高中数学第2章统计2.4线性回归方程互动课堂学案苏教版必修.docx

2.4线性回归方程互动课堂疏导引导1.变量之间的关系 在实际问题中,变量之间的常见关系的有两类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间有一定的联系,但不能完全用函数来表达,它们的关系带有随机性,我们说这两个变量具有相关关系.疑难疏引 （1）对相关关系的理解应当注意以下几点： 其一是相关关系与函数关系不同,因为函数关系是一种非常确定的关系,而相关关系是一种非确定性关系,即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此,不能把相关关系等同于函数关系. 其二是函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.例如,有人发现,对于在校儿童,鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而,学会新词并不能使脚变大,而是涉及到第三个因素年龄.当儿童长大一些,他们的阅读能力会提高,而且由于长大,脚也变大. 其三是在现实生活中存在着大量的相关关系,如何判断和描述相关关系,统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性,这需要通过收集大量的数据,对数据进行统计分析,发现规律,才能作出科学的判断.（2）在考虑相关关系中的两个量的关系时,为了对变量之间的关系有一个大致的了解,我们通常将变量所对应的点描出来,这些点就组成了具有相关关系的变量之间的一组数据的图形,通常称这种图为变量之间的散点图. 根据散点图中变量的对应点的离散程度,我们也可以准确地判断两个变量是否具有相关关系. 散点图中变量的对应点如果分布在某条直线的周围,我们就可以得出结论,这两个变量具有相关关系.如果变量的对应点分布没有规律,我们就可以得出结论：这两个变量不具有相关关系.案例1 下列关系中,带有随机性相关关系的是_.正方形的边长与面积之间的关系 水稻产量与施肥量之间的关系 人的身高与年龄之间的关系 降雪量与交通事故的发生率之间的关系【探究】两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系.正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.水稻产量与施肥量之间不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具相关关系.降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.答案：规律总结 准确理解变量间的相关关系是解答本题的关键.要准确区分两变量间相关关系和函数关系,事实上,现实生活中相关关系是到处存在的,从某种意义上讲,函数关系可以看作一种理想关系模型,而相关关系是一种普遍的关系.两者区别的关键点是“确定性”还是“随机性”.案例2 5个学生的数学和物理成绩如下表：学科 学生ABCDE数学8075706560物理7066686462 画出散点图,并判断它们是否有相关关系.【探究】涉及两个变量：数学成绩与物理成绩,可以以数学成绩为自变量,考查因变量物理成绩的变化趋势. 以x轴表示数学成绩,y轴表示物理成绩,可得相应的散点图. 由散点图（上图）可见,两者之间具有相关关系.规律总结 判断变量之间有无相关关系,一种常用的简便可行的方法是绘散点图,散点图是由数据点分布构成,是分析研究两个变量相关关系的重要手段.从散点图中,如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量是线性相关的.2.最小二乘法（最小平方法）、线性回归方程（1）线性相关关系 如果散点图中,相应于具有相关关系的两个变量所有观察值的数据点分布在一条直线的附近,我们称这两个变量之间具有线性相关关系. 也就是说能用直线方程=bx+a近似表示的相关关系叫线性相关关系.（2）最小二乘法（最小平方法） 如果n个点:(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度：y1-(a+bx1)2+y2-(a+bx2)2+yn-(a+bxn)2.使得上式达到最小值的直线=bx+a就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘法.（3）线性回归方程 记线性回归方程为=bx+a,则系数a、b满足：b=()疑难疏引 （1）我们知道,回归直线是与数据点最接近的直线,反映贴近程度的数据是：离差的平方和,即总离差Q=(yi-a-bxi)2.这样,回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条.这样使“离差平方和为最小”的方法,叫做最小二乘法.（最小平方法）（2）利用最小二乘法求回归系数a、b时,是将离差的平方和Q转化为关于a或b的二次函数,利用二次函数知识求得的.（3）借助散点图,可以直观地看出两个变量之间是否具有相关关系.用最小二乘法思想建立的回归直线方程,能定量地描述两个变量的关系.回归系数a和b,刻画了两个变量之间的变化趋势.利用回归直线,可以对问题进行预测,由一个变量的变化去推测另一个变量的变化.（4）求线性回归方程的一般步骤：根据两组数据计算,xi,yi,xiyi;代入（*）计算求a、b的值；代入=a+bx. 一般情况下,求线性回归方程可借助计算器和计算机来完成. 另外,回归系数可简化为：b=,a=-b,这里x=xi,y=yi案例3 某产品的广告支出x与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据.广告支出x(单位：万元)1234销售收入y(单位：万元)12284256（1）画出表中数据的散点图；（2）求出y对x的回归直线方程；（3）若广告费为9万元,则销售收入约为多少万元？【探究】只有散点图大致表现为线性时,求回归直线方程才有实际意义.【解析】(1)散点图如下：（2）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近,列出下列表格,以备计算a、b.序号xyx2y2xy11121144122228478456334291 7641264456163 13622410138305 828418 于是=,=,=30,=5 828,xyi=418, 代入公式得：b=,a=-b=-2. 