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湖北省高考数学解答题分析与复习建议 宜昌市第一中学刘晓平2009 2 16 一 试题总体特征二 大题题型分析三 复习备考建议 一 试题总体特征 1 从指导思想 目标要求和命题原则上看 5年实践逐步趋于成熟和稳定 总体上较好的保持了与全国高考大纲的一致性 坚持强调 既考查中学数学知识和方法 又考查考生进入高校继续学习的潜能 特别是06以来的近三年命题 充分体现了三个 有助于 的命题思想 04 08年试题难度系数比较 2 从命题风格 试卷结构和考点布局上看 坚持了在 知识网络的交汇点处 思想方法的交织线上 能力层次的交叉区内的命题指向 多角度 多视点 多层次地考查了学生继续学习所应具备的数学素养和潜能 试题具有很好的区分度 题目的难 中 易三类题所占比例稳定适中 理科试题较难题比例基本保持在30 以下 且呈现逐年下降趋势 如下表所示 一 试题总体特征 04 08难 中 易三类题所占比例 3 从考试内容 试题形式和考试导向上看 做到了以高中重点知识构建试题的主体 对高中数学的主干知识 函数 数列 不等式 三角与向量 解几 立几 导数 概率统计等 进行了全面的考查 既注重基础 也强调创新 贴近中学教学实际 做到新题不难 难题不怪 主要特点为 一 试题总体特征 1 对数学基础问题的考查忠实于教材 但不拘泥于教材 许多题都是由教材的例 习题加工 改编 整合而成 如解答题中 08年文 理科16 17 18题 07年文科16 17 18 21题 理科16 17 18 19题 06年文科16 17 18题 理科16 19题等均直接取材于教材 试题的表述方式 入口途径及处理方法等都贴近教材风格 例如 08理科17题 首先 其背景与叙述方式均来自与教材第三册 选修 p9 t2 其次 第2问的立意也来自于教材的一个基本结构 随机变量 的线性关系a b仍然是一个随机变量 其期望与方差分别为 让多数考生倍感亲切与自信 2 着力考查数学思想和方法 如函数方程思想 数形结合思想 分类讨论思想和化归转化思想方法等的运用在考题中处处可见 对数学思想方法的考查注重通性通法 不追求特殊技能技巧 而着眼于平淡中见真功 常态下立新意 3 对新增内容 线性规划 向量 概率统计 导数等 的考查不断深化且逐步趋于稳定 成为常态 如06年考统计的正态分布 07年考统计频率分布直方图 08年考统计分布列及其期望和方差等等 具有较好的延续性 对高中教学具有很好的导向作用 4 应用题考查贴近生活实际 关注社会的时事热点 且有逐年加大考查力度的趋势 从06年的疫苗接种 老年健身 07年的流感防御 化纤生产和商品销售到08年的嫦娥奔月 水库蓄水和广告设计等 无不与我们的生活现实和国家发展密切相关 这些考题的出现也有效的提升了我省高考数学试题的文化品位 5 试题以能力立意 以对思维能力的考查为核心 各种能力并重 观察分析能力 抽象概括能力 理解能力 运算能力 空间想象能力 实践能力等多种能力综合考虑 把考查着力点放到了考查学生的能力和素质上 有利于中学素质教育的进一步推进和发展 如08年理科15题考查观察 归纳与推测能力 07年的压轴题考查观察 归纳 比较与综合运用能力等都极富新意 6 试题在逐步渗透新课标理念 倡导探究学习 考查学生的探究能力和创新精神 如07 08两年理科18题立体几何 在空间几何体的分割与动态变化中 考查学生的空间探究能力 值得推崇 7 文 理科考试试题虽有大多同型题 但有明显的功能取向 对于同类题型 文科题注重了对数学知识的工具性 直观性的考查 难度有下降趋势 使文理科难度的差距逐步缩小 理科则更加突出对数学概念的深刻性与抽象性的考查 难度平稳 充分考虑到了我省当前高中教学的实际情况 有利于稳定高中数学教学 二 大题题型分析 5年自主命题的大题主题均是以高中主干知识为主 全方位考查高中数学的主体内容 涉及到函数 数列 不等式 三角与向量 解几 立几 导数 概率统计等 各年大题历年所考内容统计如下 1 三角与向量 考纲对三角与向量的主要要求为 掌握和 差 倍半角的三角公式 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简 求值和恒等式证明 理解三角函数的图像性质 掌握正弦定理 余弦定理 并能初步运用它们解斜三角形 理解 掌握向量的有关概念及相关运算等 我省自主命题以来 对三角向量的考查着重在知识的理解与知识间的交汇点上 考查常规的三角运算与变形及三角函数的图像与性质 