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第三讲一元二次方程根与系数的关系 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念 解法及应用 而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系 在高中教材中的二次函数 不等式及解析几何等章节有着许多应用 本节将对一元二次方程根的判别式 根与系数的关系进行阐述 一 一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 用配方法将其变形为 1 当时 方程有两个不相等的实数根 2 当时 方程有两个相等的实数根 3 当时 方程没有实数根 一 一元二次方程的根的判断式 例1 不解方程 判断下列方程的实数根的个数 说明 在求判断式时 务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式 一 一元二次方程的根的判断式 例2 已知关于的一元二次方程 根据下列条件 分别求出的范围 1 方程有两个不相等的实数根 2 方程有两个相等的实数根 3 方程有实数根 4 方程无实数根 一 一元二次方程的根的判断式 例3 已知实数 满足 试求的值 由于是实数 所以此方程有实数根 因此 解 把方程看作是关于的方程 整理得 代入原方程得 综上知 二 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为 说明 一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现 所以通常把此定理称为韦达定理 上述定理成立的前提是 二 一元二次方程的根与系数的关系 二 一元二次方程的根与系数的关系 例5 已知两个数的和为4 积为 12 求这两个数 二 一元二次方程的根与系数的关系 说明 务必要注意方程有两实
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