上海高一下期末数学复习全总结_学生版.pdf

任晓 LyleRen froglyle 第 1 页 共 25 页 学生版 高一下期末复习资料高一下期末复习资料 板块一板块一 指对幂函数指对幂函数 知识要求 知识要求 1 指对幂运算 指数运算 对数运算 指对互换 1 1 对数恒等式 01log a 1log a a ba b a log 1 2 对数公式 MNNM aaa logloglog N M NM a a aa log log loglog bnb a n a loglog b m n b a n am loglog a b b c c a log log log a b b a log 1 log 1logloglog acb cba 2 指对幂函数图像 基本初等函数图像 图像变换 3 指对幂函数性质 奇偶 单调 对称 周期 经典例题 经典例题 例 1 1 2010 湖北文 03 已知函数 0 2 0 log3 x xx xf x 则 9 1 ff A 4 B 4 1 C 4 D 4 1 2 2010 湖北文 05 函数 34log 1 5 0 x y的定义域为 A 1 4 3 B 4 3 C 1 D 11 4 3 3 2010 重庆文 04 函数 x y416 的值域是 A 0 B 4 0 C 4 0 D 4 0 例 2 2010 北京文 06 给定函数 2 1 xy 1l o g 2 1 xy 1 xy 1 2 x y 其中在区间 1 0上单调递减的函数的序号是 任晓 LyleRen froglyle 第 2 页 共 25 页 学生版 A B C D 例 3 2010 全国 文 10 理 08 设2log3 a 2ln b 2 1 5 c 则 A cba B acb C bac D abc 板块二板块二 三角比三角比 知识要求 知识要求 1 角的定义与表示 1 1 任意角的定义 平面内由一条射线绕着其端点从初始位置 始边 旋转到终止位置 终 边 所形成的图形 动态的定义 1 2 分类 正角 负角 零角 象限角 轴线角 1 3 表示 与角 终边一致的角 Zkk 360 0 1 4 弧度制 1 4 1 为什么引进弧度制 以实现角度与实数的一一对应 为三角函数 正名 1 4 2 弧度制与角度制 六十进制 的互换 采用比例式互换 0 180 把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做rad1 圆心角 r l 扇形面积 2 2 1 2 1 rlrS 00 185730 571 rad rad01745 010 2 三角比的定义 2 1 三角比的定义 用直角三角形边之比定义锐角 三角比 c a sin c b cos b a tan a b cot 正割 b c sec 余割 a c csc 用终边上点的坐标定义任意角 的三角比 在任意角 的终边上任取一点P 设P点的坐标为 yx 则 22 yxrOP 22 sin yx y r y 22 cos yx x r x x y tan 由以上定义可得任意角在各个象限中对应的三角比的正负 一全正 二正弦 余割 三两切 四余弦 正割 用单位圆上的有向线段定义任意角 的三角比 MPMP sin OMOM cos ATAT tan 任晓 LyleRen froglyle 第 3 页 共 25 页 学生版 2 2 特殊角的三角比 0 0 0 6 0 30 4 0 45 3 0 60 2 0 90 sin 0 2 1 2 2 2 3 1 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 tan 0 3 3 1 3 不存在 cot 不存在 3 1 3 3 0 速记口诀如下 0 30 45 60 90 度 正余弦及正切值 数字 0 1 2 3 4 除以 4 求算术根 任晓 LyleRen froglyle 第 4 页 共 25 页 学生版 计算结果都存在 对应五角正弦值 数字 4 3 2 1 0 除以 4 求算术根 计算结果都存在 对应五角余弦值 数字 0 1 2 3 4 数字 4 3 2 1 0 对应相除若有商 算术根乃正切值 3 同角三角恒等式 1cossin 22 cos sin tan Zkk 2 sin cos cot Zkk 1cottan Zk k 2 1cscsin Zkk 1seccos Zkk 2 22 sectan1 Zkk 2 22 csccot1 Zkk 注 cossinba cossin sin cos cos sin sin cos 以上表达式只需知 其一 其余的必可求解 4 诱导公式 口诀 奇变偶不变 符号看象限 将所需化简的角化成 k 2 的形式 然后用口诀 5 