数学人教版九年级下册26.2 实际问题与反比例函数备课素材.doc

第二十六章反比例函数26.2实际问题与反比例函数素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入某科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米的烂泥湿地为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务你能用物理中学过的关于压强的知识解释他们这样做的道理吗？压强问题能利用反比例函数知识解决吗？图2621说明与建议 说明：让学生把所学的有关反比例函数的知识应用到实际问题中，去解决实际问题，让学生体会到数学与实际生活的密切联系建议：教师先展示一些沼泽地的图片，然后提出情景导入中的问题，可以通过小组合作的形式完成，给学生充分思考、交流的时间悬念激趣在纳鞋底时，先用锥子穿透鞋底，然后用栓有细绳的针顺着小孔眼从鞋底的这一面穿到另一面同学们，你们知道为什么用锥子穿透鞋底，而不用小铁棍吗？你们知道其中的道理吗？图2622说明与建议 说明：让学生把所学的有关反比例函数的知识应用到实际问题中，去解决实际问题，让学生体会到数学与实际生活的紧密联系建议：教师先展示纳鞋底的图片或者让学生亲身体验这个过程，然后提出导入中的问题，给学生充分思考、交流的时间素材二教材母题挖掘教材母题第15页例4一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110220 .已知电压为220 V，这个用电器的电路图如图2623所示(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？(2)这个用电器功率的范围是多少？图2623【模型建立】反比例函数在物理学科中的应用非常广泛，例如压强、电压、力等，这体现了数学作为基础性学科的实际应用解这类数学应用题的关键是通过分析、联想和抽象，将实际问题转化为数学问题，即构建反比例函数模型【变式变形】1近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例(即y，k0)，已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5 m，则y与x之间的函数解析式是_y_2某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图2624所示，当气球内的气压大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应(B)图2624A不大于 m3 B不小于 m3C不大于 m3 D不小于 m33蓄电池的电压为定值使用此电源时，电流I(A)与电阻R()之间的函数关系如图2625所示(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的解析式吗？(2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10 A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？图2625答案：(1)36 V，I(2)R3.6素材三考情考向分析命题角度1 根据几何图形性质判断反比例函数图象考试时，常出现根据动点在几何图形中的运动，判断函数的图象这类题目综合性比较强，需要根据相关几何图形的性质得到函数关系，再判断图象例岳阳中考如图2626，已知点A是直线yx与反比例函数y(k0，x0)的图象的交点，B是反比例函数y的图象上的另一点，BCx轴，交y轴于点C.动点P从坐标原点O出发，沿路线OABC(图中“”所示路线)匀速运动，终点为C.过点P作PMx轴，PNy轴，垂足分别为M，N.设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为(B)图2626图2627命题角度2 反比例函数在物理学中的应用数学课程标准要求同学们学会运用数学的思维方式观察、分析现实生活，解决日常生活和其他学科中的问题，增强应用数学知识的意识特别是反比例函数在物理学中的应用情况，常见的有电压 U 一定的情况下，电流 I 与电阻 R 之间成反比例；波速等于波长乘以频率，当波速一定时，波长与频率成反比例关系等例如本课素材二教材母题挖掘命题角度3 反比例函数在生活中的应用现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的解析式建立反比例函数模型解实际问题能够培养同学们的“应用意识”，同时也有利于培养同学们分析问题和解决问题的能力例舟山中考试验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中的酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y200x2400x刻画；1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用反比例函数y(k0)刻画(如图2628所示)(1)根据上述数学模型计算：喝酒后几个小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？当x5时，y45，求k的值(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由图2628解：(1)y200x2400x200(x1)2200，喝酒后1个小时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升；当x5时，y45，此时y与x可近似地用反比例函数y(k0)刻画，kxy455225.