数学建模入门基础.pdf

数学建模 小册子 1 目录 第一章 优化模型 02 第二章 统计分析 05 第三章 层次分析法 13 第四章 数值计算 25 第五章 微分方程 26 第六章 差分方程 28 第七章 图论 31 第八章 BP 人工神经网络 34 第九章 GM 1 1 灰色预测 37 2 第一章第一章 优化模型 优化模型 用 LINGO 简单的优化模型 简单的优化模型 归结为微积分中的函数极值问题 可以直接用微分法求解 简单优化模型的灵敏度分析 简单优化模型的灵敏度分析 设有一个未知量为的函数 其中是未知系数 事实上x 12 0 n f x a aa 12 n a aa 是已知的 这个函数必定存在最值 最值的求法 是各自独立的变量 12 0 n f x a aa x 12 n a aa 得到的函数 未知数是 用相对改变量衡量结果对参数的敏感程x 12 n x a aa 12 n a aa 度 下面进行灵敏度分析 对的敏感度记作 定义为x 1 a 1 S x a 1 1 111 ax xdx S x a aada x 12 11 n dx a aadx dada 把和代入上式 可解得实值 即解释为当增加 当为正值 12 n a aax 1 sS x a x1 s 时 就增加 当为负值时 就减少 ss s 同理可得对的敏感度记作 x 2 a 2 S x a 数学规划模型 在很多实际问题中 所能够提供的决策变量取值受到很多因素的制约 这样就产生了一 般的优化模型 统称为数学规划模型 按照数学规划模型的具体特征 可以将数学规划分为 线性规划模型 目标函数和约束条件都是线性函数的优化问题 非线性规划模型 目标函数或者约束条件是非线性的函数 整数规划 决策变量是整数值得规划问题 多目标规划 具有多个目标函数的规划问题 目标规划 具有不同优先级的目标和偏差的规划问题 动态规划 求解多阶段决策问题的最优化方法 数学规划问题的基本形式为 其中为决策变量向量 为目标函数 单目标规划只有一个函数 多目标规划可以Xf 理 为 一 个 向 量 函 数 的 最 优 化 问 题 为 约 束 条 件 记 0 g X 3 为可行集 因此规划的本质就是在可行集中选择使得目标最优的 0DX g X 点 若 则该问题为无条件约束问题 可以用微分法解决 有时仅有关于决策变量 n DR 的非负约束也可以归结为该类型 若 D 中的约束都是等式约束 则可以用 Lagrange 乘数法 解决 但是在实际问题中 D 的结构往往非常复杂 不能使用普通的微分方法解决 这时候 必须借助于计算软件 规划模型的 LINGO 求解 求解线性规划问题 23 123 234 235 min 22 31 2 0 1 5 j xx st xxx xxx xxx xj Model min x2 x3 x1 2 x2 x3 2 x2 3 x3 x4 1 x2 x3 x5 2 end result Global optimal solution found Objective value 2 000000 Infeasibilities 0 000000 Total solver iterations 2 VariableValueReduced Cost X22 5000000 000000 X30 50000000 000000 X16 5000000 000000 X40 0000000 000000 X50 0000001 000000 RowSlack or SurplusDual Price 1 2 000000 1 000000 20 0000000 000000 30 0000000 000000 40 0000001 000000 4 Ranges in which the basis is unchanged Objective Coefficient Ranges CurrentAllowableAllowable VariableCoefficientIncreaseDecrease X2 1 0000000 66666670 0 X31 0000002 0000000 0 X10 00 40000000 0 X40 0INFINITY0 0 X50 0INFINITY1 000000 Righthand Side Ranges RowCurrentAllowableAllowable RHSIncreaseDecrease 22 000000INFINITY6 500000 31 0000001 000000INFINITY 42 000000INFINITY1 000000 Variable表示目标函数 Row表示约束条件 分析报告 LINGO经过2次迭代后得到全局最优解 目标值Objective value为 1 5 全 局最优解为X 6 5 2 5 0 5 0 0 Reduced Cost列出最优单纯形表中判别数所在行的变 量的系数 表示当变量有微小变动时 目标函数的变化率 其中基变量的reduced cost值应 为0 对于非基变量Xi 相应的reduced cost值表示当某个变量Xi增加一个单位时目标函数 减少 max型问题 或增加 min型问题 的量 Slack or Surplus给出松弛变量的值 DUAL PRICE 对偶价格 表示当对应约束有微小变动时 目标函数的变化率 输出结果中对应于每一 个约束有一个对偶价格 若其数值为p 