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导数的概念 问题2高台跳水 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 米 与起跳后的时间t 单位 秒 存在函数关系h t 4 9t2 6 5t 10 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态 瞬时速度 在高台跳水运动中 平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态 又如何求瞬时速度呢 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 如何求 比如 t 2时的 瞬时速度 通过列表看出平均速度的变化趋势 当 t趋近于0时 平均速度有什么变化趋势 瞬时速度 我们用表示 当t 2 t趋近于0时 平均速度趋于确定值 13 1 那么 运动员在某一时刻t0的瞬时速度 局部以匀速代替变速 以平均速度代替瞬时速度 然后通过 取极限 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值 导数的定义 从函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 问题 求函数y 3x2在x 1处的导数 分析 先求 f y f x f 6 x x 2再求再求 应用 例1物体作自由落体运动 运动方程为 其中位移单位是m 时间单位是s g 10m s2 求 1 物体在时间区间 2 2 1 上的平均速度 2 物体在时间区间 2 2 01 上的平均速度 3 物体在t 2 s 时的瞬时速度 分析 解 1 将 t 0 1代入上式 得 2 将 t 0 01代入上式 得 应用 例2将原油精练为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果第x h 时 原油的温度 单位 0c 为f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2 h 和第6 h 时 原由温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 关键是求出 它说明在第2 h 附近 原油温度大约以30c h的速度下降 在第6 h 附近 原油温度大约以50c h的速度上升 应用 例3 质量为 kg的物体 按照s t 3t2 t 4的规律做直线运动 求运动开始后 s时物体的瞬时速度 求运动开始后 s时物体的动能 小结 1求物体运动的瞬时速度 1 求位移增量 s s t t s t 2 求平均速度 3 求极限 1由导数的定义可得求导数的一般步骤 1 求函数的增量 y f x0 t f x
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