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分类讨论思想在中学数学中的应用摘要：分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，它在人的思维发展中有着重要的作用，它贯穿于整个中学数学它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于总结归纳数学知识，使所学知识条理化本文依次阐述分类讨论思想的含义，分类讨论思想的标准和分类讨论的原则并重点举例说明分类讨论思想在三角形，一元二次方程，集合，绝对值问题，不等式，函数，数列和排列组合中的应用等关键词：分类讨论 数学思想 解题策略 中学数学 The application of classification Discuss ideas in the middle school mathematicsAbstract：The application of classification discuss ideas is an important mathematical thought, at the same time is also an important problem-solving strategies, it reflects the piecemeal plot zero for the whole thought and classify and organize It is an important role in development, it runs through the entire middle school mathematics It can reveal the inherent laws of mathematical objects, contribute to the summary of the mathematical knowledge, the knowledge principledThis article in turn described the classification of the thought of the meaning of classification discuss the ideological criteria and classification of the principles discussedAnd focus illustrate the idea of classification of discussion in the triangle, a quadratic equation, a collection of the absolute value of the problem, inequalities, functions, the number of columns and the application of such arrangementKey words：Classification discuss Mathematical thought Problem-solving strategies Middle school mathematics目录1 引言42 简述分类讨论思想53 分类讨论思想的标准54 分类讨论的原则55 分类讨论思想在中学数学中的应用65.2分类讨论思想在一元二次方程中的应用85.3分类讨论思想在集合中的应用105.4分类讨论思想在绝对值问题中的应用115.5分类讨论思想在不等式中的应用125.6分类讨论思想在函数中的应用145.7分类讨论思想在数列中的应用155.8分类讨论思想在排列组合中的应用166 小结177 参考文献171 引言数学思想史对数学理论和内容的本质认识，是对数学规律的理性思考有位著名的教育家曾经说过：真正的教育旨趣在于即使学生把教给他的所有知识都忘记了，但还有能使得他受用终生的东西，那种教育才是最高最好的教育这里“受用终生的东西”在数学里就是指数学的基本思想方法从而在数学教学中注重数学思想方法的渗透是极其重要的分类讨论思想是一种非常重要的数学思想，它又称“逻辑化分思想”，它是把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别进行研究和求解的一种数学思想.有关分类讨论的题目具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点.难度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到每个数学知识领域.