表示对应约束中不等式右端项若增加1个单位 目标函 数将增加 max型问题 或减少 min型问题 p个单位 基变量 有实值 时为0 非基变量 为 0值 时不为0 Ranges in which the basis is unchanged 即研究当目标函数的系数和约束右端 在什么范围变化时 最优基保持不变 Current Coefficient Current RHS Allowable Increase Current Coefficient Current RHS Allowable Increase INFINITY表示无穷大 5 第二章第二章 统计分析 统计分析 用 matlab 或 SAS 统计学知识总结 1 统计的几个基本名词 总体 样本 样本值 2 统计推断就是利用样本值来对总体的分布类型 未知参数进行估计和推断 明确的说 由样本统计量 样本均值 样本比例 样本方差 推断总体 总体均值 总体比例 总体方差 3 统计过程 样本 统计量 抽样分布 总体分布 4 抽样分布 单正态总体的抽样分布 3 个 均值未知 方差未知 均值与方差均未知 双正态总体的抽样分布 2 个 均值差 方差比 5 参数估计 正态分布的置信区间 6中情况 单正态总体均值 方差已知 正双态总体均值差 方差已知 单正态总体均值 方差未知 正双态总体均值差 方差已知 单正态总体方差正双态总体方差比 6 假设检验 单正态总体的假设检验 双正态总体的假设检验 7 方差分析 单因素 8 回归分析 判别分析 判别分析 判别分析法就是利用原有的分类信息 得到体现这种分类的函数关系式 称为判别函 统计分析 方差分析 判别分析 聚类分析 主成分分析 回归分析 单因子 双因子 6 数 然后利用该函数去判别未知样品属于哪一类 聚类分析 聚类分析 分类问题分为判别分析和聚类分析 判别分析研究事先已经建立类别的情况 即将样品 或指标按已知的类别进行归类 聚类分析适用于实现没有分类的情况 即如何将样品或指标 进行分类的问题 聚类分析包含的范围很广 可以有系统聚类法 动态聚类法 分裂法 最 优分割法 模糊聚类法 图论聚类法 聚类预报等多种方法 聚类分析法的原理试 首先将一定数量的样品各自看成一类 然后根据样品的亲疏程度 将亲疏程度最高的两类进行合并 然后考虑合并后的类与其他类之间的亲疏程度 再进行合 并 重复这一过程 直至将所有的样品合并为一类 主成分分析 主成分分析 注意建模步骤 在统计分析中有一类问题就是抽取信息的精华 这就是因子分析和主成分分析 当要研究一个问题时 通常的做法是抽取大量的变量信息 例如 为了准确预报天气 我们抽取了大量的数据 如有 1000 个变量的抽样数据 然而这些数据中很多是相关的 这 就是信息的冗余 信息冗余不仅带来计算上的复杂性 甚至导致计算误差增加 主成分分析法就是从大量的信息中 选择一组个数少 且互不相关 并带有原样本的大 部分的信息另一组变量 简单的说 主成分分析就是把多个指标化为少数几个综合指标的一 种统计方法 主成分分析计算步骤 主成分分析计算步骤 计算相关系数矩阵 1 pppp p p rrr rrr rrr R L MMMM L L 21 22221 11211 在 3 5 3 式中 rij i j 1 2 p 为原变量的xi与xj之间的相关系数 其计算 公式为 2 n k n k jkjiki n k jkjiki ij xxxx xxxx r 11 22 1 因为 R 是实对称矩阵 即rij rji 所以只需计算上三角元素或下三角元素即可 计算特征值与特征向量 7 首 先 解 特 征 方 程 通 常 用 雅 可 比 法 Jacobi 求 出 特 征 值0 RI 并使其按大小顺序排列 即 然后分别求出对应 2 1 pi i L 0 21 p L 于特征值的特征向量 这里要求 1 即 其中表示向 i 2 1 pieiL i e1 1 2 p j ij e ij e 量的第j个分量 i e 计算主成分贡献率及累计贡献率 主成分的贡献率为 i z 2 1 1 pi p k k i L 累计贡献率为 2 1 1 1 pi p k k i k k L 一般取累计贡献率达85 95 的特征值所对应的第一 第二 第m m 21 L m p 个主成分 计算主成分载荷 其计算公式为 3 2 1 pjiexzpl ijijiij L 得到各主成分的载荷以后 还可以按照 3 5 2 式进一步计算 得到各主成分的得分 8 4 nmnn m m zzz zzz zzz Z L MMMM L L 21 22221 11211 更多的时候我们需要对数据进行标准化 也就是将数据归一化 即对每一列的数据除上 它们的标准差 然后进行主成分分析 在 matlab 中进行主成分分析 pc score latent tsquare princomp x PC 相对于特征值 latent 的特征向量 根据数据矩阵 X 返回因子成分 PC 也就是主成分 score 主成分 Yi 中的元素 通过将原始数据转换到因子成分空间中得到的数据 也就 是原始数据在由主成分所定义的新坐标系中的确定的数据 其大小与输入数据矩阵的大小相 同 latent 存放从大到小的特征值 tsquare t 平方统计量 它是描述每一测量值与数据中心距离的统计量 用它可以找到 数据中的极值点 在 SAS 系统中主成分分析通过 proc princomp 过程来实现 主成分分析方法应用实例主成分分析方法应用实例 