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流体运动学教学文稿 流体运动学研究流体的运动规律（速度、加速度、变形等运动参数的变化规律），由于不涉及力，故对理想流体、粘性流体均适用。 研究流体运动的两种方法流体质点的加速度、质点导数流体运动的基本概念连续性方程流体微元的运动分析有旋运动和无旋运动速度势函数流函数几种简单的平面势流势流叠加原理几个常见的势流叠加的例子1.拉格朗日法（随体法）t0时，坐标a、b、c作为该质点的标志x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t)，z=z(a,b,c,t)速度tt cb axux?),(tt cb ayuy?),(tt cb azuz?),(tt cb a uaxx?),(tt cb auayy?),(tt cb auazz?),(加速度物理概念清晰，但处理问题十分困难研究流体运动的两种方法2.欧拉法（局部法、当地法）某瞬时，整个流场各空间点处的状态),(t z y x u uxx?),(t z y x u uzz?),(t z y xu uyy?),(t z y xp p?),(t z y x?以固定空间、固定断面或固定点为对象，应采用欧拉法2.质点导数对质点的运动要素A?A utAdtdA?时变导数位变导数?u utudtuda?时变加速度位变加速度1.恒定流与非恒定流 （1）恒定流 （2）非恒定流所有运动要素A都满足0?tA0?tA2.均匀流与非均匀流 （1）均匀流 （2）非均匀流?0?A u?0?A u?流体运动的基本概念例速度场求 （1）t=2s时，在(2，4)点的加速度； （2）是恒定流还是非恒定流； （3）是均匀流还是非均匀流。 j t x y i tx y u?)96()64(? （1）将t=2，x=2，y=4代入得同理解dtduaxx?)4()96()6()64()64(t tx y t tx y x y?2/4s max?2/6s may?j ia?64?2/s mzuuyuuxuutuxzxyxxx?jtuitutuyx? （2）是非恒定流 （3）是均匀流?u u?0)96()64(?j x yix y?0?iyuuxuu iyuuxuuyyyxxyxx?3.流线与迹线 （1）流线某瞬时在流场中所作的一条空间曲线，曲线上各点速度矢量与曲线相切流线微分方程流线上任一点的切线方向与该点速度矢量一致性质一般情况下不相交、不折转1u?2u?)(r d?)(u?z y xu uudz dy dxk jiu rd?zy xudzudyudx?流线微分方程0? （2）迹线质点运动的轨迹迹线微分方程对任一质点迹线微分方程dt udxx?dtudzudyudxz y x?dt u dyy?dt udzz?例速度场u x=a，u y=bt，u z=0（a、b为常数）求: （1）流线方程及t= 0、 1、2时流线图； （2）迹线方程及t=0时过（0，0）点的迹线。 解 （1）流线积分btdyadx?c xabty?o y x c=0c=2c=1t=0时流线o y x c=0c=2c=1t=1时流线o y x c=0c=2c=1t=2时流线流线方程 （2）迹线即dtbtdyadx?dtadx?dtbtdy?222xaby?迹线方程（抛物线）o yx注意流线与迹线不重合?t xatx adtdx00?t ytb ybtdt dy0202例已知速度u x=x+t，u y=y+t求在t=0时过（1，1）点的流线和迹线方程。 解 （1）流线积分t=0时，x=1，y=1c=0t ydytxdx?c tytx?)(ln(?流线方程（双曲线）1?xy （2）迹线dtt ydydttxdx?t ydtdytxdtdx?1121?t e c ytecxtt?由t=0时，x=1，y=1得c1=c2=0迹线方程（直线）2?yx11?t ytx? （3）若恒定流u x=x，u y=y流线迹线1?xy1?xy注意恒定流中流线与迹线重合4.流管与流束流管在流场中任意取不与流线重合的封闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管状表面5.过流断面在流束上作出与流线正交的横断面12注意只有均匀流的过流断面才是平面例121处过流断面2处过流断面流束流管内的流体6.元流与总流元流过流断面无限小的流束总流过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成7.