线性规划在现代管理中的应用-论文.doc

本科学年论文论文题目： 线性规划在现代管理中的应用 学生姓名：学 号：专 业： 数学与应用数学 班 级：09级应数本二班指导教师：完成日期： 2010年 12 月 10 日目 录一、 线性规划 1二、线性规划的模型从实际问题中建立数学模型的一般步骤所建立的数学模型的特点三、求线性规划最优解的方法四、实例研究参考文献 线性规划在现代管理中的应用内 容 摘 要 线性规划是解有约束条件下最优化问题的一种技术，目标函数和资源约束条件都是线性的，从理论上说，线性规划问题可以用图解法和代数法来解。图解法包括找出可行域和移动目标函数，直到在可行域解集合的一个隅角上找到最优解。代数法是找出可行解集合的隅角和由这些隅角决定的决策变量的值，然后评价每组决策变量的目标函数，选出其中最大值或最小值。关键词：决策变量 约束条件 隅角 目标函数 等利润线 序 言 线性规划是一种用来解决一组特殊的有约束条件下最优化问题的方法，在这里目标函数是线性的，并有一个或多个线性的约束条件，它是一种很有用的决策方法，在许多管理问题中都能应用。线性规划不仅在决策中有用，而且也有助于理解有约束条件下最优化和机会或成本的概念。.线性规划 线性规划时运筹学中研究较早，发展较快，应用广泛，方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力，物力资源，使经济效果达到最好，一般的，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。.线性规划的模型 .从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤： ）根据影响所要达到目的的因素找到决策变量。 ）由决策变量和所在达目的之间的函数关系确定目标函数。 ）由决策变量所受限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。 .所建立的数学模型有以下特点： ）每个模型都有若干个决策变量（，x），其中为决策变量个数，决策变量的一组值表示一种方案，决策变量一般是非负的。 ）目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。 ）约束条件也是决策变量的线性函数。 .线性规划求最优解的方法： ）图解法 ）代数法 .实例研究 )构造问题：假定有一家企业生产两种产品和，它们需要在三种不同的机器上加工，在生产期内，每种机器可利用的工时数是有限的，假定在相关产量范围内每种产品的单位利润是个常数，企业面临的问题是，在有限的可利用的机器工时数的条件下，确定能使利润最大的和的数量（和）。和则称为决策变量。 管理当局的目标必须用一种函数形式来表示，即目标函数。在这个问题里，目标函数为：=+ 这里代表总利润，和分别为生产个单位和的利润。解得：式是一条直线，它的垂直截距等于总利润与单位产品的利润的比率（即），它的斜率为/比率的负值（即两种产品的相对盈利）。因为、都是正值，这条直线的斜率是负的。 假如产品的单位产品利润为美元，产品为美元，那么目标函数为：即如果利润量既定，就代表能获这一利润的所有的和的组合。因此，可把看作是一个等利润方程。例如：如果，能获这一利润的一些和的组合见下表：（表一） 表一这条美元的等利润线及和的等利润线见下图：（图图一： ： ： 管理当局的问题是在企业资源有限的情况下，如何尽可能获得最高利润。 前面讲过，产品和需要在三台不同的机器上加工。假定这三台机器分别是、和。下表列出在每台机器上生产单位产品所需要的工时数和在生产期内每台机器能利用的工时数。（表二） 机器单位产品的机器工时需要量可利用的总机器工时产品产品（表二）单位产品的资源（机器工时）需要量和可资利用的总机器工时由题意，线性规划的表达式如下：求最大值：(目标函数)要求满足： 机器的约束条件 机器的约束条件 机器的约束条件 、 非约束条件可行区域：下一步是确定不违反约束条件的产量和。个约束条件如图二所示 图二：机器的约束条件 ：机器的约束条件 ：机器的约束条件 一般地说，可行区域包括所有的能同时满足所有约束条件的所有决策变量的值。在这个例子中，生产的可行区域是能满足所有个约束条件的决策变量和组合的集合。如图阴影部分所示。在它的边界上或边界内的任何点进行生产，均能满足约束条件。如点不再可行区域内，因为它未能满足机器的约束条件，线性规划问题就是要在可行区域内寻找一个能使利润最大的和的组合。 图解法： 图三 ： ： ： ：约束条件 ：约束条件 ：约束条件 图三显示的是可行区域和三条等利润函数，能满足所有约束条件的最高的利润线为，它与可行域的点相触，点坐标，就是这一利润最大化问题的答案。 分配给每种产品的机器工时数等于和乘以表二中所定的机器工时需要量，每台机器分配到每种产品的工时数见表三。注意，机器和的可供利用的工时数都被用完，机器还有没有用完的。生产单位产品需要机器工时，生产单位产品也需要工时，总共需要工时，由于可资利用的工时数为工时，剩余未用的有公时，用线性规划的语言，我们就说机器和的约束条件是绷紧的，但机器的工时是松弛的，的约束条件是非绷紧的。机器工时数分配给可供利用的工时数松弛的工时数产品产品 （ 表三）分配给每种产品的机器工时数 在图三中，利润最大的解发生在可行域的一个隅角，因为目标函数和约束条件都是线性的，所以最优解总是在其中的一个隅角上，只平价隅角上的解，就能使计算量大大减少。 图四 在图四中，画有两条不同的等利润线和，原来的利润方程：的最优解在点，在另一目标函数里，的单位利润是美元，的单位利润是美元，因此，它的利润方程为：。对利润函数来说，最优解在隅角点。 任何线性规划的解总是在一个隅角上，在这里，目标函数的斜率对于确定哪个隅角最优解有决定性作用。 代数法：刚才用的图解法能说明线性规划的解题原理，也能实际用于解决有些问题，但是，如果有两个以上决策变量，就无法使用图解法。幸而，有一种代数法，至少在理论上，可用来解几乎任何规模的线性规划，如上提到的问题里有一个目标函数，三个表示资源约束条件的不等式和非负条件，即：求最大： 要求满足： 、 再看图四，点是约束条件和垂直轴(）的交点，因此，可以通过把代入第个约束条件求得：。所以，在点，决策变量的值为，。点是约束条件和的交点，将两个约束条件合并求解：，。所以在点决策变量的值为：，。 同理，在点决策变量的值为：，。 每个隅角上决策变量的值和它的利润见表四：隅角点决策变量利润 （表四）决策变量的值和每个隅角点的利润 隅角点的利润最大（）。因此，企业的最优解是生产单位和单位。参 考 文 献 【美】 克雷格彼得森，克里斯刘易斯. 管理经济学 中国人民大学出版社 线性规划 卢开澄 清华大学出版社; 第1版 (2009年2月1日) 线性规划导论 作者：（美）Leonid Nison Vaserstein，Christopher Cattelier Byrne 实用线性规划方法及其支持系统 作者：