1 实例 1 流域系统的主成分分析 张超 1984 表 3 5 1 点击显示该表 给出了某流域系统 57 个流域盆地的 9 项变量指 标 其中 x1 代表流域盆地总高度 m x2 代表流域盆地山口的海拔高度 m x3 代表流域盆地周长 m x4 代表河道总长度 m x5 代表河道总数 x6 代表平均分叉率 x7 代表河谷最大坡度 度 x8 代表河源数 x9 代表流域 盆地面积 km2 1 分析过程 将表 3 5 1 中的原始数据作标准化处理 然后将它们代入相关系数公式计算 得到相关系数矩阵 表 3 5 2 9 由相关系数矩阵计算特征值 以及各个主成分的贡献率与累计贡献率 见表 3 5 3 由表3 5 3 可知 第一 第二 第三主成分的累计贡献率已高达 86 5 故只需求出第一 第二 第三主成分 z1 z2 z3 即可 z3 上的载荷 表 3 5 4 最重要的就是回归分析 回归分析 回归分析是指对具有相关关系的现象 根据其关系形态 选择一个合适的数学模型 用 来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法 回归分析的分类 按照回归模型中变量个数分 一元回归 多元回归 按照回归曲线 的形态分 线性回归 非线性回归 按照是否要求总体分布类型已知分 参数回归 非参 数回归 主要学习一元线性回归一元线性回归和多元线性回归多元线性回归 10 建模过程 模型的参数估计 检验 预测和控制 一元线性回归模型 一元线性回归模型 模型的参数估计 一般地 称由确定的模型为一元线性回归模型 记为 01 yx 01 2 0 yx ED 其中固定的未知参数称为回归系数 自变量也称为回归变量 01 x 01 yx 称为对的回归直线方程 yx 一元线性回归分析的主要任务 1 用试验值 样本值 对和作点估计 01 2 对回归系数作假设检验 01 3 在处对作预测 对作区间估计 0 xx yy 回归系数的最小二乘估计回归系数的最小二乘估计 有组独立观测值 n 1 2 ii x yin 设 记 最小二乘法就是选择和 2 2 0101 11 nn iii ii QQyx 0 1 的估计 使得 计算得到 0 1 01 0101 min QQ 01 1 2 2 yx xyxy xx 其中 经验 回归方程为 22 1111 1111 nnnn iiiii iiii xx yy xxxyx y nnnn 011 yxyxx 记 称为残差平方和 2 2 0101 11 nn eiiii ii QQyxyy e Q 或剩余平方和 的无偏估计为 2 2 2 e Qn 11 回归方程的显著性检验 对回归方程的显著性检验 归结为对假设进行检 01 Yx 0111 0 0HH 验 假设被拒绝 则回归显著 认为与存在线性关系 所求的线性回归方 01 0H yx 程有意义 否则回归不显著 与的关系不能用一元线性回归模型来描述 所得的回归方yx 程也无意义 F 检验法 当成立时 其中 回归平 0 H 1 2 2 e U FFn Qn 2 1 n i i Uyy 方和 若 拒绝 否则就接受 1 1 2FFn 0 H 0 H 回归系数的置信区间 和置信水平为的置信区间分别为 0 1 1 和 22 00 11 22 11 2 2 ee xxxx xx tntn nLnL 00 11 22 2 2 exxexx tnLtnL 的置信水平为的置信区间为 2 1 22 1 22 22 ee QQ nn 预测 用的回归值作为的预测值 的置信水平为的预测区间为 0 y 0010 yx 0 y 0 y1 其中 特别 当 0000 yxyx 2 0 0 1 2 1 21 e xx xx xtn nL n 很 大 且在附 近 取 值 时 的 置 信 水 平 为的 预 测 区 间 近 似 为 0 xxy1 11 22 ee yuyu 多元线性回归 多元线性回归 一般称为高斯 马尔柯夫线性模型 元线性回归模 2 0 n YX ECOVI k 型 并简记为 2 n Y XI 12 其中 1 n y Y y 11121 21222 12 1 1 1 k k nnnk xxx xxx X xxx 0 1 k 1 2 n 称为回归平面方程 01 1 kk yxx 线性模型考虑的主要问题是 2 n Y XI 1 用试验值 样本值 对未知参数和作点估计和假设检验 从而建立与 2 y 之间的数量关系 12 k x xx 2 在处对的值作预测与控制 即对作区间估计 1012020 kk xxxxxx yy 对和作估计 用最小二乘法求的估计量 作离差平方和 i 2 0 k 2 011 1 n iikk i Qyxx 选择使达到最小 解得估计值 得到的代入回归平方 0 k Q 1 TT X XX Y i 程得 称为经验回归平面方程 称为经验回归系数 01 1 kk yxx i 多元线性回归中的检验与预测 假设 001 0 k H 当成立时 如果 则 0 H 1 1 e Uk FF k nk Qnk 1 1FFk nk 拒绝 认为与之间显著地有线性关系 否则就接受 认为与 0 Hy 12 k x xx 0 Hy 之间线性关系不显著 12 k x xx 求出回归 方程 对于给 定自变量的值 用 01 1 kk yxx 12 k x xx 来预测 称为的点预测 01 1 kk yxx 01 1 kk yxx y y 多元线性回归多元线性回归 