河北工程大学大学物理课后习题答案 第10章 静电场 习题解答.pdf

大学物理学 习题解答 10 1 习题 10 10 1 两小球的质量都是m 都用长为l的细绳挂在同一点 它们带有相同电量 静止 时两线夹角为2 如题10 1图所示 设小球的半径和线的质量都可以忽略不计 求每个小 球所带的电量 解 如题 10 1 图示 2 2 0 cos 1 sin 4 2 sin e Tmg q TF l 解得 0 2 sin4tanqlmg 10 2 在真空中有A B两平行板 相对距离为d 板面积为S 其带电量分别为 q和 q 则这两板之间有相互作用力f 有人说f 2 2 0 4 q d 又有人说 因为f qE 0 q E S 所以f 2 0 q S 试问这两种说法对吗 为什么 f到底应等于多少 解 题中的两种说法均不对 第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的 第二种 说法把合场强 0 q E S 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的 正确解答应 为一个板产生的电场为 1 0 2 q E S 另一板受它的作用力 2 1 0 2 q FqE S 这是两板间 相互作用的电场力 10 3 在 真 空 中 一 长 为10cml 的 细 杆 上 均 匀 分 布 着 电 荷 其 电 荷 线 密 度 5 1 0 10 C m 在杆的延长线上 距杆的一端距离10cmd 的一点上 有一点电荷 5 0 2 0 10 Cq 试求该点电荷所受的电场力 解 选杆的左端为坐标原点 x 轴沿杆的方向 在 x 处取一电荷元ddqx 它在 点电荷所在处产生场强为 2 0 d d 4 x E dx 整个杆上电荷在该点的场强为 2 0 00 d 44 l xl E d dl dx 点电荷 0 q所受的电场力大小为 0 0 0 90N 4 ql F d dl 方向 沿 x 轴负向 题 10 1 图 第 10 章 静电场 10 2 10 4 一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形 沿其上半部分均匀分布有电荷Q 沿 其下半部分均匀分布有电荷Q 如图所示 试求圆心 O 处的电场强度 解 把所有电荷都当作正电荷处理 在 处取微元电荷 2 ddd Q ql 它在 O 处产生场强 222 00 d dd 42 qQ E RR 按 角变化 将 dE 分解成 x y轴两个分量 22 0 ddsinsind 2 x Q EE R 22 0 ddcoscosd 2 y Q EE R 对各分量分别积分 积分时考虑到一半是负电荷 得 2 22 00 2 sindsind0 2 x Q E R 2 2222 000 2 cosdcosd 2 y QQ E RR 22 0 xy Q EE R Eijj 10 5 半径为 1 R和 2 R 2 R 1 R 的两无限长同轴圆柱面 单位长度上分别带有电量 和 试求 1 r 1 R 2 1 R r 2 R 3 r 2 R处各点的场强 解 取同轴圆柱形高斯面 侧面积2 Srl 由高斯定理 0 d S q ES 则 d2 S Erl ES 0 q 1 1 rR 0 0qE 2 12 RrR ql 所以 0 2 E r 方向 沿径向向外 3 2 rR 0q 所以 0E 10 6 两个无限大的平行平面都均匀带电 电荷的面密度分别为 1 和 2 试求空间各 处场强 解 如图示 两带电平面均匀带电 电荷面密度分别为 1 与 2 d l q0 q0 O x dx d x l d x 题 10 3 图 题 10 4 图 dE 大学物理学 习题解答 10 3 两面间 12 0 1 2 En 1 面外 12 0 1 2 En 2 面外 12 0 1 2 En 其中 n为垂直于两平面由 1 面指为 2 面方向的单位矢量 10 7 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为 若在球内挖去一块半径为r R的小球体 如图所示 试求 两球心O与 O 点的场强 并证明小球空腔内的电场是均匀 的 解 将此带电体看作带正电 的均匀球与带电 的均匀小球的组合 见图 a 1 球在O点产生电场 1 0 O E 球在O点产生电场 3 2 3 0 4 3 4 d O r OO E 故O 点电场 3 12 3 0 4 3 4 d OO r OO EEE 3 3 0 3 d r OO 2 球在 O 产生电场 1O E 3 3 00 4 d 3 4 d3 OOOO 球在 O 产生电场 2 0 O E 故 O 点的电场 12OO EEE 0 3 OO 3 设空腔任一点P相对 O 的位矢为 r 相对O点位矢为r 如图 b 则 球在 P 点产生的电场为 PO E 0 3 r 球在 P 点产生电场 PO E 0 3 r 所以 P 点的场强 000 333 PPOPO OO d EEErr 可见 空腔内是均匀电场 10 8 1 点电荷q位于一边长为a的立方体中心 