(2)不能驾车上班理由：晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11个小时，将x11代入y，得y20，第二天早上7：00不能驾车去上班素材四教材习题答案P15练习1如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1 L(1 L1 dm3)的圆锥形漏斗(1)漏斗口的面积S(单位：dm2)与漏斗的深d(单位：dm)有怎样的函数关系？(2)如果漏斗口的面积为100 cm2，那么漏斗的深为多少？解：(1)圆锥的体积底面积高，1Sd，S(d0)(2)漏斗口面积S100 cm21 dm2，1，d3.即漏斗的深为3 dm.2一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h的平均速度用6 h到达目的地(1)当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？(2)如果该司机必须在4 h之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于多少？解：(1)甲、乙两地的距离为806480(km)，v(t0)(2)当司机4 h回到甲地时，返程时的速度为v120(km/h)若要在4 h内回到甲地，返程时的速度不能小于120 km/h.3新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖已知楼体外表面的面积为5103 m2.(1)所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S(单位：m2)有怎样的函数关系？(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是80 cm2，且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为221，需要三种瓷砖各多少块？解：(1)n(S0)(2)每块瓷砖的面积是80 cm28103 m2，需瓷砖的块数为n625 000(块)设灰、白、蓝瓷砖分别用2k块、2k块、k块，则有2k2kk625 000，k125 000，2k2125 000250 000.需灰瓷砖250 000块，白瓷砖250 000块，蓝瓷砖125 000块P16习题26.21请举出一个生活中应用反比例函数的例子答案 略2某农业大学计划修建一块面积为2106 m2的矩形试验田(1)试验田的长y(单位：m)关于宽x(单位：m)的函数解析式是什么？(2)如果试验田的长与宽的比为21，那么试验田的长与宽分别为多少？解：(1)y(x0)(2)设试验田的宽为a m，长为2a m，由(1)得2a，2a22106.a103(负值舍去)长为2103 m，宽为103 m.3小艳家用购电卡购买了1000 kWh电，这些电能够使用的天数m与小艳家平均每天的用电度数n有怎样的函数关系？如果平均每天用4 kWh电，这些电可以用多长时间？解：m(n0)若每天用4 kWh，则这些电可以用250(天)答：平均每天用4 kWh电，这些电可以用250天4已知经过闭合电路的电流I(单位：A)与电路的电阻R(单位：)是反比例函数关系，请填下表(结果保留小数点后两位)I/A12345R/20253050658090答案 略5已知甲、乙两地相距s(单位：km)，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t(单位：h)关于行驶速度v(单位：km/h)的函数图像是()答案 C6密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V(单位：m3)变化时，气体的密度(单位：kg/m3)随之变化已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示(1)求密度关于体积V的函数解析式；(2)当V9 m3时，求二氧化碳的密度.解：(1)设一定质量的二氧化碳是m kg，由物理学知识知，从图像知，当V5时，1.98，1.98，解得m9.9.函数解析式为(V0)(2)当V9 m3时，1.1(kg/m3)7红星粮库需要把晾晒场上的1200 t玉米入库封存(1)入库所需的时间d(单位：天)与入库平均速度v(单位：t/天)有怎样的函数关系？(2)已知粮库有职工60名，每天最多可入库300 t玉米，预计玉米入库最快可在几天内完成？(3)粮库职工连续工作两天后，天气预报说未来几天会下雨，粮库决定次日把剩下的玉米全部入库，至少需要增加多少职工？解：(1)d(v0)(2)预计玉米入库最快可在4天内完成(3)至少需要增加60名职工8已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图像如图所示(1)请写出这个反比例函数的解析式(2)蓄电池的电压是多少？(3)完成下表：R/345678910I/A(4)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10 A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？解：(1)I(R0)(2)36 V.