流量体积流量质量流量不可压缩流体?AudA Q?AmudA Q?Q Qm?s m/3s kg/8.断面平均流速AQv?vA Q?实质质量守恒1.连续性方程的微分形式o yx zdm xdm xdx dydz dt时间内x方向流入质量流出质量净流出质量dydzdt udmx x?dydzdt dxxuudmxx x?)(?dxdydzdtxudm dmMxx xx?)(?连续性方程同理dxdydzdtyuMyy?)(?dxdydzdtzuMzz?)(?dt时间内，控制体总净流出质量zyxM M MM?xydzdt)u(div dxdydzdtu?由质量守恒控制体总净流出质量，必等于控制体内由于密度变化而减少的质量，即dxdydzdttdxdydzdt u div?)(?dxdydzdtzuyuxuzyx?)()()(?0)(?u divt?连续性方程的微分形式不可压缩流体即0?udiv?c?0?zuyuxuzyx例已知速度场此流动是否可能出现？?221x yu x?xy u y21?tz u z21?2t?zuyuxutzyx?)()()(?解由连续性方程满足连续性方程，此流动可能出现0)2 (2)2(2?txx t例已知不可压缩流场u x=2x2+y，u y=2y2+z，且在z=0处u z=0，求u z。 0?zuyuxuzyx解由得y xzuz44?积分c zyx uz?)(4由z=0，u z=0得c=0zyxuz)(4?2.连续性方程的积分形式A1A212v1v2在dt时间内，流入断面1的流体质量必等于流出断面2的流体质量，则dt Qdt Q2211?222111A vA v?连续性方程的积分形式不可压缩流体21Q Q?c?2211A vA v?分流时合流时iQ Q?Q Qi?2211Q Q?刚体平移、旋转流体平移、旋转、变形（线变形、角变形）平移线旋转角变形流体微元的运动分析流体微元的速度1.平移速度u x，u y，uz2.线变形速度xuxx?yuyy?zuzz?x方向线变形xdt xdtxudtu dtxxuuxxxxx?是单位时间微团沿x方向相对线变形量（线变形速度）同理存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因3.旋转角速度角平分线的旋转角速度dtxuxxdtxuxAAyy?dtyuyydtyuyBBxx?逆时针方向的转角为正顺时针方向的转角为负?zuyuyzx21?xuzuz xy21?yuxuxyz21?u rotu kj izyx?2121?dt dtyuxuzxy?2121是微团绕平行于oz轴的旋转角速度同理微团的旋转4.角变形速度直角边与角平分线夹角的变化速度微团的角变形?dt dtyuxuzxy?2121?zuyuyzx21?xuzuz xy21?yuxuxyz21?存在不在质点连线方向的速度梯度是产生旋转和角变形的原因是微团在xoy平面上的角变形速度同理例平面流场u x=ky，u y=0（k为大于0的常数），分析流场运动特征解流线方程线变形角变形旋转角速度c y?0?xu xx?0?yu yy?221kyuxuxyz?221kyuxuxyz?x y o（流线是平行与x轴的直线族）（无线变形）（有角变形）（顺时针方向为负）例平面流场u x=ky，u y=kx（k为大于0的常数），分析流场运动特征解流线方程c yxkxdykydx?22（流线是同心圆族）线变形0?yx?（无线变形）角变形0?z?（无角变形）旋转角速度?k kkz?21?（逆时针的旋转）刚体旋转流动1.有旋流动2.无旋流动0?0?即0?x?0?y?0?z?zuyuyz?xuzuz x?yuxuxy?有旋流动和无旋流动例速度场u x=ay（a为常数），u y=0，流线是平行于x轴的直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？解是有旋流?z?x yo u x021)0(21?a a?yuxuxy21相当于微元绕瞬心运动例速度场u r=0，u=b/r（b为常数），流线是以原点为中心的同心圆，此流场是有旋流动还是无旋流动？解用直角坐标x yor u xuyup?sinu ux?cosu uy?021?yuxuxyz?是无旋流（微元平动）小结流动作有旋运动或无旋运动仅取决于每个流体微元本身是否旋转，与整个流体运动和流体微元运动的轨迹无关。 22y xbyryrb?22y xbxrxrb?无旋有势1.