数学人教版八年级下册探索直角三角形三边之间的关系 ——勾股定理的再发现.docx

探索直角三角形三边之间的关系勾股定理的再发现任课教师： 仪陇县三蛟镇小学校 李兵教学目标知识技能目标：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程；数学思考；体验勾股定理的发现及验证过程，发展学生的动手能力、合情推理能力，体会数形结合的思想；解决问题；1.通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维； 2.初步领会用面积法解决几何问题的思想；情感态度：1.通过对勾股定理历史的了解，让学生感受数学文化的魅力，激发学生对学习几何的兴趣和信心，发展审美情趣； 2.在探究活动中，体验解决问题方法多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神；教学重点；探索和验证勾股定理；教学难点；用拼图的方法验证勾股定理。教学过程一、 情境引入小华和哥哥一起乘2路公交车上学，在北固终点站下车后，小华沿北固街向西以每分钟60米的速度到校本部，哥哥沿南北干道向北以每分钟80米的速度到北校区，1分钟后，他们相距多远？师：请同学们先在练习本上画出示意图，然后思考这个实际问题转化为数学问题后是已知什么，求什么？能否利用前面所学的知识加以解决？（学生动手，很快画出了示意图，但又不知如何求出两人之间的距离。）师：由生活经验知道，北固街和南北干道具有怎样的位置关系？（生：互相垂直。）若顺次连结小华、哥哥和2路车终点站，会得到一个什么三角形？（生：直角三角形。）那么该实际问题转化为这样一个数学问题；在直角三角形中，已知两边（两直角边）的长度，求第三边（斜边）的长度。在直角三角形中，两条直角边和斜边，三边之间除了具有两边之和大于第三边；斜边最长等不等关系以外，还具有怎样的相等的数量关系呢？这就是我们这一节课要学习的内容：探索直角三角形三边之间的关系。二、 探索新知师：为了探索直角三角形三边之间的关系，我们一起来做拼图游戏，有兴趣吗？1.拆信揭密师：请同学们，打开课前发给你们的信封，看看里面装有什么？生：有直角三角形、正方形。师：数一数有几张？它们的大小关系有什么关系？生：有8个大小完全一样的直角三角形和边长分别等于直角三角形三边长的正方形。2.拼图游戏师：下面，我们就来开展小组拼图游戏比赛，看看哪一个小组的同学动手能力强。规则是：同组的两位同学齐心协力，看哪一个小组的同学能在最短时间内，把这些纸片拼成两个既无缝隙，又不重叠的正方形，请拼好的小组将图形粘贴在A4纸上，展示出来。注意：请同学们在拼图时，充分利用上期用正多边形拼地板的经验以及抓住正方形的四边相等、四个角都是直角的特点。 （学生动手操作-小声交流讨论-教师巡视-个别指导）3.成果展示 师；大家观察，他们的拼图是否符合我们开始的规则？ 生；符合。 师：让我们为他们，尤其是拼得最快的同学鼓掌。4.发现定理 师：我们继续观察大屏幕上所拼的两类正方形。为研究的方便，我们把直角三角形的两条直角边分别用a,b表示，斜边用c表示。则这三种正方形的边长分别为a,b,c.则这两类正方形面积有何关系？ （生；相等。） 师：现在，我将两个正方形中各自的四个直角三角形纸片取走，余下的图形面积又有何关系？（生：仍然相等。） 师：由此，你能发现什么？（生；大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。） 师：这是表面现象，谁能看出本质？（生；由于大正方形的面积等于直角三角形斜边的平方，两个小正方形的面积分别等于两条直角边的平方，因此可得：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。即a2+b2=c2） 师：太棒了，这真是一个“伟大的发现”！5.介绍定理师：我们用命题的形式将上述定理概括为；如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c，那么 a2+b2=c2。