两角和差展开公式 sincoscossinsin sincoscossinsin sinsincoscoscos sinsincoscoscos tantan1 tantan tan tantan1 tantan tan 6 二倍角公式 cossin22sin 2222 sin211cos2sincos2cos 2 tan1 tan2 2tan 任晓 LyleRen froglyle 第 5 页 共 25 页 学生版 半角公式 2 cos1 2 sin 2 2 cos1 2 cos 2 sin cos1 cos1 sin 2 tan Zkk 7 辅助角公式 提携公式 sincossin 22 baba 22 sin ba b 22 cos ba a a b tan cossincos 22 baba 22 sin ba b 22 cos ba a a b tan 经典例题 经典例题 例 4 1 若 是第二象限角 那么 2 和 2 都不是 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 2 扇形的中心角为 0 120 则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为 例 5 1 2010 山东明天中学 已知角 的终边过点 0 30sin6 8 mP 且 5 4 c o s 则m的值为 A 2 1 B 2 3 C 2 1 D 2 3 2 2009 重庆文 06 下列关系式中正确的是 A 000 168sin10cos11sin B 000 10cos11sin168sin C 000 10cos168sin11sin D 000 11sin10cos168sin 例 6 1 2009 山东临沂 已知 5 1 cossin 2 2 则 tan的值是 任晓 LyleRen froglyle 第 6 页 共 25 页 学生版 2 2009 安徽合肥 已知xxcos2sin 则 1sin2x A 5 6 B 5 9 C 3 4 D 3 5 例 7 1 2010 全国 02 记 k 0 80cos 那么 0 100tan A k k 2 1 B k k 2 1 C 2 1k k D 2 1k k 2 2009 安徽皖北 若 5 3 6 sin 则 3 cos A 5 3 B 5 3 C 5 4 D 5 4 例 8 1 已知 4 则 tan1tan1 2 已知 为锐角 且 13 5 6 cos 则 cos 例 9 1 已知 5 3 4 sin x 则 x2sin 2 已知 4 1 4 cos 4 3 sin xx 则 x4cos 例 10 1 2008 四川非延考理 05 若 20 cos3sin 则 的取值范 围是 A 2 3 B 3 C 3 4 3 D 2 3 3 2 若 3 2 12 cos 12 sin3 xx 且0 2 x 则 xxcossin 板块三板块三 三角函数三角函数 知识要求 知识要求 1 定义 一般地 形如xysin xycos xytan 的函数称为三角函数 2 图像 任晓 LyleRen froglyle 第 7 页 共 25 页 学生版 由单位圆上的有向线段平移所得 五点法 3 图像变换 同名函数之间进行变换 所有变换必须针对x或y 左加右减 上正下负 4 三角函数性质 奇偶 单调 周期 对称 经典例题 经典例题 例 11 1 作出函数 3 2sin2 xy的图像 2 2010 江苏 10 定义在区间 2 0 上的函数xycos6 的图像与xytan5 的图像的 交点为P 过点P作xPP 1 轴于点 1 P 直线 1 PP与xysin 的图像交于点 2 P 则线段 21P P的长为 任晓 LyleRen froglyle 第 8 页 共 25 页 学生版 例12 1 2010天 津 文08 右 图 是 函 数 RxxAy sin在区间 6 5 6 上的图像 为了得 到这个函数的图像 只要将 Rxxy sin的图像上所有的点 A 向左平移 3 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 B 向左平移 3 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 C 向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 D 向左平移 6 个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 2 2005 天津理 08 要得到2cosyx 的图像 只需将函数2sin 2 4 yx 的图像 上所有的点的 