matlabmatlabmatlabmatlab 命令 命令 确定回归系数的点估计值 b regress Y X 13 0 1 k b 1 2 n Y Y Y Y 11121 21222 12 1 1 1 p p nnnp xxx xxx X xxx 求回归系数的点估计和区间估计 并检验回归模型 b bint r rint stats regress Y X alpha Stats 给出用于检验回归模型的统计量 有三个数值 相关系数 r2 F 值 与F 对应的概率 p 判别规则 相关系数 r2 越接近 1 说明回归方程越显著 时拒绝 1 1FFk nk F 越大 说明回归方程越显著 与 F 对应的概率时拒绝 回归模型成立 0 Hp ijij ij jiijnxnij aa a aaaA或 由于上述成对比较矩阵有特点 ji ijijij a aaaA 1 0 故可称为正互反矩阵正互反矩阵 显然 由 即 故有 A ji ij a a 1 1 jiij aa1 ji a 例如 在旅游决策问题中 15 表示 2 1 12 a 费用 景色 2 1 C C 2O 1O 2 1 的重要性为 费用 对目标 的重要性为景色 对目标 C C 故 费用重要性为即景色重要性为21 2 1 12 a 表示 1 4 4 13 a 居住条件 景色 3 1 C C 1OC 4O 3 1 的重要性为 居住条件 对目标 的重要性为景色 对目标C 即 景色为 4 居住为 1 表示 1 7 7 23 a 居住条件 费用 3 2 C C 1OC 7O 3 2 的重要性为 居住条件 对目标 的重要性为费用 对目标C 即 费用重要性为 7 居住重要性为 1 因此有成对比较矩阵 113 5 1 3 1 112 5 1 3 1 3 1 2 1 1 7 1 4 1 55 33 7 4 1 2 1 2 1 A 问题 问题 稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题 即存在有各元素的不一致性不一致性 例如 既然 4 11 1 4 a 2 2 1 13 31 3 1 1321 2 1 12 a a C C a C C a 所以应该有 1 8 8 4 1 2 1 3 1 2 31 21 3 2 23 C C C C a a C C a 而不应为矩阵中的A 1 7 23 a 成对比较矩阵比较的次数要求太 因 个元素比较次数为 n 2 1 2 nn Cn 次 因此 问题是 如何改造成对比较矩阵 使由其能确定诸因素对上层因素 n CC 1 L O 的权重 对此 Saoty 提出了 在成对比较出现不一致情况下 计算各因素对因素 上 n CC 1 L 16 层因素 O 的权重方法 并确定了这种不一致的容许误差范围 为此 先看成对比较矩阵的完全一致性 成对比较完全一致性 四 一致性矩阵四 一致性矩阵 DefDefDefDef 设有正互反成对比较矩阵 4 1 a 1 1 1 nn 2 2 1 1 2 2 2 2 22 1 2 21 1 1 2 1 12 1 1 11 n nn n n n j i ij n n n n W W W W a W W a W W a W W a W W a W W a W W a W W a W W a A L LLL L L 除满足 i 正互反性 即 1 1 0 jiij ji ijij aa a aa或 而且还满足 ii 一致性 即 n 2 1 j i L ha ha aka a a a j i kji j i ij 则称满足上述条件的正互反对称矩阵 A 为一致性矩阵 简称一致阵 一致性矩阵 一致阵 性质 一致性矩阵 一致阵 性质 性质性质 1 1 1 1 的秩Rank A 1A 的唯一非 0 的特征根为 nA 性质性质 2 2 2 2 的任一列 行 向量都是对应特征根的特征向量 An 即有 特征向量 特征值 则向量 n nnn n n W W W W W W W W W W W W W W W W W W A L LLLL L L 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 3 2 1 W W W W M r 满足 Wn nW nW nW W W W W W W W W W W W W W W W WA nn n nnn n LM L MLMM L 2 1 2 1 21 1 2 1 1 1 17 即 0 WnIA 启发与思考 启发与思考 既然一致矩阵有以上性质 即n个元素W1 W2 W3 Wn 构成的向量 n W W W W L 2 1 是一致矩阵 A 的特征向量 则可以把向量 W 归一化后的向量 看成是诸元素W1 W2 W3 Wn 目标的权向量 因此 可以用求A的特征根和特征向量的办法 求出元素W1 W2 W3 Wn 相对于目标 O 的劝向量 解释 解释 一致矩阵即 件物体 它们重量分别为 将他n n MMM 21 L n WWW 21 L 们两两比较重量 其比值构成一致矩阵 若用重量向量右乘 则 n W W W W L 2 1 A 称特征根法 求权向量的方法量权向量 此种用特征向 为即对上层因素O的权重 C CC 就表示诸因素 W 则归一化后的特征向量 重量向量 为特征根的特征向量为以 的特征根为 n21 1W W W W 1 2 1 LL L i n W W W n nA 分析 分析 若重量向量未知时 则可由决策者对物体之间两两相比 