一般为中档题和容易题 07年之后全国高考考试有求中将 了解 函数的图像和性质改成为 理解 使得三角题的设置目标更为明确 具体 06年理科16题 设函数 其中向量 求函数的最大值和最小正周期 将函数的图像按向量平移 使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称 求长度最小的 08年理科16题 已知函数 将函数化简成的形式 求函数的值域 是三角公式的基本应用问题 做到熟练 准确 灵巧的运用好相关公式进行变形 是对图像与性质的研究问题 做到比较深透的领悟并把握好图像的结构及其性质 并能做一些有效的拓充 如图像变换 对称等 是三角形中的边角函数关系问题 要切实把握好三角形的基本结构和常用的数量关系 是向量 三角与平面几何的联系问题 这类问题能充分反映出在知识交汇处命题的原则 建议 1 已知函数 i 求函数的最小正周期和单调递减区间 ii 求函数在上的最大值和最小值并指出此时相应的x的值 2 已知o是 abc的外心 设 若 i 求 ii 求的值 2 概率与统计 考纲的主要要求 理科 为 了解相关的随机事件及其概率的意义 会用相关公式计算一些事件的概率 了解离散型随机变量及其分布列 期望 方差的意义 会求某些离散型随机变量的分布列 并能根据离散型随机变量的分布列求出期望值和方差 会用常用的抽样方法从总体中抽取样本 并能用样本频率分布去估计总体分布 了解正态分布的意义及主要性质和线性回归的方法及其简单应用 文理要求区别较大 理科考题形式主要为求随机事件的分布列 然后利用分布列解决有关期望 方差等问题 如05年理科19题 08年理科17题等 为全国各地的主要形式 06年与07年的考题虽然没有要求求分布列 但却直接给出了分布 正态分布和样本的频率分布 落脚点都在求相关事件的概率 期望和方差上 重点是各类事件的概率求法 考题充分体现了这一新增内容广泛的实用性 05年理科19题 某地最近出台一项机动车驾照考试规定 每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会 一旦某次考试通过 使可领取驾照 不再参加以后的考试 否则就一直考到第4次为止 如果李明决定参加驾照考试 设他每次参加考试通过的概率依次为0 6 0 7 0 8 0 9 求在一年内李明参加驾照考试次数 的分布列和 的期望 并求李明在一年内领到驾照的概率 本题以教材第三册 选修 新版p12 例3 产品抽查 为模型 非常贴近生活实际和教学实际 入口简单 只要学生明确 的涵义是什么 即李明一年内参加考试的次数 这取决于李明在第几次能通过考试 明确了这一点 就能轻松求出相应的概率 写出分布列 作为第二问 则需要考生理解李明领到驾照意味着他在四次内通过了考试 可分四种情况研究 而各次通过考试是互斥的 利用对立事件的概率关系能比较简单的计算出相应事件的概率 出错的主要原因一是对事件理解不周 不明白考试次数与领到驾照这些事件的真实背景 因而无从答题 这也是目前考生应考中存在的最大障碍 首先还是要回归教材 让学生切实理解相关概念的意义 要区分清楚各种事件类型 进一步落实训练各类随机事件的概率求法 关于概率算法 应以等可能事件概率为基础 以互斥 对立 独立事件的概率为主导加强演练 其次是关注一些重要分布类型 二项分布 几何分布 正态分布等 从事件背景 描述方法和数量结构特征上掌握其分布规律 并进行灵活运用 第三是加强实际应用 提高学生的综合运用能力与实际应用能力 建议 求随机变量 的期望 1 某陶瓷厂准备烧制甲 乙 丙三件不同的工艺品 制制作过程必须先后经过两次烧制 当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制 两次烧制过程相互独立 根据该厂现有的技术水平 经过第一次烧制后 甲 乙 丙三件产品合格的概率依次为0 5 0 6 0 4 经过第二次烧制后 甲 乙 丙三件产品合格的概率依次为0 6 0 5 0 75 1 求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率 2 经过前后两次烧制后 合格工艺品的个数为 求随机变量 的期望 2 箱中装有大小相同的黄 白两种颜色的乒乓球 黄 白乒乓球的数量比为s t 现从箱中每次任意取出一个球 若取出的是黄球则结束 若取出的是白球 则将其放回箱中 并继续从箱中任意取出一个球 但取球的次数最多不超过n次 以 表示取球结束时已取到白球的次数 求 的分布列 