A 横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 再向左平行移动 8 个单位长度 B 横坐标缩短到原来的 1 2 倍 纵坐标不变 再向右平行移动 4 个单位长度 C 横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再向左平行移动 4 个单位长度 D 横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再向右平行移动 8 个单位长度 例 13 1 2010 重 庆 理06 已 知 函 数 sin 0 2 yx 的部分图像如图所 示 则 A 1 6 B 1 6 C 2 6 D 2 6 任晓 LyleRen froglyle 第 9 页 共 25 页 学生版 2 2009 浙江理 08 已知a是实数 则函数 axaxfsin1 的图像不可能 是 例14 1 2010浙江理11 函数 2 sin 2 2 2sin 4 f xxx 的最小正周期是 2 2010 北京理 15 改编 函数 xf 2 2cos2sin4cosxxx 的最大值为 最 小值为 3 自编 函数xxxxycossincossin 6 5 12 x的值域为 例 15 1 自编 已知函数 xxxf 2 sin22sin Rx 求函数的值域 求函数的最小正周期 求函数的单调性 求函数的对称轴和对称中心 任晓 LyleRen froglyle 第 10 页 共 25 页 学生版 2 自编 下列命题 函数 4 2sin 2 xxf的最小正周期是 2 函数 xxxfcossin2 在 4 2 上是递增的 函数 6 2tan xy的图像关于点 0 3 中心对称 函数 4 sin 4 sin 22 xxy是奇函数 其中正确命题的序号为 例 16 1 2003 天津文 21 已知函数 0 0 sin xxf是R上的 偶函数 其图像关于点 0 4 3 M对称 且在区间 2 0 上是单调函数 求 和的值 2 2008 辽宁理 16 已知 sin 0 363 f xxff 且 f x在区间 6 3 有最小值 无最大值 则 板块四板块四 反函数反函数 知识要求 知识要求 1 1 定义 若函数 xfy 的定义域为A 值域为B 对于B中每一个元素 0 y在A中有唯 一确定的元素 0 x与之对应 则函数 xfy 存在反函数 即为 xfy 1 否则不存在反 函数 1 2 存在反函数的前提条件 一一映射 1 3 求反函数的步骤 求值域 反解 互换 任晓 LyleRen froglyle 第 11 页 共 25 页 学生版 1 4 互为反函数的两函数的性质 奇偶性 原函数奇函数 反函数奇函数 原函数偶函数 反函数一般情况下不存在 但若 为单点函数可存在反函数 单调性 原函数在某一区间上的增减性与反函数在对应区间上的增减性一致 原函数与反函数关于直线xy 对称 1 5 反三角 反三角公式 xxarcsinarcsin xxarccosarccos xxarctanarctan xarcxarccotcot 2 cotarctanarccosarcsin xarcxxx xxarcxxx cotcotarctantanarccoscosarcsinsin 当 2 2 x时 xx sinarcsin 当 0 x时 xx cosarccos 当 2 2 x时 xx tanarctan 当 0 x时 xxarc cotcot 反三角函数的图像和性质 名称 定 义 定义域 值 域 图 像 反正弦 函数 y arcsinx y sinx x 2 2 的反函数 1 1 2 2 反余弦 函数 y arccosx y cosx x 0 的反 函数 1 1 0 反正切 函数 y arctanx y tanx x 2 2 的反函数 2 2 经典例题 经典例题 例 17 1 函数 02 2 xxxy的反函数为 x y 1 O 1 2 2 x y O 2 2 x y 1 O 1 2 任晓 LyleRen froglyle 第 12 页 共 25 页 学生版 2 1992 全国理 函数 2 xx ee y 的反函数为 A 奇函数 且在 0单调递减 B 偶函数 且在 0单调递 C 奇函数 且在 0单调递增 D 偶函数 且在 0单调递增 3 2004 全国理 15 已知函数 xfy 是奇函数 当0 x时 13 x xf 设 xf 的反函数是 xgy 则 8g 例 18 1 2008 上海第三女子中学高一下期末试题 13 已知 3 1 sin x 2 3 x 则x等于 A 3 1 arcsin B 3 1 arcsin C 3 1 arcsin D 3 1 arcsin2 2 2008 