高中数学第二章2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课堂探究学案.docx_第1页
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2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课堂探究探究一向量数量积的坐标运算已知向量的坐标，直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；若向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化【例1】 已知向量ae1e2，b4e13e2，其中e1(1,0)，e2(0,1)(1)试计算ab及|ab|的值；(2)求向量a与b夹角的余弦值解：(1)ae1e2(1,0)(0,1)(1，1)，b4e13e24(1,0)3(0,1)(4,3)，所以ab413(1)1，ab(5,2)，所以|ab|(2)设向量a与b的夹角为x，则cos 探究二 向量的模、夹角的坐标表示1若a(x1，y1)，b(x2，y2)，a0，则向量a与b垂直ab0x1x2y1y202向量垂直的坐标表示x1x2y1y20与向量共线的坐标表示x1y2x2y10很容易混淆，应仔细比较并熟记、当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是ab0，而共线是方向相同或相反【例2】 已知向量a(2，1)，ab10，|ab|，则|b|()A B C20 D40解析：设b(x，y)，由a(2，1)，ab10，可得2xy10ab(2x，1y)，所以|ab|由可得x4，y2所以b(4，2)，|b|答案：A反思 本题是利用公式|a| (其中a(a1，a2)求解【例3】 在ABC中，(2,3)，(1，k)，且ABC的一个内角为直角，求k的值分析：要对ABC的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系解：当A90时，0，所以213k0所以k当B90时，0，(12，k3)(1，k3)，所以2(1)3(k3)0所以k当C90时，0，所以1k(k3)0，所以k因此，当k，或k，或k时，ABC的一个内角为直角探究三 数量积的坐标表示在几何中的应用用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明【例4】 以原点O和点A(5,2)为两个顶点作等腰直角ABO，B为直角顶点，试求的坐标解：设B(x，y)，则(x，y)，(x5，y2)因为ABO是等腰直角三角形，故，且|，所以解得或所以或【例5】 已知a(，1)，b，且存在实数k和t使得xa(t23)b，ykatb，且xy，试求的最小值解：由题意有|a|2，|b|1因为ab10，所以ab因为xy0，所以a(t23)b(katb)0，化简得k，所以(t24t3) (t2)2当t2时，有最小值为反思 本题的关键是注意到ab，以此来化简xy0探究四 易错辨析易错点：因ab0理解不完全而致误【例6】 设平面向量a(2,1)，b(，1)(R)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是()A (2，) B(2，) C D 错解：由a与b的夹角为钝角，得ab0，即21错因分析：ab0a与b的夹角为钝角或平角因此上述解法中需要对结论进行检验，把a与b的夹角为平角的情况舍去正解：ab0(
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