n W W W W M 2 1 n MMM 21 L 关系 主观作出比值的判断 或用 Delphi 调查法 来确定这些比值 使矩阵 不一定A 有一致性 为已知的 并记此主观判断作出的矩阵为 主观 判断矩阵并记此主观判断作出的矩阵为 主观 判断矩阵 并且此 并且此 不不AA 一致 在不一致的容许范围内 再依据 一致 在不一致的容许范围内 再依据 的特征根或和特征向量的特征根或和特征向量的特征根或和特征向量的特征根或和特征向量连续地依赖于矩阵连续地依赖于矩阵连续地依赖于矩阵连续地依赖于矩阵的的的的AW 元素元素元素元素 即当 即当 即当 即当离一致性的要求不太远时 离一致性的要求不太远时 离一致性的要求不太远时 离一致性的要求不太远时 的特征根的特征根的特征根的特征根 和特征值 向量 和特征值 向量 和特征值 向量 和特征值 向量 与一致矩与一致矩与一致矩与一致矩 ij a ij aAiW 阵阵阵阵的特征根的特征根的特征根的特征根和特征向量和特征向量和特征向量和特征向量也相差不大的道理 由特征向量也相差不大的道理 由特征向量也相差不大的道理 由特征向量也相差不大的道理 由特征向量求权向量求权向量求权向量求权向量的方法即为的方法即为的方法即为的方法即为A WWW 18 特征向量法特征向量法特征向量法特征向量法 并由此引出 并由此引出 并由此引出 并由此引出一致性检查的方法一致性检查的方法一致性检查的方法一致性检查的方法 问题 问题 RemarkRemarkRemarkRemark 以上讨论的用求特征根来求权向量的方法和思路 在理论上应解决以下问题 W 1 一致阵的性质 1 是说 一致阵的最大特征根为 即必要条件 但用特征根来求特征n 向量时 应回答充分条件 即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量 且 如果正互反矩阵的最大特征根时 是否为一致阵 An max A 2 用主观判断矩阵的特征根和特征向量连续逼近一致阵的特征根 和特征向量A WA 时 即 由W k kk lim 得到 WWk k lim 即 AAk k lim 是否在理论上有依据 3 一般情况下 主观判断矩阵在逼近于一致阵的过程中 用与接近的来代替AAA A 即有 这种近似的替代一致性矩阵的作法 就导致了产生的偏差估计问题 AAA A 即一致性检验问题 即要确定一种一致性检验判断指标 由此指标来确定在什么样的允许 范围内 主观判断矩阵是可以接受的 否则 要两两比较构造主观判断矩阵 此问题 即一致性检验问题的内容 以上三个问题 前两个问题由数学严格比较可获得 见教材 P325 定理 1 定理 2 第 3 个问题 Satty 给出一致性指标 TH1 TH2介绍如下 附 Th1Th1Th1Th1 教材 P326 perronTh比隆1970 对于正矩阵 的所有元素为正数 AA 1 的最大特征根是正单根 A 2 对应正特征向量 的所有分量为正数 WW 3 其中 为半径向量 是对应的归一化特征向量W eAe eA kT k k lim 1 1 1 L eW 证明 3 可以通过将化为标准形证明A Th2Th2Th2Th2 阶正互反阵 A 的最大特征根 nn 当时 是一致阵n A 五 一致性检验五 一致性检验 一致性指标 一致性指标 1 1 1 1 一致性检验指标的定义和确定 一致性检验指标的定义和确定 一致性检验指标的定义和确定 一致性检验指标的定义和确定 的定义 的定义 的定义 的定义 IC 19 当人们对复杂事件的各因素 采用两两比较时 所得到的主观判断矩阵 一般不可A 直接保证正互反矩阵就是一致正互反矩阵 因而存在误差 及误差估计问题 这种误AA 差 必然导致特征值和特征向量之间的误差 此时就导致问题 WW 及 与问题之间的差别 上述问题中是主观判断矩阵的特征W max WA nWAW max A 值 是带有偏差的相对权向量 这是由判断矩阵不一致性所引起的 W 因此 为了避免误差太大 就要衡量主观判断矩阵的一致性 A 因为 当主观判断矩阵为一致阵时就有 AA 为一致阵时有 n k n k kk n k n n k kna 1111 1 A1 ii a 此时存在唯一的非n max 由一致阵性质 1 Rark 4 1 有唯一非 O 最大特征根且 An max 当主观判断矩阵不是一致矩阵时 此时一般有 Th2 An max 此时 应有 naii k h max max 即 max max k k n 所以 可以取其平均值作为检验主观判断矩阵的准则 一致性的指标 即 11 maxmax nn n IC k k 显然 显然 1 当时 有 为完全一致性n max 0 ICA 2 值越大 主观判断矩阵的完全一致性越差 即 偏离越远 用特征IC AAA 向量作为权向量引起的误差越大 3 一般 认为主观判断矩阵的一致性可以接受 否则应重新进行两10 ICA 两比较 构造主观判断矩阵 2 2 2 2 随机一致性检验指标 随机一致性检验指标 随机一致性检验指标 随机一致性检验指标 IR 问题 实际操作时发现 主观判断矩阵的维数越大 判断的一致性越差 故应放宽对高A 20 维矩阵的一致性要求 于是引入修正值来校正一致性检验指标 即定义IR IR 的修正值表为 并定义新的一致性检验指标为 IR IC RC 随机一致性检验指标 的解释 IR 为确定的不一致程度的容许范围 需要确定衡量的一致性指示的标准 