上海南模中学高一下期末试题 05 若 3 2 3 x 则 xcosarcsin的取值 范围是 板块五板块五 解三角解三角 知识要求 知识要求 1 解三角工具 1 1 解三角问题 a b c A B C l S 已知部分量 求解其它量的问题 1 2 解三角工具 CBA lcba cpbpapprlCabahS 2 1 sin 2 1 2 1 r为内切圆半径 2 cba p 正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin R为外接圆半径 变形 1 CBAcbasin sin sin 2 R CBA cba CB cb A a 2 sinsinsinsin2sin 2 sin 适用情况 1 两角一边 2 两边一对角 余弦定理 bc acb A 2 cos 222 ac bca B 2 cos 222 ab cba C 2 cos 222 任晓 LyleRen froglyle 第 13 页 共 25 页 学生版 变形 Abccbacos2 222 Baccabcos2 222 Cabbaccos2 222 适用情况 1 三边 2 两边一夹角 三角形内的诱导公式 CBAsinsin CBAcoscos CBAtantan 2 cos 2 sin CBA 2 sin 2 cos CBA 2 cot 2 tan CBA 2 tan 2 cot CBA 三角形内的不等关系 1 大边对大角 大角对大边 2 三角形两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 3 A0 BA0 4 锐角三角形 任一角的余弦值大于0 钝角三角形 最大角的余弦值小于0 222 0cos 2 cbaAA 222 0cos 2 cbaAA 222 0cos 2 cbaAA 5 CBAcbaCBAsinsinsin CBAcoscoscos 6 在ABC 中 给定A B的正弦或余弦值 则C有解的充要条件为0coscos BA 2 解三角思想 2 1a b c A B C l S 8个量其中知三 必可求其余量 三角除外 2 2 边 角 角 边 经典例题 经典例题 例 19 1 2010 山东文 15 理 15 在ABC 中 角A B C对应的边分别为a b c 若2 a 2 b 2cossin BB 则角A的大小为 2 2009 湖南文 14 在锐角ABC 中 1 BC AB2 则 A AC cos 的值等于 AC的取值范围为 3 在ABC 中 下列结论 若 222 cba 则此三角形为钝角三角形 若 BACsincos2sin 则此三角形为等腰三角形 若BA 则BAsinsin 0coscos BA 其中正确的个数为 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 任晓 LyleRen froglyle 第 14 页 共 25 页 学生版 例 20 1 2008 浙江文 14 理 13 在ABC 中 角A B C对应的边分别为a b c 若 CaAcbcoscos3 则 Acos 2 2010 江苏 13 在锐角ABC 中 角A B C对应的边分别为a b c 若 C b a a b cos6 则 B C A C tan tan tan tan 的值是 例 21 2010 陕西理 17 如图 A B是海面上位于东西方 向相距 335 海里的两个观测点 现位于A点北偏东 0 45 B点北偏西 0 60的D点有一艘轮船发出求救信号 位于B点南 偏西 0 60且与B点相距320海里的C点的救援船立即前往营 救 其航行速度为30海里 小时 该救援船到达D点需要多长 时间 板块六板块六 方程方程 知识要求 知识要求 1 8 字环思想 经典例题 经典例题 例 22 2009 闸北高一下期末考试 已知函数 sin2cos21 2cos xx f x x 1 求方程0 xf的所有解 2 若方程 f xa 在 3 0 x范围内有两个不同的解 求实数a的取值范围 任晓 LyleRen froglyle 第 15 页 共 25 页 学生版 例 23 1 2010 浙江文 09 已知 0 x是函数 x xf x 1 1 2的一个零点 若 01 1 xx 02 xx 则 A 0 1 xf 0 2 xf B 0 1 xf 0 2 xf C 0 1 xf 0 2 xf D 0 1 xf 0 2 xf 2 2010 上海文 17 若 0 x是方程2lg xx的解 则 0 x属于区间 A 1 0 B 25 1 1 C 75 1 25 1 D 2 75 1 板块七板块七 数列通数列通论论 知识要求 知识要求 1 1 定义 1 定义 