2017_18学年高中数学第三章3.2.1直线的点斜式方程学案含解析.docx

32.1直线的点斜式方程点斜式、斜截式提出问题如图，过点A(1,1)作直线l.问题1：试想直线l确定吗？提示：不确定因为过一点可画无数条直线问题2：若直线l的倾斜角为45，直线确定吗？提示：确定问题3：若直线l的斜率为2，直线确定吗？提示：确定导入新知1直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程yy0k(xx0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90的直线没有点斜式，其方程为xx00，或xx0.2直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程ykxb叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距倾斜角是直角的直线没有斜截式方程化解疑难1关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：已知一点P(x0，y0)和斜率k；斜率必须存在只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程(2)方程yy0k(xx0)与方程k不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线(3)当k取任意实数时，方程yy0k(xx0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线2斜截式与一次函数的解析式相同，都是ykxb的形式，但有区别，当k0时，ykxb即为一次函数；当k0时，yb不是一次函数，一次函数ykxb(k0)必是一条直线的斜截式方程截距不是距离，可正、可负也可为零.直线的点斜式方程例1(1)经过点(5,2)且平行于y轴的直线方程为_(2)直线yx1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90后得直线l，则直线l的点斜式方程为_(3)求过点P(1,2)且与直线y2x1平行的直线方程为_答案(1)x5(2)y4(x3)(3)2xy0类题通法已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用当直线的斜率不存在时，直线方程为xx0.活学活用若直线l过点(2,1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135；(2)平行于x轴；(3)平行于y轴；(4)过原点解：(1)直线的斜率为ktan 1351，所以由点斜式方程得y11(x2)，即方程为xy30.(2)平行于x轴的直线的斜率k0，故所求的直线方程为y1.(3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x2.(4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k，故所求的直线方程为yx.直线的斜截式方程例2(1)倾斜角为150，在y轴上的截距是3的直线的斜截式方程为_(2)已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程解(1)yx3(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k12，又ll1，l的斜率kk12.由题意知l2在y轴上的截距为2，l在y轴上的截距b2，由斜截式可得直线l的方程为y2x2.类题通法1斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在当b0时，ykx表示过原点的直线；当k0时，yb表示与x轴平行(或重合)的直线2截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数活学活用写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是3；(2)直线倾斜角是60，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为2.解：(1)y3x3.(2)ktan 60，yx5.(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为2，直线过点(4,0)和(0，2)，k，yx2.两直线平行与垂直的应用例3当a为何值时，(1)两直线yax2与y(a2)x1互相垂直？(2)两直线yx4a与y(a22)x4互相平行？解(1)设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1a，k2a2.两直线互相垂直，k1k2a(a2)1，解得a1.故当a1时，两条直线互相垂直(2)设两直线的斜率分别为k3，k4，则k31，k4a22.两条直线互相平行，解得a1.故当a1时，两条直线互相平行类题通法判断两条直线位置关系的方法直线l1：yk1xb1，直线l2：yk2xb2.(1)若k1k2，则两直线相交(2)若k1k2，则两直线平行或重合，当b1b2时，两直线平行；当b1b2时，两直线重合(3)特别地，当k1k21时，两直线垂直(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑活学活用1若直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直，则a_.答案：2若直线ax2y3a0与直线3x(a1)y7a平行，则实数a的值为_答案：3典例已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，当l1l2时，求m的值解由题设l2的方程可化为yxm，则其斜率k2，在y轴上的截距b2m.l1l2，l1的斜率一定存在，即m0.l1的方程为yx.由l1l2，得解得m1.m的值为1.易错防范1两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合2解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合成功破障当a为何值时，直线l1：y2ax2a与直线l2：y(a23)x2平行？解：l1l2，a232a且2a2，解得a3.随堂即时演练1直线的点斜式方程yy1k(xx1)()A可以表示任何一条直线B不能表示过原点的直线C不能表示与坐标轴垂直的直线D不能表示与x轴垂直的直线答案：D2直线l经过点P(2，3)，且倾斜角45，则直线的点斜式方程是()Ay3x2By3x2Cy2x3 Dy2x3答案：A3直线y3x2在y轴上的截距为_答案：24在y轴上的截距为2，且与直线y3x4平行的直线的斜截式方程为_答案：y3x25(1)求经过点(1,1)，且与直线y2x7平行的直线的方程；(2)求经过点(2，2)，且与直线y3x5垂直的直线的方程解：(1)2xy10(2)x3y80课时达标检测一、选择题1已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(1,2)，斜率为1B直线经过点(2，1)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜率为1D直线经过点(2，1)，斜率为1答案：C2直线yaxb和ybxa在同一直角坐标系中的图形可能是()答案：D3与直线y2x1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是()Ayx4By2x4Cy2x4 Dyx4答案：D4过点(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为()A2xy10B2xy50Cx2y50Dx2y70答案：A5直线y2x3与y22(x3)的位置关系是()A平行 B垂直C重合 D无法判断答案：A二、填空题6过点(3,2)且与直线y1(x5)平行的直线的点斜式方程是_答案：y2(x3)7直线yax3a2(aR)必过定点_答案：(3,2)8已知斜率为2的直线的方程为5ax5ya30，此直线在y轴上的截距为_答案：三、解答题9已知三角形的顶点坐标是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程解：直线AB的斜率kAB，过点A(5,0)，由点斜式得直线AB的方程为y(x5)，即3x8y150；同理，kBC，kAC，直