速度势函数类比重力场、静电场作功与路径无关势能无旋条件由全微分理论，无旋条件是某空间位置函数(x,y,z)存在的充要条件函数称为速度势函数，无旋流动必然是有势流动zuyuyz?xuzuz x?yuxuxy?dz u dy udx uzyx dzyx?),(?速度势函数0?由函数的全微分得dzzdyydxxd?xux?yuy?zuz?grad u?（的梯度）2.拉普拉斯方程由不可压缩流体的连续性方程将代入得即拉普拉斯方程0?zuyuxuzyxxux?yuy?zuz?0222222?zyx?02?2?为拉普拉斯算子，称为调和函数不可压缩流体无旋流动的连续性方程注意只有无旋流动才有速度势函数，它满足拉普拉斯方程3.极坐标形式（二维）),(?r?rur?ru01222222?r r rr?不可压缩平面流场满足连续性方程0?yuxuyx即yuxuyx?由全微分理论，此条件是某位置函数（x，y）存在的充要条件dx u dy udy x?函数称为流函数有旋、无旋流动都有流函数流函数由函数的全微分得dyydxxd?yux?xu y?流函数的主要性质 （1）流函数的等值线是流线；c?0?d0?dx udy uy xy xudyudx?证明流线方程 （2）两条流线间通过的流量等于两流函数之差；证明dl yn udl xn udl nu dqyx),cos(),cos(?d dx udy uyx?A BBAdq? （3）流线族与等势线族正交；0?dx udy udy x?xyuudxdym?10?dy udx udy x?yxuudxdym?2121?yxxyuuuum m斜率斜率等流线等势线利用 （2）、 （3）可作流网 （4）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程证明021?yuxuxyz?0?yuxuxyxuyuy x?,02222?yx?02?则将代入也是调和函数?得在无旋流动中?例不可压缩流体，ux=x2y2，uy=2xy，是否满足连续性方程？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函数？并写出流函数。 解022?x xyuxuyx （1）满足连续性方程021?yuxuxyz? （2）是无旋流 （3）无旋流存在势函数dy udx udy x?dy yxudx yx uyyyxxx),(),(000?取（x0，y0）为（0，0）23002312),(xy xdy xydx x y xyx? （4）满足拉普拉斯方程，是调和函数?2222yx?0)2(2?x xyuxuyx （5）流函数?xydx dy ydxudyudyx222?取（x0，y0）为（0，0）?3),(32022yy xdyyx y xy?1.均匀平行流速度场（a,b为常数）速度势函数等势线流函数流线aux?b uy?by axdyudx uyx?c?c xbay?bx aydxudy uyx?c?c xaby?ux yo112323几种简单的平面势流当流动方向平行于x轴当流动方向平行于y轴如用极坐标表示0?yu ax?ay?0?xu by?bx?11221122?cos rx?sin ry?sin brby?cos brbx?2.源流与汇流（用极坐标） （1）源流1122o34u r源点o是奇点r0u r速度场速度势函数等势线流函数流线直角坐标rQur?2?0?urQrd udr urln2?2Qdr u rd ur?22ln2y xQ?xyarctgQ?2?c?c r?c?c? （2）汇流流量1122o34汇点o是奇点r0urrQu r?2?rQln2?2Q?Q Q? （3）环流势涡流（用极坐标）注意环流是无旋流！0?ruru?2?2?rd udr urr ln dru rdur?2?速度势函数流函数速度场环流强度常数?ru rdu220逆时针为正1122o34u也满足同理，对无旋流势流叠加原理012?022?21?02?02?势流叠加原理 （1）半无限物体的绕流（用极坐标）模型水平匀速直线流与源流的叠加（河水流过桥墩）流函数速度势函数即视作水平流与源点o的源流叠加u0?2sin021Qr u?rQr uln2cos021?S几个常见的势流叠加的例子作流线步骤找驻点S rQurur?2cos0?sin10uru?,00?u0?ru将代入（舍去）将代入得驻点的坐标0?0?r02uQr s?u0S or s （1） （2）由 （2）由 （1）?02uQr s?将驻点坐标代入流函数，得2