2013届钻石卡I阶段总结复习课讲义(数学).pdf

1 2013 钻石卡 I 阶段总结课程讲义 2013 钻石卡 I 阶段总结课程讲义 高等数学 高等数学 A 基本内容 A 基本内容 一 函数 极限与连续性 一 函数 极限与连续性 一 函数 一 函数 单调性 奇偶性 周期性和有界性 二 极限 二 极限 1 极限的定义及性质 2 极限的求法 1 利用极限的四则运算法则及函数的连续性 2 利用两个重要极限 即 3 利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限 4 利用等价无穷小代替 常会使运算简化 5 利用夹逼定理 6 先证明数列的极限存在 通常会用到 单调有界数列必有极限 的准则 再利用关系式 求出极限 7 利用定积分求某些和式的极限 8 利用导数的定义 3 无穷小的比较 高阶 低阶 同阶 等价和无穷小的阶 三 连续性及间断点 三 连续性及间断点 1 连续性的定义 2 间断点及其类型的判定 3 闭区间连续函数的性质 二 一元函数微分学 二 一元函数微分学 一 导数和微分 一 导数和微分 1 导数与微分的概念 2 导数与微分的计算 1 四则运算 2 复合运算 3 反函数求导 4 参数方程求导 5 隐函数求导 6 幂指函数求导 7 高阶导数 3 导数与微分的几何 物理意义 二 微分中值定理 二 微分中值定理 1 罗尔定理 2 拉格朗日中值定理 2 3 柯西中值定理 4 泰勒定理 三 利用导数研究函数的形态 三 利用导数研究函数的形态 1 单调性 2 极值和最值 3 凹凸区间及拐点 4 渐近线 5 曲率 数一 三 一元函数积分学 三 一元函数积分学 一 不定积分 一 不定积分 1 定义及性质 2 不定积分的计算 1 第一换元法 2 第二换元法 3 分部积分法 二 定积分 二 定积分 1 定义及性质 2 微积分基本定理 1 积分上限函数求导 2 N L 定理 3 定积分的计算 1 定积分的换元法 2 定积分的分部积分法 三 反常积分 三 反常积分 1 无穷限的反常积分 2 无界函数的反常积分 四 定积分的应用 四 定积分的应用 1 求平面图形的面积 2 求体积 3 求弧长 数一 二 4 求旋转体的侧面积 数一 二 5 变力作功 数一 二 6 水压力 数一 二 7 引力 数一 二 四 常微分方程 四 常微分方程 一 一阶微分方程 一 一阶微分方程 1 变量可分离方程 2 齐次方程 3 一阶线性方程 4 贝努力方程 数一 5 全微分方程 数一 3 二 二阶可降解方程 数一 二 二 二阶可降解方程 数一 二 1 n yf x 2 yf x y 3 yf y y 三 二阶可线性微分方程的性质 四 高阶常系数线性微分方程 三 二阶可线性微分方程的性质 四 高阶常系数线性微分方程 1 二阶常系数齐次线性微分方程 2 三阶常系数齐次线性微分方程 数一 二 3 二阶常系数非次线性微分方程 五 欧拉方程 数一 六 差分方程 数三 五 欧拉方程 数一 六 差分方程 数三 五 多元函数微分法及其应用 五 多元函数微分法及其应用 一 多元函数 极限和连续性 二 多元函数微分法 一 多元函数 极限和连续性 二 多元函数微分法 1 偏导数与全微分的概念 2 求偏导数与全微分 1 复合函数求偏导数和全微分 2 隐函数求偏导数和全微分 3 全微分形式不变性 三 多元函数微分学的应用 三 多元函数微分学的应用 1 求极值和最值 1 一般极值 2 条件极值 拉格朗日乘数法 3 连续函数在有界闭区域上求最值 2 几何应用 数一 1 空间曲线的切线和法平面 2 空间曲面的切平面和法线 3 方向导数和梯度 六 重积分 六 重积分 一 二重积分 一 二重积分 1 二重积分的定义和性质 2 二重积分的计算 1 直角坐标 X型和Y型 2 极坐标 3 简化运算 利用积分区域的对称性 