求 的数学期望 现行教材立体几何有两个版本 a b 我省大多采用的是b版本 含空间向量 考纲的主要要求是 理解平面的基本性质 掌握线 面的各种位置关系及垂直 平行的判定和性质 并能求相应的角和距离 理解空间向量与其坐标的概念 掌握空间向量的基本运算及其性质并用于解决实际问题 了解多面体的相关概念 掌握棱柱 棱锥和球的有关性质及体 面积计算 3 立体几何 立体几何是高考的必考大题 其主要考查目的是学生的逻辑推理能力和空间想象能力 考查形式一般是通过多面体 棱柱与棱锥 为载体 考查线面结构关系以及相应的角和距离 通常情况下传统方法和向量方法都能适用 在我省历年的考题中 柱体与椎体基本处于交替出现状态 深入分析会发现 无论何种载体 与长方体和正方体这两个基本图形的联系都非常密切 试题背景大多来自于这两个基本图形 通过传统的做 证 算三步曲 解决一定的线面结构关系后 提出一个变化形式进行动态的探究 这已经成了我省高考数学的一道固定的风景线 也是我省高考数学题中的一大亮点 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 平面 求证 若直线ac与平面a1bc所成的角为 二面角的大小为 试判断的大小关系 并予以证明 命题者独具匠心 发现只要底面保持ab bc 两角的这种大小关系是不变的 从而简化图形之后就产生了本题 本题由教材中长方体对角面的性质改造而成 其原型为 在长方体abcd a1b1c1d1中 实际上 若将图形进一步简化为三棱锥a1 abc中 当b在以ac为直径的圆周上运动时 两角的这种大小关系是不变的 基于这样一种在动态变化过程中来寻找确定性问题的探究 考查学生的理性思维 就是本题的立意之本 如图 在三棱锥v abc中 vc 底面abc ac bc d是ab的中点 且ac bc a vdc 求证 平面vab 平面vcd 当角 变化时 求直线bc与平面vab所成的角的取值范围 建议 1 强调对基础概念 空间形体 和原理的理解和识别 准确把握其图形 符号等语言间的联系和转化 2 强化模式化训练 三垂线定理模式 垂面模式 向量模式等 厘清各类算法结构和运用方法 提高学生的运算速度和运算能力 3 加强对图形结构的变形重组 深入剖析等问题的研究训练 提高对空间的识别 探究能力 促进学生空间想象力的深入发展 4 规范答题训练 强调逻辑意识 促进几何思维和表述的逻辑性 条理性发展 5 注重向量 三角及平面几何及代数函数 方程等相关知识在立几中的深透和运用 提高学生空间几何的综合应用能力 如图为一张半径为r的圆形纸片 o为圆心 ab cd是两条互相垂直的直径 ef是一条与ab cd均不重合的动直径 记 bof 弦cf交ab于g 现将纸片沿ab折叠成一个直二面角如图 分别连ec ef cf ec ef的中点分别为m n 1 求证 平面omn 平面cfg 2 当 变化时 求证 m n的距离为定值 并求出该定值 4 解析几何 考纲主要要求为 理解直线的倾斜角和斜率的概念 能熟练地求出直线方程 掌握两条直线平行与垂直的条件 两条直线所成的角和点到直线的距离 能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系 了解线性规划的意义 并会简单的应用 掌握圆 椭圆 双曲线 抛物线的定义 标准方程 参数方程 和简单几何性质 我省解析几何大题的考查可谓是热闹非凡 内涵丰富 与圆情有独钟 命题主要依托直线与圆 椭圆 双曲线和抛物线的关系 将其融为一个整体 涉及轨迹方程 参数 定点定值及最值等问题来考查考生的解析几何思想和综合分析能力 各年考题均与圆有关 04年考查直线和双曲线的关系 探究以双曲线弦为直径的圆过其焦点时的参数值 05年求椭圆的参数范围 探究椭圆上相应点的共圆问题 06年求椭圆方程 判定椭圆的一个顶点在某个特定园内 07年以直线 抛物线和圆考查解析几何的最值定值问题 08年以圆为背景 考查双曲线方程 求参数范围 07年理科19题 在平面直角坐标系xoy中 过定点c 0 p 作直线与抛物线x2 2py p 0 相交于a b两点 i 若点n是点c关于坐标原点o的对称点 求 anb面积的最小值 ii 是否存在垂直于y轴的直线l 使得l被以ac为直径的圆截得的弦长恒为定值 若存在 求出l的方程 若不存在 说明理由 本题设置背景取材与教材中抛物线焦点弦的一个重要性质稍加调整而成 第一问以直线的变化为出发点 将随之而成的三角形为命题元素 求其面积的最小值 