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文档简介

2 3勾股数 人类一直想弄清楚其他星球上是否存在着 人 并试图与 他们 取得联系 那么我们怎样才能与 外星人 接触呢 科学家们想尽了各种方法 比如通过卫星发射向宇宙发出了许多信号 如地球上人类的语言 音乐等 而我国数学家华罗庚曾经建议 要探知其他星球上有没有 人 我们可以发射类似下面的图形 如果他们是 文明人 必定认识这种 语言 那这个图形的到底有什么秘密呢 我是地球人 Iamamanontheearth 毕达哥拉斯 公元前572 前492年 古希腊著名的数学家 哲学家 天文学家 毕达哥拉斯 相传2500年前 毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时 从朋友家的地板中发现了这个秘密 SA SB SC 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 毕达哥拉斯定理 毕达哥拉斯 勾股定理 在国外 尤其在西方被称为 毕达哥拉斯定理 或 百牛定理 相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的 他发现勾股定理后高兴异常 命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现 因此勾股定理又叫做 百牛定理 赵爽弦图 赵爽 东汉末至三国时代吴国人 为 周髀算经 作注 并著有 勾股圆方图 这是我国对勾股定理最早的证明 赵爽弦图 表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智 它是我国古代数学的骄傲 正因为如此 这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽 这就是本届大会会徽的图案 这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的 被称为 赵爽弦图 1876年4月1日 伽菲尔德在 新英格兰教育日志 上发表了他对勾股定理的这一证法 1881年 伽菲尔德就任美国第二十任总统 后来 人们为了纪念他对勾股定理直观 简捷 易懂 明了的证明 就把这一证法称为 总统 证法 a a b b c c 伽菲尔德证法 a2 b2 c2 一 问题的提出 我们把满足二次不定方程 的正整数解称为勾股数 早在我国古代数学书 周髀算经 中 就载有 勾三股四弦五 实际上说明该方程存在整数解 方程 1 的非零整数解如何去求 其解具有怎样的特征 是这里要回答的问题 周髀算经 是中国流传至今最早的一部数学著作 同时也是一部天文学著作 现传本大约成书于西汉时期 公元前一世纪 也有史家认为它的出现更早 是孕于周而成于西汉 甚至更有人说它出现在纪元前1000年 二 二次不定方程解的形式 为简单起见 我们先求方程 1 满足下述条件 2 的解 定理1 定理1的证明 不论z如何取值 z2也不可能表示为该形式 讨论同 2 定理1虽然给出了勾股数的一些特征 如何进一步写出任意的勾股数呢 引理不定方程 的一切正整数解 可以写成下面的形式 充分性显然 必要性的证明如下 定理2 5 充分性 必要性 定理2 5 推论单位圆周上坐标都是有理数的点可以写成
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