故y对x的回归直线方程为=x-2,其中回归系数b=,它的意义是：广告支出每增加1万元,销售收入y平均增加万元.(3)当x=9万元时,=9-2=129.4万元. 即广告费为9万元, 则销售收入为129.4万元.规律总结 （1）对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直线形,再依系数a、b的计算公式,算出a、b,由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段,认真细致,谨防计算中产生错误.（2）在利用公式：b=,a=-b来计算回归系数时,为了方便常制表对应出xiyi, ,以利于求和.（3）研究变量间的相关关系,求得回归直线方程能帮助发现事物发展的一些规律,补充积累资料的不足,估计预测某些数据,为我们的判断和决策提供依据.活学巧用1.下列两变量中具有相关关系的是（ ）A.正方体的体积与边长B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C.人的身高与体重D.人的身高与视力解析：选C.本题主要考查变量间的相关性,其中A,B均为函数关系,D则无相关关系.答案：C2.下列各关系中不属于相关关系的是（ ）A.产品成本与生产数量B.球的表面积与体积C.家庭的支出与收入D.人的年龄与体重解析：球的表面积与体积之间是函数关系,不属于相关关系,选B.答案：B3.下列关系属于负相关的是（ ）A.父母的身高与子女身高的关系B.农作物产量与施肥量的关系C.吸烟与健康的关系D.数学成绩与物理成绩的关系解析：吸烟有害健康,因此,吸烟与健康之间的关系属于负相关.答案：C4.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）A.圆的半径和它的面积B.正方形边长和它的面积C.正n边形的边数和顶点角度之和D.期中考试数学成绩与复习时间的投入量解析：期中考试数学成绩与复习时间的投入量是相关关系而不是函数关系.答案：D5.“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.那么,教师的水平与学生的水平成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中的两个变量相关关系的成语吗？解析：“名师出高徒”的意思是说有名的教师一定能教出高明的徒弟,通常情况下,高水平的教师有很大趋势教出高水平的学生,所以,教师的水平与学生的水平成正相关关系,生活中这样的成语很多,如“龙生龙,凤生凤,老鼠的孩子会打洞” .6.现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x与入学后的第一次数学成绩y,数据如下：学号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771 问这10名学生的两次数学考试成绩是否具有相关关系？解析：应用散点图分析. 两次数学考试成绩散点图如下图所示.由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围,且y随x的变大而变大,具有正相关关系.因此,这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关系.7.变量y与x之间的回归方程（ ）A.表示y与x之间的函数关系B.表示y和x之间的不确定性关系C.反映y和x之间真实关系的形式D.反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合解析：回归直线是与数据点最贴近的直线,y与x之间的回归方程,反映了y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合.答案：D8.设有一个回归方程=2-1.5x,当变量x增加一个单位时（ ）A.y平均增加1.5个单位B.y平均增加2个单位C.y平均减少1.5个单位D.y平均减少2个单位解析：=2-1.5(x+1)=2-1.5x-1.5=-1.5.答案：C9.线性回归方程表示的直线=a+bx必定过（ ）A.（0,0）点 B.（,0）点C.（0, ）点 D.（,）点解析：回归直线函数a、b有公式a=-b, 即y=a+b直线=a+bx必定过（,）点.答案：D10.回归直线方程的系数a,b的最小二乘估计a,b,使函数Q（a,b）最小,Q函数指（ ）A.(yi-a-bxi)2 B.|yi-a-bxi|C.(yi-a-bxi)2 D.|yi-a-bxi|解析：Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2=(yi-bxi-a)2.答案：A11.观测两相关变量得如下数据： x y-1 -9-2 -7-3 -5-4 -3-5 -1 5 1 3 5 4 3 2 7 1 9则两变量间的回归直线方程是（ ）A.y=x-1 B.y=x C.y=2x+ D.y=x+1解析：由线性回归方程系数的求解公式, 易得b=1,a=-b=0.线性回归方程为y=x.答案：B12.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积(m2)11511080135105销售价格(万元)24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格.解析：（1）数据对应的散点图如下图所示：(2)=xi=109,(xi-)2=1 570,=23.2,(xi-)(yi-)=311.2. 设所求回归直线方程为=bx+a,则=0.198 2,=-b=23.2-1090.198 21.596 2. 故所求回归直线方程为=-0.198 2x+1.596 2.(3)据(2),当x=150 m2时,销售价格的估计值为：=0.198 2150+1.596 2=31.326 2(万元).13.为研究某市家庭年平均收入与年平均生活支出的关系,该市统计调查队随机调查了10个家庭,得数据如下：i（家庭编号）12345678910xi(收入)（千元）0.81.11.31.51.51.82.02.22.42.8yi(支出)（千元）0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.5求回归直线方程.解析：列表i12345678910xi0.81.11