而大家刚才的拼图探索过程，就是对定理的一种证明过程。这一命题是一个非常重要的定理，我国把它称为“勾股定理”。师：在上周，我请同学们在双休日上网查阅勾股定理的有关史料，不知同学们去查阅没有？现在我请一些同学来汇报一下。6.勾股史话（1）我国是最早了解勾股定理的国家之一。在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中。这就是商高发现的“勾股定理”。因此在中国，勾股定理又称“商高定理”。（2）勾股定理在世界上流传很广，在西方国家，一般认为这个定理是一个叫毕达哥拉斯发现的，所以他们称这个定理为“毕达哥拉斯定理”。但毕达哥发现这一定理的时间要比商高迟得多，比中国晚了600多年，可见我国古代在数学研究方面的突出成就，中国人民对对世界人类文化发展做出了重大杰出的贡献。图（1）1955年希腊曾经发行的纪念一位数学家的邮票。图（2）美丽的勾股树。（3）直角三角形太多了，勾三、股四、弦五仅是一种特例，一个特例作为一个普遍的规律是片面的，确实很遗憾，直到汉代才由赵爽证明了定理。如果3000多年前发现勾三、股四、弦五这个特例后，及时推广到一般并证明，那么现在全世界都称它为勾股定理。（4）虽然赵爽及后来的中国数学家也用不同的方法证明了勾股定理，但却没有任何实质性的进步，而西方的数学家却在勾股定理上产生了许多新的数学思想，知耻而后勇，知不足方有奋起直追的气度。这也启发我们在平时的学习中要善于发现并及时总结，归纳规律。师：好，同学们的发言很精彩，看来课前认真去查阅了勾股定理的相关资料，感谢同学们的辛勤劳动，也希望同学们以后多利用网络获取有用的知识。7.再证勾股定理 师：勾股定理的证明多达几百种，像刚才的证明是一种面积证明方法，即通过图形的割补拼接，面积关系不变来证明几何命题。请大家继续动脑筋，如果只给你四个全等的直角三角形，你能否拼成一个允许有空隙的正方形？（学生再动手操作-合作探究-教师巡视-个别指导-展示成果）（1）成果展示（2）介绍弦图师：同学们非常聪明，拼出了古代数学家赵爽用来证明勾股定理的图形-赵爽弦图。2002年，在北京举行的国际数学家大会会标采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图。（3）再证定理 师：请同学们思考，每一个大正形的面积有哪几种表示方法？它们之间具有怎么样的数量关系？从而可以得到怎样的关系式？8.理解定理师：为了加深同学们对勾股定理的理解，我们一起来看一下定理成立的条件以及如何应用。2.作 用：三、学以致用1.小试牛刀师：有了勾股定理，我们能否解决引入中提出的求小华和哥哥距离问题？请同学们在练习本上计算一下。（生：100米。）师：，同学们尽管得到了正确答案，但格式不大规范。勾股定理应用格式要求较高，现在我把解题格式规范一下，请同学们看大屏幕。2.再展身手师：现在，再示几个小问题，请同学们思考。师：通过这几个小题的完成，同学们有什么体会呢？你能用自己的语言来说一说吗？师：对啊，勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系。在应用时必须明确三角形是否是直角三形，哪一条边是斜边。四、自我评价师：回过头来，我们将本节课理一理，你们有哪些收获？请同学们结合下面三个方面中的某一方面思考，一分钟后举手回答。这节课我的收获是， 我最感兴趣的地方是， 我想进一步研究的问题是 。“我知道了什么是勾股定理”、“我们用拼图的方法证明勾股定理，这也是一种证明方法，叫面积法”、“我还知道了有关勾股定理的许多历史知识，比如”“这节课我答对了两个问题，太高兴了”、“我发现了勾股定理的一种证明方法，并且比其他同学都快”、“在非直角三角形中，是否也有这样的性质”、“我想知道，运用勾股定理还能解决哪些问题”师：看来同学们今天这节课的收获还真不少，希望同学们每节课都认真学习，一定会有更多的收获。五、知识梳理数形结合思想、面积法2.验证勾股定理内容成立条件作 用