所以探讨分类讨论思想在中学数学中的应用是具有实际意义的2 简述分类讨论思想每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想通过对复杂多变的事物按照一定的标准进行恰当的分类，有助于更为准确完整地认识事物，恰当的分类应该是既不重复又不遗漏3 分类讨论思想的标准一般地，在集合A上讨论某一数学问题时，可根据某个标准P，把A划分为子类，这时，在上实施对问题的讨论等价于在A上实施对问题的讨论，把P就叫做分类讨论的标准例如，对方程及来说，判断方程实根的情况其分类讨论的标准是还是还是，这时我们可以简单的说按分类又如，讨论函数的单调性，其分类讨论标准是还是，可以理解为按分类又如的值，其分类讨论标准可确定为是奇数还是偶数，并可简单的认为按分类4 分类讨论的原则为了解决数学问题中的矛盾，分类旨在化大为小，化小为了，操作程序是各个击破一般地，在集合A上讨论某一数学问题有困难时，可按某一分类标准P把A划分为的并集，而后，分别在上讨论这个数学问题与在A上讨论这个数学问题相比较，其效果是一样的分类时，要遵循以下三条原则： ；下面阐述这三条原则各自的作用.“”可以保证问题不是在空集上讨论的，否则的话也就没有什么意义了；“”可以保证问题不会重复，也就是说，在上讨论问题，肯定不含中的元素；在上讨论问题，肯定不含中的元素；“”可以保证问题不会遗漏，也就是说，分别在上讨论问题，其总和等于在A上讨论同一问题5 分类讨论思想在中学数学中的应用5.1分类讨论思想在三角形中的应用5.1.1 三角形的边长不明确时需分类讨论例1 如果三角形的两边长分别是 23 cm 和 10 cm , 第三边与其中的一边长相等，那边第三边的长是多少？分析：由于题中所求的第三边与其中一边相等, 不明确具体,因此需分两种情况讨论解 当第三边的长为 23cm 时, 其三边长分别为 23cm 、23 cm 、10 cm ,它们满足三角形三边关系:两边之和大于第三边.因此, 这三边构成三角形.所以第三边的长为 23 cm ； 当第三边的长为 10 cm 时, 其三边长分别为 10cm 、10 cm 、23 cm , 因为，所以它不能构成三角形,故第三边长不能为 10cm综上所述,第三边的长为 23cm 评注 题中的条件：“第三边与已知两边的其中一边相等”，存在两种情况,这就是我们需进行分类讨论的依据.若不作两种情况的分类讨论就是思维不慎密, 将会出现漏解或错解5.1.2 三角形的高不明确时需分类讨论例2 在三角形 A BC中,AB= 8， A C= 5，则 B C等于多少？分析 根据题意可知，A BC不是边AB和边AC的夹角，所以三角形A BC 的形状不确定，因此需进行分类讨论，才能正确、圆满地解决问题解 i）当AD落在的内部时，如图（1）所示，在中，因为，所以 ，同理，在中，所以 图（1）ii）当AD落在外部时，如图（2）所示，此时为钝角三角形，同上，在中，在，所以， 图（2）综上所述，边BC的长为5.2分类讨论思想在一元二次方程中的应用例1 已知方程有实数根，求的取值范围分析 方程是“二次型”的方程，是否为一元二次方程，视二次项系数取值而定，因此需对二次项系数是否为零进行分类讨论解 i）当，即时，方程为一元一次方程，有实数根；ii）当，即时，方程为一元二次方程，由有实根的条件得，得，且 综上，得评注 字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件，一般设问方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”这都表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求例2 当是何整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数分析 本例中条件“二次方程”限定，但需要对可能取得的整数通过分类讨论验证其取值能否满足条件，使两个方程的根都是整数解 由于给出的关于的方程式一元二次方程，所以二次项系数不为零，即，又由于方程均有实根，所以解得，又，解得所以又是整数，且，所以当时，方程为，解得方程的根为，它的根不是整数，故舍去当时，方程为，解得方程的根为，此时方程的根为，均为整数，所以 例3 若实数满足，求的值分析 首先根据实数是否相等分类讨论，此类中的情况很容易被忽略解 当时， =2；当时，由方程的定义知，是方程的两个根，所以，所以 综上所述：当时，；当时，评注 从上面的例题中我们可以归纳出用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：（1）明确讨论的对象；（2）进行合理分类 所谓合理分类，应该符合三个原则：分类应按同一标准进行；分类应当没有遗漏；分类应是没有重复的；（3）逐类讨论，分级进行；（4）归纳并作出结论5.3分类讨论思想在集合中的应用例1 同时满足：（1）；（2）若的非空集合M有多少个？