于是AAIC Satty 又引入所谓随机一致性指标 其定义和计算过程为 IR 对固定的 随机构造正互反阵 其元素从 1 9 和 1 中随机取值 nA jiaij 9 1 且满足与的互反性 即 且 ij a ji a ji ij a a 1 1 ii a 然后再计算的一致性指标 因此是非常不一致的 此时 值相当大 A IC A IC 如此构造相当多的 再用它们的平均值作为随机一致性指标 A IC SattySattySattySatty 对于不同的对于不同的 11 11 11 11 用 用 100100100100 500500500500个样本个样本计算出上表所列出的随机一计算出上表所列出的随机一1 nnA 致性指标致性指标作为修正值表 作为修正值表 IR 3 3 3 3 一致性检验指标的定义一致性检验指标的定义一致性检验指标的定义一致性检验指标的定义 一致性比率一致性比率一致性比率一致性比率 RC 由随机性检验指标可知 RC 当时 这是因为 1 2 阶正互反阵总是一致阵 2 1 n0 IR 对于的成对比较阵 将它的一致性指标与同阶 指相同 的随机一致性3 nAIC n 指标之比称为一致性比率一致性比率 简称一致性指标 简称一致性指标 IR 即有 一致性检验指标的定义 一致性比率 定义 定义 IR IC RC IR IC RC 当 时 认为主观判断矩阵的不一致程度在容许范围之10 IR IC RCA 内 可用其特征向量作为权向量 否则 对主观判断矩阵重新进行成对比较 构重新A 的主观判断矩阵 A 注 上式的选取是带有一定主观信度的 10 IR IC RC 六 标度六 标度 比较尺度解 比较尺度解 在构造正互反矩阵时 当比较两个可能是有不同性质的因素和对于上层因素 i C j C 的维数A 123456789 IR 0 000 000 580 961 121 241 321 411 45 21 O 的影响时 採用什么样的相对刻度较好 即的元素的值在 1 9 或 1 ij a 9 1 或更多的数字 Satty 提出用 1 9 尺度最好 即取值为 1 9 或其互反数 1 心 ij a 9 1 理学家也提出 人们区分信息等级的极限解能力为 2 可见对阶矩阵 只需作7nn 出个判断值即可 2 1 nn 注 以上比较的标度 Satty 曾用过多种标度比较层 得到的结论认为 1 9 尺度不仅在较简 单的尺度中最好 而且比较的结果并不劣于较为复杂的尺度 Satty 曾用的比较尺度为 1 3 1 5 1 6 1 11 以及 其中 1 0 d 9 0 d4 3 2 1 d 其中 p 1 P 95 4 3 2 P 等共 27 种比较尺度 对放在不同距离处的光源亮度进行比较判断 并构造出成对比较矩阵 计算出权向量 同时把计算出来的这些权向量与按照物理学中光强度定律和其他物理知识得 到的实际权向量进行对比 结果也发现 1 9 的比较标度不仅简单 而效果也较好 至少不 比其他更复杂的尺度差 因而用 1 9 的标度来构造成对比较矩阵的元素较合适 七 组合权向量的计算七 组合权向量的计算 层次总排序的权向量的计算层次总排序的权向量的计算 层次分析法的基本思想 1 计算出下一层每个元素对上一层每个元素的权向量W def 层次总排序 计算同一层次所有元素对最高层相对重要性的排序权值 当然要先 构造下一层每个元素对上一次每个元素的成对比较矩阵 计算出成对比较矩阵的特征向量 和法 根法 幂法 由特征向量求出最大特征根 由和法 根法 幂法求得 max 标度 ij a 定义 1 3 5 7 9 2 4 6 8 倒数 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 因素 与因素相同重要ij 因素 比因素稍重要ij 因素 比因素较重要ij 因素 比因素非常重要ij 因素 比因素绝对重要ij 因素 与因素的重要性的比较值介于上述两ij 个相邻等级之间 因素与因素比较得到判断值为的互反ji ij a 数 ij ji a a 1 1 ii a 22 用最大特征根用方式及对成对比较 max 1 max n n IC IR RC RC 矩阵进行一致性检 并通过 2 并把下层每个元素对上层每个元素的权向量按列排成以下表格形式 例 假定 上 层有个 元 素 且 其 层 次 总 排 序 权 向 量 为Am m AAA 21 L 下层有个元素 则按对个元素 m aaa 21 LBn n BBB 21 L j B i A 的单排序权向量的列向量为 即有 ij b 注 若下层元素与上层元素无关系时 取 k B j A0 kj b 总排序权向量各分量的计算公式 1 1 nibaW ij m j ji L 3 对层次总排序进行一致性检验 从高层到低层逐层进行 如果 如果层次某些元素对单的排序的一致性指标为 相应的平均随机一致性指标B j A j CI 层次 1 A 1 AmA 1 层总是排序权重 权向B 量 列向量 1 a 2 a m a n B B B M 2 1 1 12 11 n b b b M 2 22 12 n b b b M L M L L nm m m b b b M 2 1 m j njjn m j jj m j jj baW baW baW 1 1 22 1 11 M max 计算出最大特根 方法 和法 根法 幂法 IC 一致性检验 1 max n n IC IC 一致性检验比率 m j jj m j j