按照一定次序排列起来的一列数 注 注 数列是一个定义域为正整数集 N 或它的有限子集 n 3 2 1 的特殊函数 2 通项公式 数列的第n项 n a与n之间的关系 即 nfan Nn 3 前n项和 n i in aS 1 前n项和也可写成关于n的函数 即 nfSn Nn 4 递推公式 已知数列的第1项 或前几项 且从第二项 或某一项 开始的任一项 n a与 它的前一项 1 n a 或前几项 间的关系可以用一个公式来表示 此公式即为递推公式 注 注 通项公式 前n项和以及递推公式 包括第1项或前几项 都是给出数列的方式 1 2 表示 1 列举 2 解析 通项 前n项和 递推三种形式 3 图像 孤立的点 离散的点 1 3 分类 1 有穷数列 无穷数列 2 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 3 有界数列 无界数列 1 4 等差数列 1 定义 从第 2 项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列 即 2 1 nNndaa nn 注 证明等差数列的两种方法 2 1 nNndaa nn 11 nnnn aaaa 2 nNn 任晓 LyleRen froglyle 第 16 页 共 25 页 学生版 2 通项公式 dnaan1 1 Nn 累加 3 前n项和 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 Nn 倒序相加 4 1 a n a n d n S中知三求二 1 5 等比数列 1 定义 从第 2 项起 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数的数列 即q a a n n 1 2 0 nNnq 注 证明等比数列的两种方法 q a a n n 1 2 0 nNnq 1 1 n n n n a a a a 2 nNn 2 通项公式 1 1 n n qaa Nn 累乘 3 前n项和 1 1 1 1 1 1 q q qa qna S n n 当1 q时 也可写成 q qaa S n n 1 1 错位相减 4 1 a n a n q n S中知三求二 1 6 用函数观点来分析等差 等比 1 等差 dadnan 1 一次型函数 ndan d Sn 1 2 2 没有常数项的二次型函数 2 等比 n n q q a a 1 指数型函数 1 11 1 11 1 q q qa q a qna S n n 分段函数 分别为一次型和指数型函数 1 7 等差数列性质 1 dmnaa mn 拓展 mn aa d mn 2 等差中项 11 2 nnn aaa 拓展 当qpji 时 有 qpji aaaa 任晓 LyleRen froglyle 第 17 页 共 25 页 学生版 注 等差数列 n a 若 qpji aaaa 则qpji 不一定成立 nn anS12 12 注 12 12 n n n n S S b a 3 衍生等差数列 Can 为等差数列 公差d nn ba 为等差数列 公差 21 dd pkm a 其中m为间距 p a为起始项 Nk 为等差数列 即等距项为等差数列 公差md m S mm SS 2 mm SS 23 mm SS 34 为等差数列 公差dm2 n Sn 为等差数列 公差 2 d 其它 1 项数为奇数12 n的等差数列 n a 有 n aSS 偶奇 1 n n S S 偶 奇 项数为偶数n2的等差数列 n a 有 ndSS 偶奇 1 n n a a S S 偶 奇 2 等差数列 n a中 若nan mam nm 则nma nm 等差数列 n a中 若man nam nm 则0 nm a 等差数列 n a中 若mSn nSm nm 则 nmS nm 等差数列 n a中 若 nm aa nm 则nmaa nm nma nm 等差数列 n a中 若 nm SS nm 则mndSS nm 0 nm S 1 8 等比数列性质 1 mn mn qaa 拓展 m nmn a a q 2 等比中项 11 2 nnn aaa 拓展 当qpji 时 有 qpji aaaa 注 等比数列 n a 若 qpji aaaa 则qpji 不一定成立 任晓 LyleRen froglyle 第 18 页 共 25 页 学生版 12 12 1 n n n i i aa 3 衍生等比数列 对任意非零实数 n a 为等比数列 公比为q nnb a 为等比数列 公比为 21q q n n b a 为等比数列 公比为 2 1 q q m S mm SS 2 mm SS 23 mm SS 34 依然成等比数列 公比为 m q 注 若 n n a1 