并写出这写出这些集合来解 按集合M中元素个数分类讨论：i）M中只有1个元素时，若，所以；ii）M中有2个元素时，满足条件的M有2个：；iii）M中有3个元素时，满足条件的M有2个：；iv）M中有4个元素时，满足条件的M只有1个：；v）M中有5个元素时，满足条件的M也只有1个：；所以适合条件的集合M共有7个例2 设求集合A中所有元素之和解 当时，此时集合A中所有元素之和为-1；当时，集合A中含两个元素，此时，由韦达定理知，集合A中所有元素之和为 例3 设，其中，如果，求实数的取值范围 解 ，因为 i) ii)即 此时方程化为即所以满足条件 iii）由韦达定理知，得 综上所述，实数的取值范围为5.4分类讨论思想在绝对值问题中的应用绝对值的代数定义：例1 若，求的值解 因为所以当时，；当时，；当时，；当时，例2 有理数到有理数-1的距离是3，有理数到3的距离是5，且，求的值分析 在数轴上，到有理数-1的距离是3的有理数有两个，一个是-4，另一个是2，即；到3的距离是5的数也有两个，一个是-2，另一个是8，即解 依题意得，解得因为，所以所以的值为-5或1，的值为1或7例3 解不等式分析 解这个不等式的关键在于确定的符号，由于的不同取值，可能为正，可能为负数，也可能为零，所以这个时候要分类讨论，常运用零点分类讨论解 令，得；令，得；所以在实数集内应以为分类标准，分成三个区间来讨论：i）当时，原不等式可化为，解得；ii）当时，原不等式可化为，解得（舍去）；iii）当时，原不等式可化为，解得；综上，原不等式的解集合为评注 可见分类讨论思想关键在于怎么分类，要由题意确定分类的标准，要周密考虑，做到不重不漏5.5分类讨论思想在不等式中的应用例1 不等式的解集是（）分析 使不等式有意义的的范围是，即或题设不等式的左边为两项，其中一项为二次算术根式，另一项是带绝对值的分式，宜先分类讨论区掉绝对值符号，化为无理不等式处理 解 （1）当时，原不等式等价于由 ，且,得 （2）当x0时，原不等式等价于，由，且，且，得 所以原不等式的解集为，故应选（B）评注 此题是关于自变量的分类讨论，运用分类讨论可以起到简化运算的作用，使问题得到顺利解决例2 解关于的不等式分析 因为，所以此不等式可以转化为一元二次不等式因大小不能确定，故需分类讨论解 由题意得等价于 （1）若，则，不等式变为，无解； （2）若，则，不等式变为，无解； （3）若，则，所以； （4）若，则，所以 综上所述，当或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为评注 此题是含参型不等式题，属于一级分类讨论问题,通过正确的分类 ，可以使复杂的问题得到清晰、完整 、严密的解答应注意最后要将结果归纳总结5.6分类讨论思想在函数中的应用例1 当为何值时，函数是一次函数解 （1）当且，即时，函数，此时是一次函数； （2）当，即时，函数，此时是一次函数； （3）当，即时，函数，此时是一次函数；评注 解题时，如果使用的概念是有范围限制的或分类定义的，那就需要的分类讨论本题已知函数是一次函数，可能是一次项，常数项或零，所以需要分类讨论例2 已知关于的函数的图像与轴总有交点，求的取值范围解 （1）当，即时，函数为一次函数，图像与轴有一个交点； （2）当时，此时函数为二次函数，解得，所以当且时，函数图像与轴有交点综合（1）（2），当时，图像与轴总有交点评注 函数中最高项的系数是含字母的不确定代数式，决定了它的取值的多种可能性 ，这时就需要分类讨论本题是函数图象与轴总有交点 ，并没有说明有几个交点，所以未知数最高项的系数要分类讨论5.7分类讨论思想在数列中的应用例1 已知等差数列首项，它的前项和为，求的值解 在等差数列中，设公差为d， （1）当公差时，所以； （2）当公差时，所以所以例2 已知等差数列中，公差，求数列的前项和解 ，若，得，于是，当时，当时，=所以评注 是等差数列，但不一定是等差数列，通过对的讨论，将其转化为等差数列求和5.8分类讨论思想在排列组合中的应用例1 用这五个数字, 组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？分析 由于该三位数是偶数,，故末尾数字必须是偶数,又因为0不能排首位,故0 就是其中的“特殊”元素, 应优先安排.按0排在末尾和0不排在末尾分为两类解 ( 1)0排末尾时, 有个； （2）0不排末尾时，有个；由分类加法计数原理，共有偶数+=30个例2 由六个数可组成多少个无重复且是6 的倍数的五位数？分析 6的倍数的数既是2的倍数,又是3的倍数其中3 的倍数又满足各个数位上的数字和是3的“倍数”的特征而且6个数之和为1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6= 21 恰好是3的倍数,要使得取得的五位数是3的倍数，必须且只须去掉一个能被3整除的数3或6因此从6个数中取5个数，可分成两类讨论解 第一类：由1、2、3、4、5、6作数码；首先从2、4、6中任选一个作个位数字有，然后其余四个数字在其他数位上全排列有，所以； 第二类：由1、2、3、4、5作数码，依上方法有； 故评注 分类讨论思想在组合问题里是经常见到的，我们在分类的时候要注意：分类标准要统一，分类结果要全面，分类的方法要合理例3 把字母共7个元素排成一列，要求不在首位，不在末位，求排法种数？分析 此题除可从特殊元素考虑（由于不能排首位，则可拍中间五位或末位）外，也可以从特殊位置首位考虑，首位不能排，则只能排或其它五个元素解 （1）首位排，排法数：； （2）首位排除、外的其它5个元素之一，排法数： 因此，共有+=720+3000=3720种不同的排法数评注 是以特殊元素还是特殊位置作为分类标准，均会产生不同的解法但我们在分类时，必须保证分类各情况独立、无重复、无遗6 小结通过以上的例子我们可以发现分类法，在数学中的应用是相当多的，它能使许多看似非常复杂的问题简单化因此在用分类讨论解决数学问题时要遵