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文档简介
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算课堂导学三点剖析 一、弧度制的定义【例1】 如图所示,圆心角AOC所对的弧的长l分别为r,2r,2r,4r,如果圆心角表示正角,它的弧度数分别是多少?如果圆心角表示负角,它的弧度数又分别是多少?思路分析:从圆心角与弧度的关系出发,结合正角、负角的概念,分别求出各角的弧度数.当圆心角AOC表示正角时,弧长l为r,2r,2r,4r的圆心角AOC的弧度数分别是1,2,2,4.当圆心角AOC表示负角时,弧长l为r,2r ,2r,4r的圆心角AOC的弧度数分别是-1,-2,-2,-4.温馨提示(1)角的大小与圆的半径长短无关,仅与弧长与半径的比值有关;(2)一般地,正角的弧度数是一个正数.负角的弧度数是一个负数.零角的弧度数是零.各个击破类题演练 1下列诸命题中,真命题是( )A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位解析:本题考查弧度制下,角的度量单位:1弧度的概念.根据一弧度的定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各选项,可知D为真命题.答案:D变式提升 1下列四个命题中,不正确的一个是( )A.半圆所对的圆心角是 radB.周角的大小等于2C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析:本题考查弧度制下,角的度量单位:1弧度的概念.根据一弧度的定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各选项,可知D不正确.答案:D 二、角度与弧度之间的互化(1)将角度化成弧度:360=2 rad;180= rad;1=rad0.017 45 rad.(2)将弧度化成角度:2 rad=360; rad=180;1 rad=()57.30=5718.(3)弧度制和角度制的互化是本节的重点,也是难点.互化的实质是一种比例关系:=,将要求的部分解出,再添上相应的单位即可.需记住特殊角的弧度数.(见教材,本书略)【例2】 -300化为弧度是( )A. B. C. D.思路分析:依据1 =弧度进行转换.解析:1= rad,-300= rad.应选B.答案:B类题演练 2(1)将11230 化为弧度;(2)将 rad化为度.解:(1)1= rad,11230=112.5 rad= rad.(2)1 rad=(), rad=-( rad)=-75.温馨提示 弧度与角度互化,要牢记 rad=180.变式提升 2时钟经过一小时,时针转过了( )A. rad B. radC. rad D. rad解析:由于时钟经过12小时转了-2 rad,所以时钟经过1小时转了 rad.答案:B【例3】 设角1=-570,2=750,1=,2=.(1)将1,2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限;(2)将1,2用角度制表示出来,并在-7200之间找出它们有相同终边的所有角.思路分析:运用弧度与角度的互化公式,用待定系数法去找一个k,1,2化为2k+的形式,而1,2化为k360+的形式(kZ).解:(1)180= rad,-570=-570=.1=-22+.同理,2=22+.1在第二象限,2在第一象限.(2)1=()=108,设=k360+1(kZ).由-7200,-720k360+1080.k=-2或k=-1.在-7200间与1有相同终边的角是-612和-252.同理,2=-360-60=-420,且在-7200间与2有相同的终边的角是-420和-60.类题演练 3 用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分的角的集合.(如图所示)解:先找准两个边界所对应的在0360范围内的角 .边界在第二象限对应的角为120,边界在第三象限对应的角是225.如上图所示,以OB为终边的角225可看成-135,化为弧度.而120=.终边落在阴影部分的角的集合为|2k2k+,kZ.温馨提示 (1)回答问题要弄清角的大小,防止出现矛盾不等式而造成混乱. (2)在表示角的集合时,一定要使用统一单位(统一制度).变式提升 3若集合A=|=-,kZ,B=|-,求AB.解:由交集定义,知-,即-1-0),当为多少弧度时,该扇形有最大面积?解:(1)设弧长为l,弓形面积为S弓形.=60=,R=10 cm,l=|R= cm.S弓形=S扇形-S=lR-R2sin=10-102sin60=50(-) cm2.(2)扇形周长C=2R+l=2R+|R,R=.S扇=R2=(
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