RIa CIa IR IC RC 3 检验否 10 CR 23 为 则层总排序随机一致性比率为 j RIB m j jj m j jj RIa CIa RC 1 1 当时 认为层次总排序里有满意的一致性 否则应重新调整判断矩阵的元素10 CR 取值 八 层次分析法的基本步骤 八 层次分析法的基本步骤 S1 建立层次结构模型 将有关因素按照属性自上而下地分解成若干层次 同一层各因素从属于上一层因素 或对上层因素有影响 同时又支配下一层的因素 或受到下层因素的影响 最上层为目标层 一般只有一个因素 最下层为方案层或对象层 决策层 中间可 以有 1 个或几个层次 通常为准则层或指标层 当准则层元素过多 例如多于 9 个 时 应进一步分解出子准则层 S2 构造成对比较矩阵 以层次结构模型的第 2 层开始 对于从属于 或影响及 上 一层每个因素的同一层诸因素 用成对比较法和 1 9 比较尺度构造成对比较矩阵 直 到最下层 S3 计算 每个成对比较矩阵的 权向量并作一致性检验 对每一个成对比较矩阵计算最大特征根及对应的特征向量 和法 根法 幂法 max 等 n W W WM 1 利用一致性指标 随机一致性指标和一致性比率作一致性检验IC RC IR IC CR 若通过检验 即 或 则将上层出权向量归一化1 0 RC1 0 IC n W W WM 1 之后作为 到 的权向量 即单排序权向量 j B j A 若不成立 则需重新构造成对比较矩阵1 0 RC S4 计算组合权向量并作组合一致性检验 即层次总排序 利用单层权向量的权值构组合权向量表 并计算出特征根 mj W W W n j 1 1 LM 组合特征向量 一致性 24 若通过一致性检验 则可按照组合权向量的表示结果进行决策 n W W WL 1 中中最大者的最优 即 n W W WL 1 i W T ni WWWWW max 1 L 若未能通过检验 则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 较大的成对CR 比较矩阵 上 单层 层重 权量 向 下层量 层次 1 A 1 AmA 1 计算组合权向量 n W W WL 1 其中 m j ijji WaW 1 1 a 2 a m a n B B B M 2 1 1 12 11 n W W W M 2 22 12 n W W W M L M L L nm m m W W W M 2 1 m j njjn m j jj m j jj baW baW baW 1 1 22 1 11 M 最大特征根 max i 和法 根法 幂法 一致性检验CI 1 max n n CI j j 1 0 CI 一致性随机检验RI 对照表 j RI 10 CR 一致性比率CR m j jj m j jj RIa CIa RI CI CR 2 25 第四章第四章 数值计算 数值计算 用 matlab 最重要的是拟合和插值 拟合和插值 问题 问题 给定一批数据点 输入变量与输出变量的数据 需确定满足特定要求的曲线或 曲面 如果输入变量和输出变量都只有一个 则属于一元函数的拟合和插值 而若输入变量 有多个 则为多元函数的拟合和插值 有点回归分析的意思 解决方案 解决方案 1 若要求所求曲线 面 通过所给所有数据点 就是插值问题插值问题 2 若不要求曲线 面 通过所有数据点 而是要求它反映对象整体的变化趋势 这就是 数据拟合数据拟合 又称曲线拟合曲线拟合或曲面拟合曲面拟合 注意 注意 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似 由于近似的要 求不同 二者的数学方法上是完全不同的 用 matlab 进行拟合 用 matlab 作线性最小二乘拟合 作多项式拟合 11 m mm fxa xa xa a polyfit x y m a polyfit x y m a polyfit x y m a polyfit x y m 用 matlab 进行插值 一维插值函数 yi interp1 x y xi method method 为插值方法 二维插值函数 z interp2 x0 y0 z0 x y method 解线性方程组 解线性方程组 数值积分 数值积分 常微分方程数值解法 常微分方程数值解法 数值计算 拟合和插值 常微分方程数值计算 解线性方程组 数值积分 26 第五章第五章 微分方程 微分方程 动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述 动态连续的 对于某些实际问题 建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态 而是研究 某种意义下稳定状态的特征 特别是当时间充分长以后动态的变化趋势 这就是微分方程微分方程稳稳 定性问题定性问题 微分方程稳定性理论 微分方程稳定性理论 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 1 x tf x 否则 称是不稳定的 不渐进稳定 0 x 判断平衡点 x0 是否稳定通常有两种方法 利用定义即 3 式称间接法 不求方程 1 的解 x t 因而不利用 3 式的方法称直接法 下面介绍直接法 将 f x 在 x0 点作 Taylor 展开 只取一次项 方程 1 近似为 4 00 x tfxxx 若 p 0 q z 