八年级数学下18.1 勾股定理课件人教版第十八章　勾股定理.ppt

第十八章勾股定理 18 1勾股定理 人教版八年级下册 学习目标 探索发现 利用网格中正方形的面积关系探究得到直角三角形的三边关系 勾股定理的证明 掌握用 赵爽弦图 证明勾股定理的方法 知识拓展 了解几种著名的勾股定理的证明方法 应用目标 会运用勾股定理解决简单问题 自学导航 探究定理 定理证明 实践演练 勾股趣谈 勾股史话 勾股弦定理或勾股定理 又称毕达哥拉斯定理 是一个基本的几何定理 传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明 据说毕达哥拉斯证明了这个定理后 即斩了百头牛作庆祝 因此又称 百牛定理 在中国 周髀算经 记载了勾股弦定理的一个特例 相传是在商代由商高发现 故又有称之为商高定理 三国时代的赵爽对 周髀算经 内的勾股弦定理作出了详细注释 作为一个证明 法国和比利时称为驴桥定理 埃及称为埃及三角形 总统与勾股定理的证明 学过几何的人都知道勾股定理 它是几何中一个比较重要的定理 应用十分广泛 迄今为止 关于勾股定理的证明方法已有400多种 其中 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 总统为什么会想到去证明勾股定理呢 难道他是数学家或数学爱好者 答案是否定的 事情的经过是这样的 在1876年一个周末的傍晚 在美国首都华盛顿的郊外 有一位中年人正在散步 欣赏黄昏的美景 他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德 他走着走着 突然发现附近的一个小石凳上 有两个小孩正在聚精会地谈论着什么 时而大声争论 时而小声探讨 由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去 想搞清楚两个小孩到底在干什么 只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形 于是伽菲尔德便问他们在干什么 只见那个小男孩头也不抬地说 请问先生 如果直角三角形的两条直角边分别为3和4 那么斜边长为多少呢 伽菲尔德答到 是5呀 小男孩又问道 如果两条直角边分别为5和7 那么这个直角三角形的斜边长又是多少 伽菲尔德不加思索地回答到 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方 小男孩又说道 先生 你能说出其中的道理吗 伽菲尔德一时语塞 无法解释了 心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步 立即回家 潜心探讨小男孩给他留下的难题 他经过反复的思考与演算 终于弄清楚了其中的道理 并给出了简洁的证明方法 1876年4月1日 伽菲尔德在 新英格兰教育日志 上发表了他对勾股定理的这一证法 1881年 伽菲尔德就任美国第二十任总统 后来 人们为了纪念他对勾股定理直观 简捷 易懂 明了的证明 就把这一证法称为 总统 证法 相传2500年前 毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时 发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系 你也来观察一下右图中的地面 看看有什么发现 我想看看提示 1 三个正方形的面积有什么关系 2 三个正方形的面积与三个正方形围成的三角形的边长有什么关系 观察与探究 1 观察图1 1 图中每个小正方形的边长均为1 1 正方形a中含有个小方格 即a的面积是个单位面积 2 正方形b的面积个单位面积 3 正方形c的面积是个单位面积 9 9 18 9 观察与探究 正方形c的面积怎么求的呀 我想看看提示 提示1 提示2 不要提示 图1 1 提示1 把正方形c分割成若干个直角边为整数的三角形 提示2 把c看成边长为6的正方形面积的一半 还有其它方法去看看吗 先不看 去看看 正方形周边上的格点数a 12 正方形内部的格点数b 13 利用皮克公式 所以 正方形c的面积为 皮克公式是什么东东 提示3 了解皮克公式 一张方格纸上 上面画着纵横两组平行线 相邻平行线之间的距离都相等 这样两组平行线的交点 就是所谓格点 一个多边形的顶点如果全是格点 这多边形就叫做格点多边形 有趣的是 这种格点多边形的面积计算起来很方便 只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目 就可用公式算出 这个公式是皮克 georgpick 1859 1943 在1899年给出的 被称为 皮克定理 这是一个实用而有趣的定理 皮克定理说明了其面积s和内部格点数目a 边上格点数目b的关系 知识拓展 如上图中三角形的面积可以这样计算 由图知a 5 b 8 代入公式得 2 观察右边两个图并填写下表 16 9 25 4 9 13 思考与总结 3 三个正方形a b c面积之间有什么关系 sa sb sc 即 两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积 议一议 4 你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗 与同伴交流 5 分别以5厘米 12厘米为直角边作出一个直角三角形 并测量斜边的长度 第4题中的关系对这个三角形仍然成立吗 总结与思考 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢 这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明 到目前为止 对这个命题的证明方法已有几百种之多 下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的 结论 一 赵爽弦图的证明 看左边的图案 这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解 周髀算经 时给出的 人们称它为 赵爽弦图 赵爽根据此图指出 四个全等的直角三角形 红色 可以如图围成一个大正方形 中间的部分是一个小正方形 黄色 定理证明 赵爽弦图的证法 化简得 c2 a2 b2 你还想了解一些其它证法吗 定理证明 嗯 我想 先不要 刘徽证法 拼成的大正方形的面积为 弦2 所以 勾2 股2 弦2 刘徽证法简洁明了 被称为 无文字证法 两个小正方形的面积和为 勾2 股2 定理证明 请仔细观察右图 1 美国第二十任总统伽菲尔德的证法 被称为 总统证法 如图 梯形由三个直角三角形组合而成 利用面积公式 列出代数关系式得 化简为 二 勾股定理的其它证法 定理证明 传说中毕达哥拉斯的证法 此证法运用欧氏几何的基本定理进行证明 反映了勾股定理的几何意义 毕达哥拉斯像 如图 过a点画一直线al使其垂直于de 并交de于l 交bc于m 通过证明 bcf bda 利用三角形面积与长方形面积的关系 得到正方形abfg与矩形bdlm等积 同理正方形ackh与矩形mlec也等积 于是推得 请同学们自己思考 写出证明过程 定理证明 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 快乐练兵场 1 求出下列直角三角形中未知的边 快乐练兵场 2 若直角三角形的两边长分别为3和4 则它的第