利用轮换对称性 4 二 三重积分 数一 二 三重积分 数一 1 三重积分的定义和性质 2 三重积分的计算 1 直角坐标 先一后二 先二后一 2 柱坐标 3 球坐标 4 简化运算 利用积分区域的对称性 利用轮换对称性 三 重积分的应用 数一 三 重积分的应用 数一 体积 侧面积 质心 转动惯量 引力 七 曲线曲面积分 数一 七 曲线曲面积分 数一 一 对弧长的曲线积分 一 对弧长的曲线积分 1 概念与性质 2 计算 1 参数法 2 简化运算 利用积分曲线的对称性 利用轮换对称性 二 对坐标的曲线积分 二 对坐标的曲线积分 1 概念与性质 2 计算 1 参数法 2 格林公式 3 积分与路径无关 4 斯托克斯公式 空间曲线 三 对面积的曲面积分 三 对面积的曲面积分 1 概念与性质 2 计算 1 投影法 2 简化运算 利用积分曲面的对称性 利用轮换对称性 四 对坐标的曲面积分 四 对坐标的曲面积分 1 概念与性质 2 计算 1 投影法 2 转换投影法 3 高斯公式 五 散度 旋度和通量 五 散度 旋度和通量 5 八 无穷级数 数一 三 八 无穷级数 数一 三 一 数项级数 一 数项级数 1 定义 2 性质 3 正项级数的审敛法 1 比较判别法 一般形式和极限形式 2 比值法 3 根值法 数一 4 交错级数 莱布尼茨判别法 5 一般项级数 条件收敛和绝对收敛 二 幂级数 二 幂级数 1 收敛半径 收敛区间和收敛域 2 幂级数的运算和性质 3 幂级数求和函数 4 将函数展开成幂级数 数一 直接法和间接法 三 傅里叶级数 三 傅里叶级数 1 傅里叶级数的定义 2 狄利克雷收敛定理 3 将函数展开成正弦 余弦级数 线性代数 线性代数 一 行列式 一 行列式 一 行列式的计算 一 行列式的计算 1 行列式的概念与性质 2 行列式按行 按列展开定理 3 特殊类型的行列式的计算方法 1 行和或列和相等的行列式 2 三条线型行列式 3 与范德蒙行列式相关的行列式 二 克莱姆法则 二 克莱姆法则 利用克莱姆法则求解 n 个未知数 n 个方程当系数行列式不等于 0 时的非齐次线性方程组 二 矩阵 二 矩阵 一 矩阵的运算 一 矩阵的运算 1 矩阵的加法 乘法 转置 方阵的行列式 方阵的幂 逆矩阵 2 矩阵的初等变换与初等矩阵 行左列右原则 二 分块矩阵的运算 二 分块矩阵的运算 三 向量 三 向量 一 向量的线性表示 一 向量的线性表示 将一个向量可否由一组向量线性表示的问题转化为非齐次线性方程组是否有解的问题 6 二 向量组线性相关性的判定 二 向量组线性相关性的判定 1 定义法 抽象 2 秩的方法 具体 若 1 均为常数 则 3 0 lim 2 xx x x ab 例 3 当0 x 时 下列无穷小中 哪个是比其他三个更高阶的无穷小 A 2 x B 1 cosx C 2 11x D tanxx 例 4 设 f x在 内有定义 且lim x f xa 1 0 0 0 fx g xx x 则 A 0 x 必是 g x的第一类间断点 B 0 x 必是 g x的第二类间断点 C 0 x 必是 g x的连续点 D g x在点0 x 处的连续性与a的取值有关 例 5 设 0 0f 则 f x在点0 x 可导的充要条件为 A 2 0 1 lim 1 cos h fh h 存在 B 0 1 lim 1 h h fe h 存在 C 2 0 1 lim sin h f hh h 存在 D 0 1 lim 2 h fhf h h 存在 例 6 设 f x在闭区间 0 1 上连续 在开区间 0 1 内可导 且 0 f 9 1 0f 证明 在 0 1 内至少存在一点 使 0ff 例 7 设函数 f x在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 且 2 0 1 