高中数学第二章2.2向量的分解与向量的坐标2.2.1平面向量基本定理示范教案.docx

2.2.1 平面向量基本定理示范教案教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示这是引进平面向量基本定理的一个原因教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明教学时要注意，形式化证明可以省略，特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解，但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式特别强调直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆三维目标1通过探究活动，推导并理解平面向量基本定理2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达，并通过例题的探究，掌握直线的向量表达式和中点公式重点难点教学重点：平面向量基本定理和直线的向量表达式教学难点：平面向量基本定理的灵活运用课时安排1课时导入新课思路1.在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成，用课件给出图象演示和讲解通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解，对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课 (1)给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e12e2、e12e2.平面内的任一向量是否都可以用形如1e12e2的向量表示呢？(2)如图1(1)，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，你能通过作图探究a与e1、e2之间的关系吗？(1)(2)图1活动：如图1(2)，在平面内任取一点O，作e1，e2，a.过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数1、2，使得1e1，2e2.由于，所以a1e12e2.也就是说，任一向量a都可以表示成1e12e2的形式或先让学生计算特例，从感性猜想入手如图2，e1，e2是两个不平行的向量，容易看出2e13e2，e14e2，4e14e2，2e15e2.图2由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来由此可得：平面向量基本定理：如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.教师强调：我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2，a1e1a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式；基底不唯一，关键是不共线；由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；基底给定时，分解形式唯一接下来教师可引导学对该定理给出证明证明：在平面内任取一点O(如图3)，作e1，e2，a.图3由于e1与e2不平行，可以进行如下作图：过点A作OE2的平行(或重合)直线，交直线OE1于点M，过点A作OE1的平行(或重合)直线，交直线OE2于点N，于是依据平面向量基本定理，存在两个唯一的实数a1，a2，分别有a1e1，a2e2，所以aa1e1a2e2.证明表示的唯一性：如果存在另一对实数x，y使xe1ye2，则a1e1a2e2xe1ye2，即(xa1)e1(ya2)e20.由于e1与e2不平行，如果xa1，ya2中有一个不等于0，不妨设ya20，则e2e1，由平面向量基本定理，得e1与e2平行这与假设矛盾，因此xa10，ya20，即xa1，ya2.讨论结果：(1)(2)略思路1例 1如图4，ABCD中，a，b，H、M分别是AD、DC的中点，F使BFBC，以a，b为基底分解向量与.图4解：由H、M、F所在位置，有ba.ab.点评：以a、b为基底分解向量与，实为用a与b表示向量与.变式训练已知ABCD的两条对角线相交于点M，设a，b.试用基底a，b表示，和(图5)图5解：因为ab，ab，(ab)ab，(ab)ab，ab，ab.例 2 如图6，质量为10 kg的物体A沿倾斜角为30的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力(g10 m/s2)图6解：物体受到三个力：重力，斜面支持力，滑动摩擦力.把重力分解为平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力.因为物体做匀速运动，所以，.因为|10(kg)10(m/s2)100(N)，|sin3010050(N)，|cos3010050(N)，所以|50(N)，|50(N)答：物体所受滑动摩擦力大小为50 N，方向沿斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50 N，方向与斜面垂直向上例 3下面三种说法：一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；零向量不可以作为基底中的向量，其中正确的说法是()A B C D活动：这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解，教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底解析：平面内向量的基底是不唯一的在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；而零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可作为基底中的向量综上所述，正确答案：B点评：本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.变式训练如图7，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分、(不包括边界)若ab，且点P落在第部分，则实数a、b满足 ()图7Aa0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0，b0.答案：B思路2例 1如图8，M是ABC内一点，且满足条件230，延长CM交AB于N，令a，试用a表示.图8活动：平面向量基本定理是平面向量的重要定理，它是解决平面向量计算问题的重要工具由平面向量基本定理，可得到下面两个推论：推论1：e1与e2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数1、2，使得1e12e20，则120.推论2：e1与e2是同一平面内的两个不共线向量，若存在实数a1，a2，b1，b2，使得aa1e1a2e2b1e1b2e2，则解：，由230，得()2()30.3230.又A、N、B三点共线，C、M、N三点共线，设，3230.(2)(33)0.由于和不共线，.22a.点评：这里选取，作为基底，运用化归思想，把问题归结为1e12e20的形式来解决.变式训练设e1与e2是两个不共线向量，a3e14e2，b2e15e2，若实数、满足ab5e1e2，求、的值解：由题设ab(3e14e2)(2e15e2)(32)e1(45)e2.又ab5e1e2，由平面向量基本定理，知解之，得1，1.例 2如图9，ABC中，AD为ABC边上的中线且AE2EC，求及的值图9活动：教师让学生先仔细分析题意，以明了本题的真正用意，怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化后，结合向量的相等进行求解解：设，.，即，()又()，.又，即()，(1)，.又，.比较，、不共线，解之，得4，.点评：本例中，构造向量在同一基底下的两种不同表达形式，利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组，从而进一步求得结果3已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图10)，求证：对直线l上任意一点P，存在实数t，使关于基底，的分解式为(1t)t. 并且，满足式的点P一定在l上证明：设点P在直线l上，则由平面向量基本定理知，存在实数t，使tt()图10所以tt.所以点P满足等式(1t)t，即有t，即P在l上点评：由本例可知，对直线l上任意一点P，一定存在唯一的实数t满足向量等式；反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应向量等式叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数在中，令t，点M是AB的中点，则()这是线段AB的中点的向量表达式这个公式很重要，应让学生理解并记忆.变式训练过OAB的重心G的直线与边OA、OB分别交于P、Q，设h，k，试证：3.证明：设a，b，OG交AB于D，则()(ab)(图略)(ab)，(ab)kbab，hakb.P、G、Q三点共线，.abhakb.两式相除，得kh3hk，3.1先由学生回顾本节学习的数学知识：平面向量的基本定理，回忆我们是如何探究发现定理的？并通过思路2例3的证明又探究得到了线段AB中点的向量表达式教师点拨学生，在今后的学习中，要继续发扬这种勇于探索、勇于发现的科学精神2教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法，定义法，归纳与类比，数形结合，几何作图等，并把本节所学纳入知识体系中课本本节练习B组2,3.1本节课内容是在上节向量学习的基础上探究到的一个新定理平面向量基本定理教科书首先通过特例验证：对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点，反过来，对平面内的任意向量是否都可以用形如1e12e2的向量表示2教师应该多提出问题，多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题目3应充分借助多媒体进行教学，整节课的教学主线应以学生探究为主，教师给予引导和点拨充分让学生经历分析、探究问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体学生这种经历的实践活动越多，解决问题的方法就越恰当而简捷一、三角形中三条中线共点的证明如图11所示，已知在ABC中，D、E、L分别是BC、CA、AB的中点，设中线AD、BE相交于点P.图11求证：AD、BE、CL三线共点分析：欲证三条中线共点，只需证明C、P、L三点共线证明：设a，b，则b，ab.设m，则m()，(1m)m(1m)am(ba)(1m)amb.又设n，则n()，(1n)n(1n)an(ba)(n)anb.由，得解之，得ab(ab).C、P、L三点共线AD、BE、CL三线共点二、备用习题1如图12所示，已知，用、表示，则等于()图12A. BC D.2已知e1，e2是两非零向量，且|e1|m，|e2|n，若c1e12e2(1，2R)，则|c|的最大值为()A1m2n B1n2m C|1|m|2|n D|1|n|2|m3已知G1、G2分别为A1B1C1与A2B2C2的重心，且e1，e2，e3，则等于()A.(e1e2e3) B