高中数学第一章数1.3.2余弦函数正切函数的图象与性质第2课时学案.docx

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质第二课时正切函数的图象与性质基础知识基本能力1理解正切函数的性质(重点)2了解正切函数的周期性(易混点)1会求正切函数的定义域、值域及周期(重点)2会用函数的图象和性质解决复杂的综合问题(重点、难点)函数ytan x的图象与性质函数ytan x图象定义域值域实数集R周期奇偶性奇函数单调性在每一个开区间(kZ)内都是增函数名师点拨对于正切函数的一些相关性质不能由正弦、余弦函数的结论推广得到，需论证后加以应用，例如，y|sin x|的周期是ysin x的周期的一半，而y|tan x|与ytan x的周期却相同，均为.【自主测试1】函数f(x)tan的单调增区间为()A，kZB(k，(k1)，kZC，kZD，kZ解析：令kxk(kZ)，解得函数f(x)的单调增区间为kxk(kZ)答案：C【自主测试2】函数y的定义域是_解析：要使函数y有意义，则有即xk，且xk(kZ)故函数y的定义域为.答案：1正切函数与正弦函数、余弦函数的比较剖析：正切函数ytan x，xk，kZ，其定义域不是R，又正切函数与正弦函数、余弦函数对应法则不同，因此一些性质与正弦函数、余弦函数的性质有了较大的差别如正弦函数、余弦函数是有界函数，而正切函数不是有界函数；正弦函数、余弦函数是连续函数，反映在图象上是连续无间断点，而正切函数在R上不连续，它有无数条渐近线xk，kZ，图象被这些渐近线分隔开来；正弦函数、余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数在每一个区间(kZ)上都是增函数它们也存在大量的共性：如均为周期函数，且对yAtan(x)(0)而言，T，ytan x是奇函数，它的图象既可以类似地用正切线的几何方法作图，又可以用类似于“五点法”的“三点两线法”作简图，这里三个点为(k，0)，两线为直线xk(kZ)，直线xk(kZ)，作出这三个点和这两条渐近线，便可得到ytan x在一个周期上的简图正弦函数、余弦函数与正切函数都是中心对称图形(注意正弦、余弦函数同时也是轴对称图形)2教材中的“思考与讨论”正切函数在整个定义域内都是增函数吗？剖析：正切函数在整个定义域内不是增函数，可取特殊值来说明例如取x1，x2，显然x1x2，但y1tan1，y2tan，y1y2，不符合增函数的定义题型一 求函数的定义域【例题1】求函数ylg(1tan x)的定义域解：由题意得即1tan x1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是.又因为ytan x的周期为，所以所求x的范围是(kZ)，即此函数的定义域为(kZ)反思求三角函数式的定义域，可转化为解三角函数的不等式，利用三角函数的图象直观地求得解集题型二 求函数的值域或最值【例题2】(1)求ytan2x4tan x1的值域；(2)若x，yktan的值总不大于零，求实数k的取值范围分析：(1)设ttan x，则转化为关于t的二次函数求最值(2)由y0得ktan，因此，只要求出tan的范围即可解：(1)设ttan x，则yt24t1(t2)255，故ytan2x4tan x1的值域为5，)(2)由yktan0，得ktantan.x，2x.由正切函数的单调性得0tan.故要使ktan恒成立，只要k0.即实数k的取值范围为(，0反思(1)与二次函数有关的三角函数问题，常常使用“换元法”(2)解决恒成立问题常常使用“分离常数法”题型三 利用函数图象研究性质【例题3】画出函数y|tan x|的图象，并根据图象判断其奇偶性、单调区间、周期性分析：解决本题的关键是画出y|tan x|的图象，由函数图象研究其性质解：y|tan x|的图象如下图所示由图可得，函数y|tan x|是偶函数，单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)，周期为.反思(1)作函数y|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：保留函数yf(x)图象在x轴上方的部分；将函数yf(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，扩展到定义域上即可题型四 易错辨析【例题4】若Ax|tan x0，Bx|0，试求AB错解：由0，得即解得所以tan x.所以B.所以AB.由tan x，解得xk，kZ.所以AB.错因分析：误认为正切函数是R上的增函数，而忽视了其周期性及定义域等性质，正切函数应该是在每一个开区间(kZ)上是增函数正解：因为0，所以解得tan x.所以B.故AB.而正切函数在每一个开区间(kZ)上是增函数，所以tan x的解集为.故AB.1函数ytan的定义域是()A BC D答案：D2下列函数中，以为周期且在区间上为增函数的是()Aysin Bysin xCytan x Dycos 2x答案：D3直线ya(a为常数)与正切曲线ytan x(是常数且0)相交，则相邻两交点间的距离是()A BC D与a的值有关答案：C4函数ytan x，x的值域是_答案：0,15函数ytan的单调增区间是_解析：由题意得kk，kZ，解得2kx2k，kZ.答案：，kZ6不