(3)12964(4)0 R0)(2)以每千米耗油0.1 L到省城共耗油3000.130(L)，返程时共耗油3000.1260(L)，往返共耗油306090(L)即油箱中70 L的油不能返回县城至少还需加油907020(L)P21复习题261用解析式表示下列函数：(1)三角形的面积是12 cm2，它的一边a(单位：cm)是这边上的高h(单位：cm)的函数；(2)圆锥的体积是50 cm3，它的高h(单位：cm)是底面面积S(单位：cm2)的函数解：(1)a(h0)；(2)h(S0)2填空：对于函数y，当x0时，y_0，这时函数图像位于第_象限；对于函数y，当x一二3填空：(1)函数y的图像位于第_象限，在每一个象限内，y随x的增大而_；(2)函数y的图像位于第_象限，在每一个象限内，y随x的增大而_答案 (1)一、三减小(2)二、四增大4下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是()Ay ByxCy5x6 D.答案 B5在反比例函数y的图像的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围解：在反比例函数y的图像的每一支上，y都随x的增大而减小，k10，即k1，k的取值范围是k1.6如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是421，如果B面向下放在地上，地面所受压强为a Pa，那么A面和C面分别向下放在地上时，地面所受压强各是多少？解：设这块砖的A，B，C三个面的面积分别是4k，2k，k.由于B面向下放在地上时地面所受压强为a Pa，由物理学知识知压强，a，F2ak.则A面向下放在地上的压强为a(Pa)；C面向下放在地上的压强为2a(Pa)7已知某品牌显示器的寿命大约为2104 h.(1)这种显示器可工作的天数d与平均每日工作的小时数t之间具有怎样的函数关系？(2)如果平均每天工作10 h，那么这种显示器大约可使用多长时间？解：(1)d(t0)；(2)d2103(天)8把下列函数的解析式与其图像对应起来：(1)y；(2)y；(3)y；(4)y.答案 (1)B(2)A(3)C(4)D9两个不同的反比例函数的图像能否相交？为什么？解：两个不同的反比例函数的图像不会相交，因为：(1)当反比例函数y与y的k1与k2的符号不同时，它们的图像不在同一象限，所以不相交(2)当k1与k2的符号相同时，因为是不同的函数，所以k1k2.若两函数的图像相交，则交点坐标是方程组的解，得0，即.因为k1k2，所以此方程无解，即两函数图像无交点10在同一直角坐标系中，若正比例函数yk1x的图像与反比例函数y的图像没有交点，试确定k1k2的取值范围解：yk1x与y无交点，则k1，k2符号相反，k1k20)(2)由(1)得，104，t102100(天)(3)40天完成了40104 m3，还剩下(10640104)m3.50天内完成至少每天运12 000(m3)而100辆卡车一天运104 m3，每辆卡车运100 m3.共需12 000100120(辆)至少应增加车辆为12010020(辆)素材五图书增值练习当堂检测（第一课时）1. （2014云南省）将邮箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系（k是常数，k0）.已知某轿车邮箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米。（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式（关系式）（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？2.如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升1立方分米)的圆锥形漏斗 （1）漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系？（2）如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少？参考答案1.解：（1）把a0.1，S700代入得：，（2）把a0.08代入得：S875(千米)2.解：(1)根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为Scm，漏斗的深为dcm，则容积为1升l立方分米1000立方厘米 所以， (2)根据题意，把cm2代入中，得 ，解得(cm)所以如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为30cm（第二课时）1. 某课外小组在做气体压强实验时，获得气体压强p（Pa）与体积V（cm）之间有有下列对应数据关系：p（Pa）12345V（cm）6321.51.2根据表中提供的信息，回答下列问题：（1）猜想p与V之间的关系，并求函数关系式；（2）当气体的体积是12 cm时，压强是多少？2.（2014江苏泰州）某研究所将某种材料加热到100时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比试验.设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为yA、yB,yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kxb、yB=(x60)2m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同. （1）分别求yA、yB关于x的函数关系式； （2）当A组材料的温度降至120时，B组材料的温度是多少？ （3）在0x40的什么时刻，两组材料温差最大？ 