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利用均值不等式巧解抛物线有关对称问题中学数学杂志(高中)2006年第4期数,且在0,+)上是增函数.解(1)令Y=一l,得(一)=f(x)?-厂(一1).因为f(一1):l,所以-厂(一)=f(z),f(x)为偶函数.(2)设0.zl<2,则0x_A<l,2(一)=厂(?)=厂()?f(z).因为当0<l时,f(x)0,1),所以/()<1,所以f(x,)<f(x),故f(x)在0,+O0)上是增函数.(3)因为f(27)=9,且f(39)=f(3)f(9)=f(3)?f(3)?f(3)=f(3),所以9:f(3),所以r(3)=,因为f(a+1)9,所以f(a+1)f(3),所以由:3,得0口2.以上实例说明,在求解抽象函数的有关问题时,通过联想抽象函数的背景函数的相关性质,化抽象为具体,由联想到论证,可以达到山重水复疑无路,柳暗花明又一村的境界,从而使抽象函数的问题得到解决.利用均值不等式巧解抛物线有关对称问题浙江省富阳市第二中学311400叶晓俐抛物线上有关存在相异两点关于某直线(或某点)对称求参数范围的问题,一般都是利用构造判别式大于0(>0)或利用对称中点M(.,Y.)位于抛物线焦点所在范围内构造Y与2p不等式进行求解.本文给出利用均值不等式解决此类型问题的一种新方法,其特点是思路明快,解法简捷.例已知抛物线C:=4与直线:Y=2z+7,若C上总存在相异两点P,Q关于直线,对称,求的取值范围.解设P(t,2t),(?(,2s)(f),则k?k=一l且P(?的中点M,i_=一2t.2:一1,i一.所以I2:2.2十,jl一.,即z+f:一一4.f+t=一74,所以【2st=20+.因为s+f>2st(t),所以一7774>20+.所以研<一12.练习1已知抛物线C:Y=z与直线/.,=矗.r+3,要使C上总存在相异两点M,关于直线Z对称,求实数k的取值范围.(一l<k<0).练习2是否存在实数n使抛物线C:Y=,21上总存在相异两点
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