高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式一课堂导学案.docx

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（一）课堂导学三点剖析1.二倍角公式的应用【例1】（1）求coscos的值；（2）求cos20cos40cos80；（3）求的值.解：（1）coscos=cossin=2cossin=sin=.（2）原式=（3）=温馨提示 对于这类给角求值的问题，应首先观察题目中各角之间的关系.（1）根据、两角互余，将cos换成sin，再配以系数2即可逆用二倍角公式求值；（2）由于各角之间具有倍数关系，40=220，80=240，故分子分母同乘以sin20，便可逆用二倍角公式求值；（3）由结构特点看应先通分，分子正好逆用两角差的正弦公式，分母逆用二倍角公式，约分后即可求值.2.公式的变形应用【例2】（1）化简：；（2）设（，2），化简：.思路分析：（1）1+sin8=sin24+2sin4cos4+cos24=（sin4+cos4）2，2（1+cos8）=4cos24.（2）连续运用公式：1+cos2=2cos2.解：（1）原式=2|sin4+cos4|+2|cos4|.因为4（，），所以sin40，cos40.故原式=-2（sin4+cos4）-2cos4=-2sin4-4cos4=-2（sin4+2cos4）.（2）因为（，2），所以cos0，cos0.故，原式=.温馨提示（1）带有根号的化简问题，首先要去掉根号，想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的解题技巧：“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形：1sin=（sincos）2，1+cos=2cos2.（2）脱掉根号时要注意符号问题，如，利用所在的象限，判断cos的正负，然后去掉绝对值符号.3.正确理解二倍角公式中“二倍”的含义，灵活运用公式【例3】 设sin（-x）=，0x，求的值.思路分析：本题主要结合倍角公式考查给值求值问题.要抓住已知条件中角和被求式中角的关系，（+x）与（-x）互余，2x与-x的2倍角互余，即cos2x=sin（2x）=sin2（x）.解法1：0x，0-x.cos（-x）=又cos（+x）=sin（-x）=，原式=2cos（-x）=.解法2：cos2x=cos2x-sin2x=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=sin（x+）cos（x+）=2sin（x+）cos（x+），原式=2sin（x+）=2cos（-x）由解法1可知cos（-x）=，原式=2=.温馨提示（1）在给值求值问题中，应该首先找出已知中的角和所求式中角的联系，这是我们解决三角函数问题的常规思路，概括为“先角后函数”.（2）对于二倍角应该有广义上的理解，4是2的2倍，3是的2倍，2x是x的2倍.各个击破类题演练1求下列各式的值：（1）（cos-sin）（cos+sin）；（2）-cos2；（3）+cos215；（4）tan6730-tan2230.解：（1）原式=cos2-sin2=cos=；（2）原式=-（2cos2-1）=-cos=；（3）原式=（2cos215-1）=cos30=；（4）原式=tan6730-tan(90-6730)=tan6730-=变式提升1化简：sin10sin30sin50sin70.解：原式=cos80cos40cos20=.类题演练2化简：（1）；（0）（2） （0，）；解：（1）原式=|sin-cos|.0，sincos，sin-cos0.原式=-（sin-cos）=cos-sin.（2）原式=|sin+cos|-|sin-cos|0，0.当0时，cossin0，此时原式=（sin+cos）-（cos-sin）=2sin，当时，sincos0，此时原式=（sin+cos）-（sin-cos）=2cos.变式提升2化简：.解法1：原式=cot2.解法2：原式=cot2.类题演练3(2005江苏，10)若sin（-）=，则cos（+2）等于（ ）A. B. C. D.解析：cos（+2）=2cos2（+）-1.（-）+（+）=，cos（+）=sin（-）=.cos（+2）=2（）2-1=.答案：A变式提升3若cos（+x）=，x.求的值.解法1：cos（+x）=，x，+x2，则sin（+x）=-.从而cosx=cos（+x）-=cos（+x）cos+sin（+x）sin=+（-）=，sinx=，tanx=7.故原式=.解法2：原式=sin2x