参考答案1.解：（1）表中p增大V减小，且p与V的积是一个常数，所以p与V成反比例关系设p与V的关系式为（k0），将代入得，即 所以p与V的关系式为（2）将代入，得，即所以当气体的体积是12 cm时，压强是0.5 Pa2.解：（1）把（0,1000）代入yB=(x60)2m 得： (060)2m=1000，解得m=100， yB=(x60)2100， 当x=40时，yB=(4060)2100=200， 当x=40时，两组材料的温度相同， 把（40,200）和（0,1000）代入yA=kxb得： ，解得， yA=20x1000， 答：yA、yB关于x的函数关系式分别是yA=20x1000，yB=(x60)2100. （2）当A组材料的温度降至120时， 即20x1000=120，解得x=44， 把x=44代入yB=(x60)2100得 yB=(4460)2100=164（）， 答：当A组材料的温度降至120时，B组材料的温度是164. （3）yAyB =20x1000(x60)2100=x210x， a=， 抛物线开口向下，该函数值有最大值， 当x=20时，函数值有最大值， 答：在0x40之间，当x=20时，两组材料温差最大.能力培优专题一 以其他学科知识为背景，建立反比例函数模型.1. V（m3）O（5,2）25P(kg/m3)在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度p(单位,kg/m3)是v(单位,m3)的反比例函数,它的图象如图1所示,当v=10m3时,气体的密度是（ ）A.5kg/m3 B.2kg/m3 C.100kg/m3 D.1kg/m3 2.如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离（cm），观察弹簧秤的示数（）的变化情况实验数据记录如下：（cm） 1015202530（） 3020151210（1）把上表中的各组对应值作为点的坐标，在坐标系353025201510505101520253035（牛顿）中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测与之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）当弹簧杆的示数为24N时，弹簧秤与点的距离是多少cm？随着弹簧秤与点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？专题二：以生活为背景，建立反比例函数模型.3.某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数）如图所示据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ y（毫克）O3t(小时)1P【温馨提示】与实际问题的有关图象选择中易忽视自变量的实际意义,扩大其取值范围【方法技巧】解题的关键是通过对问题原始形态的分析、联想和抽象，将实际问题转化为一个数学问题，即构建一个反比例函数数学模型参考答案1. D【解析】由图象知，p和v是变量，质量m为常量，所以m=pv=52=10(kg),所以p= ( v0).当v=10m3时,气体的密度是.2解:(1)由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数,设(k0),把x=10,y=30代入得:k=300 将其余各点代入验证均适合y与x的函数关系式为（2）把y=24代入得:x=125,当弹簧称的示数为24N时,弹簧称与O点的距离是125cm随着弹簧称与O点的距离不断减小,弹簧称上的示数不断增大3. 解 (1)将点代入函数关系,解得,所以.将y=1代入,得,所以药物释放完毕后y与t的函数关系式为 ( t)再将代入得,所以药物释放过程中y与t的函数关系式为(2)解不等式,解得t6, 所以至少需要经过6小时后,学生才能进入教室.素材六数学素养提升反比例函数牵手生活中的衣食住行反比例函数在我们的日常生活中有着广泛的应用.在应用中，如何应用反比例函数知识解题呢?关键是建立反比例函数模型.即列出符合题意的函数关系式，然后再根据反比例函数的性质等知识来解决,并且还要注意结合实际.确定出符合题意的自变量的取值范围,为了能帮助同学们正确地利用反比例函数来解决实际问题，下面先从我们身边的衣食住行说起.一.衣例:某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t天完成（1）写出每天生产夏凉小衫w（件）与生产时间t（天）（t4）之间的函数关系式;（2）由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前4天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？分析:此题从公式工:作总量=工作时间工作效率入手,易导出每天生产夏凉小衫w（件）与生产时间t（天）（t4）之间的函数关系式为;然后话题一转,又把该内容融于了分式的运算之中,使整道题目出现了一个小综合.解：（1） （2） 答：每天多做（或）件夏凉小衫才能完成任务 二.食例:你吃过兰州拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度（cm）是面条粗细（横截面积）x（cm2）的反比例函数，假设其图象如图所示，(1)求与x的函数关系式（2）求当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多少米？分析:此题把生活中的拉面