试求在该点电荷电场中穿过立方体的 一个面的电通量 2 如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上 这时穿过立方体各 面的电通量是多少 3 如题10 8 3 图所示 在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面 q在 该平面轴线上的A点处 求 通过圆平面的电通量 arctan R x 题 10 7 图 题 10 6 图 第 10 章 静电场 10 4 解 1 由高斯定理 00 d S q q ES 当q在立方体中心时 立方体六个面 每个面上电通量相等 所以各面电通量 0 6 e q 2 电荷在顶点时 将立方体延伸为边长2a的立方体 使q处于边长2a的立方体中心 则边长2a的正方形上电通量 0 6 e q 对于边长a的正方形 如果它不包含q所在的顶点 则 0 24 e q 如果它包含q所在 顶点则0 e 3 因为通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为 22 Rx 的球冠面的电通 量 而球冠面积 22 22 2 1 x SRx Rx 所以 电通量 22 0 4 qS Rx 0 2 q 22 1 x Rx 关于球冠面积的计算 见题 10 8 解图 c 半径为r的球冠面积 0 2 sindSrr 2 0 2 sindr 2 2 1 cos r 10 9 边长为 b 的立方盒子的六个面 分别平行于xOy yOz和xOz平面 盒子的一 角在坐标原点处 在此区域有一静电场 场强为200300 Eij 试求穿过各面的电通量 解 由题意知200N C 300N C 0 xyz EEE 平行于xOy平面的两个面的电场强度通量 1 0 z E S E S 平行于yOz平面的两个面的电场强度通量 22 2 200N m C x E Sb E S 其中 分别对应于右侧和左侧平面的电场强度通量 平行于xOz平面的两个面的电场强度通量 22 2 300N m C y E Sb E S 其 中 分别对应于上和下平面的电场强度通量 10 10 在点电荷q的电场中 选取以q为中心 R为半径的球面上一点P处作电势零点 题 10 8 解图 题 10 8 3 图 大学物理学 习题解答 10 5 求与点电荷q距离为r的 P 点的电势 解 2 00 11 dd 44 RR rr Qq Ur rrR Er 10 11 如图所示 边长为 a 的等边三角形的三个顶点上 分别放置着三个正的点电荷q 2q 3q 若将另一正点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心 O 处 外力所做的功多大 解 任意 1 个电荷距三角形中心 O 处的距离都为 2 cos303 aa r 三个电荷q 2q 3q在三角形的中心 O 处产生的总电势为 0 0 23 3 3 2 4 3 O qqqq U a a 设无穷远处电势为零 将另一正点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心 O 处 外力所 做的功 0 3 3 2 OO qQ AQ UUQU a 10 12 如图所示 试验电荷q 在点电荷 Q 产生的电场中 沿半径为R的整个圆弧 的 3 4 圆弧轨道由 a 点移到 d 点的过程中电场力做功多大 从 d 点移到无穷远处的过程中 电场力做功为多少 解 因为在点电荷 Q 产生的电场中 ad UU 故试验电荷q在点电荷 Q 产生的电 场中 沿半径为R的整个圆弧的 3 4 圆弧轨道由 a 点移到 d 点的过程中电场力做功 ad 0A 从 d 点移到无穷远处的过程中 电场力做功为 dd 0 4 qQ Aq UUqU R 或另解 2 00 dd 44 RR qQqQ Aqr rR Er 10 13 如题图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 的正电荷 两直导线的长度和半 圆环的半径都等于R 试求环中心O点处的场强和电势 解 1 由于电荷均匀分布与对称性 AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消 半圆环上取ddlR 其电量ddqR 在O点产生dE如图 2 2 02 d dsin0 4 xx R EE R 2 2 02 d dcos 4 yy R EE R 0 2 R r P q R P 题 10 10 图 q 3q 2q O a a a 题 10 11 图 Q R q a d 题 10 12 图 第 10 章 静电场 10 6 所以 由于对称性 O点场强沿y轴负方向 其大小为 0 2 E R 2 以0U AB电荷在O点产生电势为 2 1 00 d ln2 4 4 R R r U r 同理CD产生的电势 21 0 ln2 4 UU 半圆环产生的电势 3 00 4 4 R U R O 点的电势为 123 00 ln2 2 4 O UUUU 10 14 长为2l的细杆上均匀分着