第二问的本质是利用抛物线的轴对称性和定点弦的端点在抛物线上运动所产生的变化状态 构造出以ac bc为直径两个动态圆 再利用抛物线的通径所在直线与这两个圆所截得的弦长的不变性设计而成 本题的设计动静结合 将最值与定值问题巧妙结合 突出了坐标几何思想和解析法的精髓 在注重考查通性通法的同时 不失考查解析几何常用的运算技巧和多种思维分析能力和严谨的探索推理能力 充分体现了以基本知识交汇为起点 以思想方法交织为纽带 以思维能力交叉为核心充分考查各种能力的命题指向 考生的主要问题表现1 在对图形的观察理解不当 忽略a b的坐标符号 将c误认为焦点等 对图像的基本特征把握不准 2 方法的选择不当 直线方程的形式 面积的表达方式等 3 运算出错 这是解析几何的顽疾 08年的考题部分沿用了这一设计思路 将圆用作了试题的背景 抛物线换成了双曲线 并利用控制三角形的面积来控制参数范围 设计理念一脉相承 08年理科19题 如图 在以点o为圆心 ab 4为直径的半圆adb中 od ab p是半圆弧上一点 pob 30 曲线c是满足为定值的动点m的轨迹 且曲线c过点p 建立适当的平面直角坐标系 求曲线c的方程 设过点d的直线l与曲线c相交于不同的两点e f 若 oef的面积不小于2 求直线l斜率的取值范围 进一步落实对几个二次曲线的理解 要让学生将其数量关系 图形结构及相关性质融为一体 加强运算训练 突出方程思想 提高运算技能 有关弦长公式 韦达定理 判别式等常用结构的应用要得心应手 了然于心 加强几何分析 提高学生的平面几何应用能力 如三角形中的相关性质应用 共圆问题研究 圆的性质应用等 这是与新课标接轨的要求 重视向量 三角在解析几何中的深透 提高综合应用知识 灵活选择方法的能力 近几年 三角向量在解析几何中的应用在全国各地的试题中是异彩纷呈 虽然湖北考题中尚未出现直接用向量语言表述的解几命题 但很多考题中 一些问题主动用向量方法来解会比单纯用解几方法更灵巧一些 建议 已知点a 0 1 b 0 1 p为一个动点 且直线pa pb的斜率之积为 i 求动点p的轨迹c的方程 ii 设q 2 0 过点 1 0 的直线l交c于m n两点 的面积记为s 若对满足条件的任意直线l 不等式的最小值 5 函数 导数与不等式 了解映射的概念 理解函数的概念 了解单调性 奇偶性的概念 并掌握其判断方法 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系 会求一些简单函数的反函数 理解分数指数幂 对数的概念 掌握有理指数幂和对数的运算性质 掌握指数函数 对数函数的概念 图像和性质 能够运用函数的性质 指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题 理解不等式的性质及其证明 掌握两个 不扩展到三个 正数的均值不等式 并会简单的应用 掌握分析法 综合法 比较法证明简单的不等式 掌握简单不等式的解法 理解不等式 a b a b a b 5 函数 导数与不等式 了解导数概念的某些实际背景 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义 理解导函数的概念 熟记基本导数公式 c xm m为有理数 sinx cosx ex ax lnx logax的导数 掌握两个函数和 差 积 商的求导法则 了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数 理解可导函数的单调性与其导数的关系 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 导数在极值点两侧异号 会求一些实际问题 一般指单峰函数 的最大值和最小值 根据考纲要求 湖北解答题一般都是以几个重要函数 二次 三次 指数与对数函数 为背景 着力考查函数的相关性质和函数思想方法 04年文科考一 二 三次函数 利用导数研究函数性质作为压轴题 理科没有独立的函数大题 05年文理同题 以向量的数量积为入口 利用导数研究三次函数的单调性 求参数范围 为大题的第一题 06年文科依然以三次函数为背景 考查导数的应用 理科则以二次函数 指数函数为载体 通过不等式能成立 利用导数研究函数的单调性 极值等问题 07年文科以应用题方式出现 商品销售利润 仍考查利用导数求三次函数的最值 理科则选用了以二次函数和对数函数为载体 利用导数研究函数性质并证明不等式 08年文理两科都以应用题形式出现 重新让传统的函数 不等式应用题回到高考试题中来 具有发扬传统 