arctan 2 f x exdx 10f 证明 至少存在一点 0 1 使 2 1arctan1 f 例 8 已知 f x在0 x 的某个邻域内连续 且0 x 2 0 lim2 1 x x f x e 则在0 x 处 f x A 不可导 B 可导但 00 f C 取得极小值 D 取得极大值 例 9 试确定方程 0 x xaea 实根个数 例 10 若 f x在区间 a 上二阶可导 且 0f aA 0fa 0 fxxa 则方程 0f x 在 a 内 A 没有实根 B 有两个实根 C 有无穷多个实根 D 有且仅有一个实根 例 11 曲线 1 ln 1 1 x ye x x 的渐近线的条数为 A 1 B 2 C 3 D 4 例 12 设 44 44 882 4 tan d sinln 1 d 1 x Mxx Nxxxx x 4 4 4 tane cosecos d xx Pxxxx 则有 A PNM B NPM C NMP D PMN 例 13 25126 2 2 sin cosxxxdx 例 14 求微分方程 2 yyx 的通解 例 15 求微分方程cosyyx 的通解 10 例 16 设k为常数 则 2 24 0 0 sin lim x y xky xy A 等于 0 B 等于1 2 C 不存在 D 存在与否与k值有关 例 17 由方程组 0 y z f x x 确定 zz x y f可微 则 zz xy xy 例 18 设 xy zfxyg yx 其中 f u v具有二阶连续的偏导数 g u二阶可导 求 2z x y 例 19 求函数 222 uxyz 在约束条件 22 zxy 和4xyz 下的最大和最小值 例 20 求函数 2 4 zx yxy 在直线6xy x轴和y轴所围成的区域D上的最大值 和最小值 例 21 计算 2 11 03 1 x xy dxdy y 例 22 计算 22 2d D xyy 其中D由 22 4xy 所确定 例 23 判别级数 1 1 1 sin n n n 的敛散性 是绝对收敛还是条件收敛 例 24 求幂级数 1 1 n n x n n 的和函数 例 25 计算 sin d cos d xx C Ieyb xyxeyaxy 其中 a b为正常 数 C为从点 2 0 Aa沿曲线 2 2yaxx 到点 0 0 O的弧 例 26 已知向量组 1234 线性无关 则 12233441 A 线性无关 12233441 B 线性无关 11 12233441 C 线性无关 12233441 D 线性无关 例 27 设A是3阶方阵 将A的第1列与第2列交换得B 再把B的第2列加到第3列得C 则满足AQC 的可逆矩阵Q为 A 010 100 101 B 010 101 001 C 010 100 011 D 011 100 001 例 28 二次型 2 12312 3 2f x xxxx x 的正惯性指数为 例 29 已知线性方程组 123 123 123 4 3 39 axxx xbxx xbxx 问方程组什么时候有解 什么时候无解 有解 时 求出相应解 例 30 已知二次型 222 1231231 22 31 3 222222f x xxxxxx xx xx x I 利用正交变换将二次型f化为标准形 并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵 II 用配方法化二次型为标准形 例 31 下列各命题中正确的是 A 若事件 A B独立 则 P ABP AP B B 若事件A B 独立 则事件A与B A与B分别独立 C 事件A B C独立的充要条件是AB C两两独立 D 事件A B 独立 则 P A BP B 例 32 设 22 6 5UV 且 U V 相互独立 则 5 6 U Q V A 1 5 6F B 5 6