Nn 则 2 S 24 SS 46 SS 就不成等比数列 经典例题 经典例题 例 24 1 2008 北京理 06 已知数列 n a对任意p Nq 满足 qpqp aaa 且 6 2 a 那么 10 a等于 A 165 B 33 C 30 D 21 2 数列 n a满足 1 2 1 12 2 1 0 2 1 nn nn n aa aa a 若 7 6 1 a 则数列的第 2010 项为 例 25 1 已知 2 156 Nn n n an 则在数列 n a中最大项为 2 已知数列 n a中 nnan 2 Nn 且 n a是递增数列 则实数 的取值范 围为 例 26 1 已知等比数列 n a中 2 3 3 a 2 1 4 3 S 则 1 a 2 已知9 1 a 1 成等差数列 9 1 b 2 b 3 b 1 成等比数列 则 21b a 任晓 LyleRen froglyle 第 19 页 共 25 页 学生版 3 已知数列 n a的通项为nan211 Nn 数列 n b的每一项都有 n b n a 则数列 n b的前n项和 n S 4 2006 北京理 07 设 Nnnf n 1031074 22222 则 nf等于 A 18 7 2 n B 18 7 2 1 n C 18 7 2 3 n D 18 7 2 4 n 例 27 1 2009 全国 文 14 理 14 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若72 9 S 则 942 aaa 2 2009 辽宁理 06 设等比数列 n a的前n项和为 n S 若3 3 6 S S 则 6 9 S S A 2 B 3 7 C 3 8 D 3 3 等差数列 n a n b的前n项和分别为 n S n T 且 32 13 n n T S n n 则 8 8 b a 4 2010 广东四校联考 等比数列 n a的公比为q 其前n项的积为 n T 并且满足条件 1 1 a 01 10099 aa 0 1 1 100 99 a a 给出下列结论 10 q 01 10199 aa 100 T的值是 n T中最大的 使1 n T成立的最大自然数n等于198 其中正确的结论是 任晓 LyleRen froglyle 第 20 页 共 25 页 学生版 板块八板块八 通项 前通项 前n项和 递推公式之间的推导项和 递推公式之间的推导 知识要求 知识要求 数列中的核心问题 1 1 n a n S 通法 n i in aS 1 1 公式求和 AP d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 GP 1 1 1 1 1 1 q q qa qna S n n 2 1 321 nn n 6 121 321 2222 nnn n 2 3333 2 1 321 nn n 2 裂项相消 分式 pnnppnn 1111 CAnBAnBCCAnBAn 1111 21 1 1 1 2 1 21 1 nnnnnnn 根式 npn ppnn 11 任晓 LyleRen froglyle 第 21 页 共 25 页 学生版 对数 npn n pn lglglg 指数 1 1 nnn qq q a aq 其它 1 nnnn 1 1 11 1 1 nnnn r n r n r n CCC 1 1 1 3 错位相减 错位相减用于差比数列 n qBAn 求和 4 倒序相加 主要用在类似于 55 5 x xf 与指数相关函数 其中 xfxf1定值 以及组 合数问题上 5 分组求和 通项由多成分构成 可单独求和再相加 注 在选用方法时 可按公式 错位相减 倒序相加 裂项的次序选择 1 2 nn aS 通法 2 1 1 1 nSS nS a nn n 1 3 递推关系式 n a n S 1 递推关系式的形式 递推关系式的三种形式 只含 n a 只含 n S 同时含有 n a和 n S 将第三种情况向第一种或第二种转化 转化的工具 采用 2 1 1 1 nSS nS a nn n 可以消 n a 也可消 n S 但无论采用哪种都需要 分类讨论 方法的选择取决于以下两点 谁比较好消 问题求什么 前者作为主导因素 2 递推 n a n S 累加法 遇到 nfaa nn 1 nfaa nn 1 nganfa nn 1 用累加法 累乘法 任晓 LyleRen froglyle 第 22 页 共 25 页 学生版 遇到 nf a a n n 1 ng nf a a n n 1 1 nn anfa 1 nn anganf用累乘法 构造熟悉数列 公式法 1 nfbaa nn 1 当1 b时 用累加 当1 b时 采用待定系数法或两边同除以 n b求解 当1 b时