000 21 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 kk k k kk k k k k z zz zz zz zzF 所以 nn n x 2 1 二阶线性差分方程组 设 形成向量方程组 nz n y x n dc ba A 12 1 nAznz 则 13 1 1 zAnz n 13 即为 12 的解 为了具体求出解 13 需要求出 这可以用高等代数的方法计算 常用的方法有 n A 1 如果 A 为正规矩阵 则 A 必可相似于对角矩阵 对角线上的元素就是 A 的特征值 相似变换矩阵由 A 的特征向量构成 1 1 111 zppnzppAppA nnn 2 将 A 分解成为列向量 则有 A AA nnn 1 从而 1 1 1 1 AzzAnz nn 3 或者将 A 相似于约旦标准形的形式 通过讨论 A 的特征值的性态 找出的内 n A 在构造规律 进而分析解的变化规律 获得它的基本性质 nz 关于差分方程稳定性的几个结果 1 k 阶常系数线性差分方程 8 的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程 10 所有的 特征根满足ki i 2 1 1 i 2 一阶非线性差分方程 31 14 1nn xfx 14 的平衡点由方程决定 x xfx 将在点处展开为泰勒形式 n xf x 15 xfxxxfxf nn 故有 时 14 的解是稳定的 1 xf x 第七章第七章 图论图论 基本概念和名词 1 图 由若干个不同的点 顶点或节点 与其中某些顶点的连线所组成的图形 图的 表 示 其 中为顶 点 集 为边 集 GG V E VV G EE G 联结中的两个顶点 eE e V 2 权 图中的每条边都有一个具体的数与之对应 这些数为权 带权的图为赋权图或网络 3 边与弧 两点之间不带箭头的连线称为边 带箭头的连线称为弧 4 无向图 一个图 G 是由顶点和边构成的 5 有向图 一个图 G 是由顶点和弧构成的 设 V 和 E 分别是图的顶点的集合和边的集合 弧的 1 n Vvv 1 m Eee 集合为 1 m Aaa 6 链 在无向图中 点与边的交错序列称为连结和的链 1121 iiiikik vevvv 1i v ik v 为连结和的边 it e it v 1it v 7 路径 是有向图中一条链 为从指向的弧 称之为从 1121 iiiikik vevvv it a it v 1it v 到的路径 1i v ik v 8 回路 闭合的路径称为回路 9 圈 闭合的链称为圈 10 连通图 图 G 中任何两个点之间至少有一条链 称 G 为连通图 11 树 一个无圈的连通图称为树 32 12 生成树 若是连通图的生成子图 即 111 GV E 222 GV E 12 VV 12 EE 且本身是树 则称为的生成树 1 G 1 G 2 G 13 邻接矩阵 表示图 G 中从顶点到的弧 无向图只考虑与间的边 的数目 ij b i v j v i v j v 则矩阵称为图 G 的邻接矩阵 ij Bb 14 带权邻接矩阵 以表示网络 G 中从顶点到的弧的权 无向网只考虑与间 ij w i v j v i v j v 的边的权 当到无弧或边时 则矩阵称为图 G 的带权邻接矩阵 i v j v ij w ij Ww 图论中最常用的知识点 最短路问题 最小生成树问题 遍历性问题和图的匹配问题 这里仅简单介绍前两个问题的解决方法 1 最短路问题 两个指定顶点之间的最短路径两个指定顶点之间的最短路径 问题如下 给出了一个连接若干个城镇的铁路网络 在这个网络的两个指定城镇间 找 一条最短铁路线 以各城镇为图 G 的顶点 两城镇间的直通铁路为图 G 相应两顶点间的边 得图 G 对 G 的 每一边 赋以一个实数 直通铁路的长度 称为的权 得到赋权图 G G 的子图e w ee 的权是指子图的各边的权和 问题就是求赋权图 G 中指定的两个顶点间的具最小权的 00 u v 轨 这条轨叫做间的最短路 它的权叫做间的距离 亦记作 00 u v 00 u v 00 d u v 求最短路已有成熟的算法 迪克斯特拉 Dijkstra 算法 其基本思想是按距从近到 0 u 远为顺序 依次求得到 G 的各顶点的最短路和距离 直至 或直至 G的所有顶点 0 u 0 v 算法结束 为避免重复并保留每一步的计算信息 采用了标号算法 下面是该算法 i 令 对 令 0 0l u 0 vu 00 0l vSui ii 对 每个 用代替 计 算 iii vSSVS min i u S l vl uw uv l v 把达到这个最小值的一个顶点记为 令 min i u S l v 1i u 11iii SSu U iii 若 停止 若 用 i 1 代替 转 ii i1iV 1iV 算法结束时 从到各顶点的距离由的最后一次的标号给出 在进入之 0 uvv l vv i S 前的标号叫 T 标号 进入时的标号叫 P 标号 算法就是不断修改各项点的 T l vv i S l v 标号 直至获得 P 标号 若在算法运行过程中 将每一顶点获得 P 标号所由来的边在图上 33 标明 则算法结束时 至各项点的最短路也在图上标示出来了 每对顶点之间的最短路径每对顶点之间的最短路径 计算赋权图中各对顶点之间最短路径 显然可以调用 Dijkstra 算法 具体方法是 每 次以不同的顶点