返璞归真的导向作用 文科以广告版面设计为模型 考查利用重要不等式求最值的应用 理科以水库蓄水为背景 以二次函数 指数函数的分段形式为载体 考查不等式的解法和导数求最值的应用 这些试题的共同特点是所选函数模型基本固定 文科围绕二次 三次函数考 理科围绕二次函数 指数函数和对数函数考 紧扣大纲要求 重点突出 着力考查函数的性质 利用导数研究函数的方法以及函数思想和函数的应用等 问题通常以单调性 最值 范围 恒成立 能成立等形式出现 考查学生的变量思想 代数运算能力和逻辑推理能力 这是高中代数教学的重点和核心 有利于当前中学教学 复习和备考 本题用到了两个最基本的函数模型 第一问利用导数与切线的联系 通过二次曲线与对数曲线在相切的条件下 求出a b的函数关系 再利用导数求其最值 第二问设计结构简练 几何背景清晰 考查利用导数证明不等式的能力 考生若能领悟到切点就是公共点 并意识到就不难想到将两个函数合并起来考虑 采用导数工具来完成解答 切实让学生理解函数的概念 掌握好各类函数的结构特征和基本性质 特别是重点函数要重点掌握 并能将其用于解决具体问题之中 要让学生形成函数思想 真正树立函数观念和变量意识 并主动与方程 不等式进行联系和沟通 让他们能够在具体问题中能顺利实施有效的化归与转化 重视逻辑推理 加强逻辑命题的结构分析和命题转化训练 如当且仅当 存在 恒成立 能成立等语言涵义理解 加强实际运用 提高综合应用能力 建议 已知函数 i 当a e时 求f x 的极值 ii 若f x 在区间 3 上是增函数 求实数a的取值范围 iii 当a 4时 若对任意的正整数n 在区间内总存在m 1个实数a1 a2 am am 1使得不等式成立 求实数m的最大值 6 数列与不等式 考纲要求理解数列的概念 了解数列通项公式的意义 了解递推公式 并能根据递推公式写出数列的前几项 理解等差数列 等比数列的概念 掌握等差数列 等比数列的通项公式与前n项和公式 并能解决简单的实际问题 理解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 了解数列极限和函数极限的概念 掌握极限的四则运算法则 会求某些数列与函数的极限 数列是进入大学后进一步学习高等数学的重要基础 其观察 归纳 推理证明等一系列思想方法不仅是高中数学的一个核心内容 也是考生进入大学学习所必备的数学素养 加上数列与函数 不等式有着密切的联系 因此 湖北高考试题中 除了考查等差 等比两个重要数列的常规结构 通项 递推 求和等 外 更多的注重了对其思想方法的考查和对数列综合运用的考查 且多数情况下 理科题都是将其与不等式联系起来 放在压轴题的位置上 06年除外 对与选拔优秀人才起到了较好的把关作用 命题既涉及到数列的一般结构和基本原理 也深透着不少高等数学中的重要方法 如04 05年的极限思想和方法 07年的贝努利不等式 04年理科题压轴题 利用等式构造递推关系 考极限概念 构造新数列 考查恒等式和不等式的证明 05年理科题压轴题 利用不等式构造递推关系 考查极限概念 探究不等式成立条件 06年理科第17题 通过二次函数及其导数建立sn与an的关系 求an 构造新数列探究不等式恒成立的条件 07年理科题压轴题 归纳法证明不等式 证明不等式 探究恒等式条件 08年理科题压轴题 构造递推关系证明不成等比数列 探究数列成等比的条件 利用等比数列前n项和 探究不等式恒成立的条件 08年理科考题 已知数列 an 和 bn 满足 其中为实数 n为正整数 对任意实数 证明数列 an 不是等比数列 试判断数列 bn 是否为等比数列 并证明你的结论 设0 a b 为数列 bn 的前n项和 是否存在实数 使得对任意正整数n 都有 若存在 求的取值范围 若不存在 说明理由 第一问考查学生对否定命题的理解及否定方法 入口简单 取特殊值加以否定即可 也体现了数列中特殊与一般的思维方法 第二问通过对等比数列结构的探究 考查学生恒等变形与分类讨论的能力 第三问设计等比数列求和 并要利用函数的思想方法 对不等式进行适当放缩 转化变形 以求出数列的最值 1 首先还是要夯实基础 将两个特殊数列 等差 等比 的结构 性质掌握透彻 以等差数列与等比数列为重点 认真做好基础复习 强化基础题型训练 2 认真掌握好处理数列问题的常用方法 如累和累积 错位相消 归纳递推等核心思想方法要反复训练 以期达到一定的熟练程度 并同时重视数列与其它知识间的联系 逐步提高自己的综合能力和应试水平 3 深刻领会函数方程 整体代换 分类讨论 归纳转化