数学人教版九年级上册圆中角的证明.doc

课题：24.1.4.圆中角的证明（复习课）【新人教版九年级上册】福州市平潭综合实验区 学校 平潭城南学校 姓名 何瑞明 学情分析 在本课学习之前，学生已经熟悉直线型图形中证明角相等的方法，如对顶角相等，平行线的性质，全等三角形的对应角相等等等。对推理论证的综合法证明格式和“化归”的思想亦有所体会。图形从简单到复杂，论证的结论由不需要辅助线到添加适当的辅助线。但本班学生对证明角相等的方法尚不能灵活转换。几何逻辑推理、空间想象力发展不均衡，几何大题的分析问题、解决问题能力欠缺。但该班学生数学兴趣较为浓厚、大部分学生习惯良好，已初步形成交流合作，互助的学习氛围。综合运用直线型几何性质和与圆有关的性质来解决几何大题，是学生第一次接触，对于解题思路、过程和方法都是陌生的，所以学生要在老师引导下类比解题过程，建构解题的过程。同时重视激发学生勇于探索和合作交流的学习气氛，增强克服困难的勇气，体验成功的乐趣。 根据课程标准、教材内容并结合学生学习特点，确定重点、难点、教学关键点如下： 教学重点： 应用余角性质、圆周角定理及外角的性质定理证明圆中角相等适当添加辅助线，熟练掌握圆中证明角相等的方法. 教学难点： 灵活分析条件并根据条件选择最优的方法. 教学关键点：提高分析问题的能力，用分析法和综合法寻找解题途径： 位置关系推得角的关系特殊位置的角添加适当的辅助线受阻 已知可知 未知需知 角的关系解决问题 通过关键点的教学,可以突出重点,突破难点,达到核心数学能力的发展。 教学目标1理解题意，能根据题意，做出相应几何图形。2掌握常用圆中证角相等的方法.会应用余角性质、圆周角定理及外角的性质定理转换圆中角的关系，从而证明角相等；3能根据题目特征添加适当的辅助线；4学生通过对图形结构特征的观察，对题设和结论的分析，通过说题，提升分析问题的能力，锻炼逻辑思维，提高解题能力. 5在自主探究中，通过合作学习，增强克服困难的勇气，体验成功的乐趣。【设计意图】1.会根据几何语言，作出图形，其实质是理解图形结构特征和角的位置关系。2.能根据题目特征添加适当的辅助线，知道添加依据构造出圆中的基本图形，初步理解构造法。3.通过对题设和结论的分析，通过说题来强化对解题思路的分析，帮助学生树立已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，使学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题化为特殊问题的思考方法提高学生分析问题 、解决问题能力4.变式教学，题目设计巧妙，梯度合理，有一题多解，发展发散思维的灵活性，深刻性，广阔性。教学策略在教学上，采用启发式和支架式教学策略有机相结合，整堂课以问题为思维主线，合理的数学题目、活动为手脚架，借助几何画板，引导学生通过“观察，主动思考，自主探索，适时点拨、归纳”，培养学生用运动联系的观点观察现象，揭示数学本质，渗透数学思想，提高空间想象能力和提高分析问题，解决问题的能力。学法上，采用学生自主、合作、探究性学习相结合。在“动手观察猜想讨论分析探究”过程中，学生主动思考并得出结论，培养归纳，比较、综合分析能力，提高逻辑推理能力。通过合作、交流、学生可以提炼解题思路和方法，知识内化，提高抽象思维能力，培养语言表达能力，提升自信，增加学习数学的兴趣，整个教学环节融基础性、灵活性、实践性、开发性于一体，从而达到数学核心数学能力螺旋式发展。 教学过程活动（一）知识梳理引入：角是常见的平面几何图形，很多综合题都可以化为证明角的相等。今天我们一起来研究圆中角的问题，首先我们一起来回忆一下我们学过的常用的证明角相等的方法（PPT展示）1:相交线及平行线：对顶角相等两直线平行，同位角相等.同角的余角（补角）相等角的平分线分得的两个角相等.2三角形：等腰三角形的两个底角相等； 等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）； 三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和 全等三角形的对应角相等；.3四边形 平行四边形对角相等 菱形的对角线平分一组对角矩形的四角相等，且均为直角.4在我们最近学的圆的知识里有：（学生众说，老师PPT展示圆中证明角相等的办法）【设计意图】 为下面复习作铺垫，并进行知识归类，构建证明角相等知识框架活动（二）深挖教材，转化思想，一题多解例：A、B、C三点在O上，AD是直径， CEAD于点E，CE的延长线交AB于F.（1） 根据题意，补全图形（2）求证：ABC=ACF.图1图2 【问题1】：通过刚才的阅读和画图知道了哪些主要条件？结论又是什么？ 【问题2】谁能帮老师分析下已知条件的可能作用是什么？ 了 【问题3】根据这个结论，要证明两个角的数量关系，我们不妨先从角的位置上先判断这两个角是。？那要证明两个圆周角相等，要先证什么呢？【追问】那这条辅助线的作用是什么？告诉大家你是怎么想到做这条辅助线的？【问题4】那大家仔细观察这个图，这里有没有我们所熟悉的基本图形？