AEBD，BDCE.AEC为二面角ABDC的平面角在ABD中，ABa，BEBDa，AEa.同理CEa.在AEC中，AECEa，ACa，由于AC2AE2CE2，AECE，即AEC90，平面ABD平面BCD.课时达标检测一、选择题1有下列命题：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系其中正确的是()ABC D答案：B2一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角()A相等 B互补C不确定 D相等或互补答案：C3在四棱锥PABCD中，已知PA底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()A平面PAB平面PADB平面PAB平面PBCC平面PBC平面PCDD平面PCD平面PAD答案：C4.如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小为()A90B60C45D30答案：A5在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值为()A. B.C. D.答案：C二、填空题6经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有_个答案：1或无数7正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是_答案：8.如图，平面ABC平面BDC，BACBDC90，且ABACa，则AD_.答案：a三、解答题9如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB平面ABCD.证明：连接AC，交BD于点F，连接EF，EF是SAC的中位线，EFSC.SC平面ABCD，EF平面ABC