数学人教版九年级下册反比例函数图象中定量问题.doc

反比例函数图象中定量问题武汉二中广雅中学 数学组 余自亮关键词：反比例函数，几何特性，定量，双曲线，矩形，三角形，面积，比值，勾股定理，全等，“数形结合”初中课本中所学反比例函数(k0为常数)从定义角度就十分特殊，因此决定了它们图象在直角坐标系中就具备很重要的特性：图象上任意一点P (x，y)满足xPyP=k为定值，另外，从高中双曲线的定义角度看，反比例函数图象的点到平面上一定点距离与到某定直线的距离之比为定值，从而导致它蕴含许多几何定量特性。下面从几道典型例题入手归纳如下：一、反比例函数的图象与双曲线的关系图（1）高中教材中学习了双曲线的定义，即到两定点距离之差等于定长的点的轨迹是双曲线，或到定点距离与到定直线距离之比为定值的点的轨迹是双曲线，那么初中教材中所学反比例函数的图象与双曲线是否是同一类曲线呢？下面以反比例函数的图象为例进行说明。如图（1）点P（x，y）为已知图象上任一点，则在直线上存在两点F1（，），F2（，）. 因为若点P（x，y）在第一象限，则x0，从而. 所以：,图（2），又因为为定值. 同理若点P（x，y）在第三象限为定值. 即P（x，y）为图象上任意点时都有，所以，反比例函数的图象是双曲线。另外，如图（2）点P（x，y）是函数图象上任一点，则存在定点F（，），定直线l为，因为，且点P到直线l的距离，所以为定值，即函数的图象为双曲线。因此由上述说明不难得出初中所学反比例函数就是高中圆锥曲线中的等轴双曲线，从而我们可利用双曲线的特性解决，反比例函数的相关应用问题，使我们能站在更高的角度思考问题，寻找解决问题的有效方法。图（3）二、反比例系数k的几何意义及应用如图（3）所示，过反比例函数图象上任意一点P作x轴，y轴的垂线PM，PN，垂足为M，N，连OP，则有，。纵观近几年的中考试题，经常出现利用以上性质的题目。灵活运用k的几何意义并利用“数形结合”的思想很多题目就迎忍而解。图（4）例1：如图（4），在的图象上有三点A、B、C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两垂线与x轴、y轴围成矩形面积分别为SA、SB、SC，则正确的是（ ） ASASBSC BSASBSC CSASCSB DSA=SB=SC解析：由反比例函数k的几何意义可知，SA=1，SB=1，SC=1，SA=SB=SC ，选D.图（5）例2：如图（5），如果过原点直线与的图象交于A、B两点，过点A作ACy轴于C，当点A在双曲线上运动时，BOC的面积是否变化？不变，请求值.解析：双曲线关于原点对称，.又由k的几何意义得为定值.例3：如图（6），点P是双曲线(x0)上一动点，PQx轴交双曲线(x0)于Q，分别过点P、Q作PMx轴，QNx轴，则点P运动时矩形PMNQ的面积为 4 .解析：图（6）本题利用两个反比例系数的几何意义即解。图（7）例4：如图（7），已知双曲线上两点A、B，且xA=1，xB=2，求AOB的面积.解析：先求得A (1，2)，B (2，1). 分别过A、B作ADx轴，BCx轴，反比例系数k的几何意义，将三角形AOB的面积转化为四边形ABCD的面积 即证：.图（8）延伸：如图（8），两反比例函数和在第一象限内图象依次为C1和C2，设动点P在C1上，PCx轴于C，交C2于A，PDy轴于D，交C2于B，则四边形PAOB的面积是 4 .归纳：如图（912）一般结论：图（11）图（10）图（9）（1） （2）图（12） （3）三、反比例函数定义的几何特性（1）反比例函数的图象上任意两点A (x1，y1)，B (x2，y2)，则.例5：如图（13），反比例函数图象经过矩形ABCO的边AB的中点，交BC边于F，连EF、OE、OF，则OEF的面积是.图（13）解析：过F作FMx轴于F. 设E (2a，b)，则yF=2b. 又，xF=a，F (a，2b)，.图（14）（2）例6：如图（14），P为双曲线上一动点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足为M、N，直线y=x+b或y=x+b与直线PM、PN分别交于点C、D，则ADBC的值由反比例系数k确定，且ADBC= 2| k | .解析：设P (m，n)，过点C作CCy轴，过D作DDx轴，则，ADBC=2 | mn |=2| k |.延伸：直线AB可以为任意直线，则ADBC=. （设直线AB与x轴夹角为）（3）例7：如图（15），直线AB交双曲线于C、D，则 AC=BD .图(16)图(15)解析：设直线AB为y=mx+n，且C (x1，y1)，D (x2，y2)，则， 两根为x1，x2，再过点C作CMx轴，过点D作DNy轴，AM=DN，则ACMDNB，AC=BD或（如图(16)AC=BD仍然成立）.图（17）（4）例8：如图（17），点P为双曲线上一动点，PAx轴，PBy轴，PA、PB分别交y轴和x轴于C、D，点A、B都在双曲线上，连AB交x轴，y轴于M、N，连CD则 CDAB且AM=BN .解析：设A (x1，y1)，B (x2，y2)，则x1y1=x2y2. 又PC=x2，PD=y1，AC=x1，BD=y2，CDAB，AMDC和BDCN，AMCDBN.四、双曲线的几何定义特性图（18）例9：如图（18），点P是反比例函数上一动点，F (2，2)，直线l解析式为y=x+b，连PF并过点P作PMl于点M，问是否存在一实数b，使为定值，若存在，求这个定值，若不存在，请说明理由.解析：存在b=2，且. 设P (x，y)，则xy=2，由勾股定理得，.当b=2时，为定值