师展示基本图形【师板书】解法1的过程作法1（如图3）：延长CF交圆O于MAD是直径，CEAD图3 = ABC=ACF 【设计意图】通过对条件和结论的分析，通过说题，提升学生分析问题的能力。层层设问意在暴露学生的思考过程，教师重在思维引导。受作法1的启发，学生可能还会想到做如下的辅助线 作法2（如图4）：证明：连结CDAD是直径ACD=901+D=90又CEAD图41+ACF=90D=ACF又 弧 AC= 弧 AC B=DABC=ACF作法3（如图5）AD是直径ABD=902+ABC=90CEAD1+ACF=90又 弧CD=弧CD图5 1=2ABC=ACF【问题6】从刚才的作法2和作法3可以看出，哪一步起了最关键的作用？对，是角的转化。把圆周角ABD转化为同弧或等弧所对的圆周角。这也是作辅助线目的所在。除了把圆周角转化为同弧或等弧所对的圆周角，圆周角还可进行怎样的转化？由此你还会想到做怎样的辅助线？作法4（如图6） 证明：延长CF交圆O于MAD是直径，CEAD弧AM=弧ACMOA=AOC弧AM=弧AM 弧AC=弧ACMOA=2MCA图6AOC=2ABCABC=ACF【设计意图】1本题来自课本教材改编，复习在同圆或等圆中，同弧或等弧对的圆周角相等，圆心角相等。综合性校强，通过教师引导，学生较容易提炼出解题思路和方法。作为讲解第一题，让学生感受到再难的题目解题基础也在课本上，确定“以本为本”的学习态度。2重点分析已知条件及可能作用，熟悉圆周角定理，同时进一步体会基本图形的重要性. 提高画图识图能力，初步感悟在圆中证明角该怎么添加辅助线，为什么要这么添加的学生难点辅助线，并体会到可以用逆向思维作为解题途径，进一步感悟转化思想。3通过作图与已知条件的分析，分清条件和结论，联想条件的可能作用，通过对图形结构特征的观察，通过说题，提升分析问题的能力，锻炼逻辑思维，提高解题能力. 【解题小结】： （教师利用几何画板把所有的作法集中在一起，叫学生分分类，并选出自己觉得最简便的方法） 通过例1圆中角的相等的思考与证明，你觉得对你以后解决像这类的问题有何启发？ 证明题的解题流程 看条件：根据已知条件在图形上进行适当的标注，并联想每个条件的可能作用 看结论：分析要证明的结论成立需要先证什么，进而选择具体方法 预判方法是否可行，是否最优，是否有其他解法？【设计意图】通过对不同解法的探究和归纳，让学生明确解题流程，并在一题多解中反思，在反思中归纳方法，形成解题能力 【活动三】课堂练习，寻根究底已知: 如图,O中,ABAC是弦(ABAC), EF分别为 的中点；求证: AMN=ANM.（学生独立思考5分钟后学生思路若受阻时师作如下分析：）【问题1】先由条件上进行分析， 由E是弧的中点你能作何联想？【问题2】再结合图形分析一下题目的结论 ，从角的位置上先判断这两个角是不是也是圆周角，或是圆心角？首先这两个都不是圆周角，既然不是圆周角，我们能不能应用它们是不是某个三角形的内角或外角？由此你觉得，要证AMN=ANM，要先证什么或作何辅助线？ （带着这样的问题，大家在小组里先讨论和交流各自的想法） （师生交流解法1、解法2 学生可能辅助线作法如图所示）【师】上面的解法都是利用了外角和定理和等弧所对圆周角相等来进行角的转换，把一个圆中的角为圆周角之和来证。同样的作法还有很多，像这样。（几何画板展示）【设计意图】 本题既可以应用互余证角等又可以利用外角证角等，多种证明方法的应用增强学生解决问题的能力.方法的选择取决于对已知条件和结论的分析; 充分运用圆中条件进行多种方法辅助线的添加，为学生提供更为广阔的思考空间.进一步巩固前面的方法.活动（四）总结归纳，能力提升，拓展思维这节课我们学习了什么内容？有哪些收获？1圆中证明角相等的基本图形2证明题解题基本程序：条件发散预判评估关注图形形成思路。【设计意图】本节课最终学习目标是逐步深入体验综合题的解题思路和方法。学生还无法掌握综合题的解题思路方法，必须教师进行归纳总结，对学生接下来的学习具有示范，启迪作用。体现“学会学习，为终身学习做准备”的教学理念。板书设计 圆中角的证明解题思路、方法1. 分析2. 添辅助线3. 书写例题的分析 练习的分析基本图形【设计意图】美观、有条理、便于学生观察和思考作业布置设计：已知：如图，ABC的三个顶点都在O上，ADBC于D，E为弧BC的中点则EAD与EAO相等吗？为什么？ 教学设计反思本节课的主要内容是应用余角性质、圆周角定理及外角的性质定理证明圆中角相等适当添加辅助线，熟练掌握圆中证明角相等的方法。结合课堂教学，我个人认为教学目标达成度是比较高的。成功之处：1精选课堂例题和习题，用来自教材同类型，同性质，同特征，相互关联的原题，予以纵横、联系，进行创造性且有效的重组和整合，即能完善学生对“角”的认知结构，又能很好地达到综合题的解题思路、方法的培养。原题的使用也从就题解题上升到思维的提炼，有效发展核心数学能力。2对于例题的教学，力求体现新课程下“教师是课堂教学的组织者，引导者、合作者”，在学生选择诸多方法的过程中，我并没有过多地干预学生的思维，而是引导学生比较哪种方法最