高中数学第二章2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课堂导学案.docx

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课堂导学三点剖析 一、向量数量积的坐标运算若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ab=a1b1+a2b2.【例1】 已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且=5,2=10.(1)求D点的坐标;(2)用、表示.思路分析:求D点坐标要先设出D点的坐标,然后用待定系数法求之.解：(1)设D(x,y),则=(1,2),=(x+1,y),所以=x+1+2y=5,2=(x+1)2+y2=10.联立,解之,得所以D点的坐标为(-2,3)或(2,1).(2)当D点的坐标为(-2,3)时,=(1,2),=(-1,3),=(-2,1),设=m+n,则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3),所以所以m=-1,n=1.所以=-+.当D点的坐标为(2,1)时,设=p+q,则(-2,1)=p(1,2)+q(3,1),所以所以p=1,q=-1.所以=-.综上,当D点的坐标为(-2,3)时,=-+.当D点的坐标为(2,1)时,=-.各个击破类题演练 1设a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45,求实数t的值.思路分析:运用(a+tb)b=|a+tb|b|cos45列出等式,解方程.解:a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,-3+t),(a+tb)b=(4+2t,-3+t)(2,1)=5t+5,|a+tb|=.由(a+tb)b=|a+tb|b|cos45,得5t+5=,即t2+2t-3=0.t=-3或t=1.经检验知t=-3不合题意，舍去，t=1.温馨提示 本题运用向量的坐标运算、模、数量积和一元二次方程等知识，体现了方程思想在解计算题中的重要作用，这是一种常用的解题方法，请同学们务必学会.变式提升 1已知向量a与b同向,b=(1,2),ab=10.(1)求向量a的坐标;(2)若c=(2,-1),求(bc)a.思路分析:因为a与b同向,所以在设出a的向量坐标并求坐标时,要注意同向这个条件.解:(1)a与b同向,可设a=(k,2k)(k0).又ab=10,(k,2k)(1,2)=10k=2.a=(2,4).(2)(bc)a=(1,2)(2,-1)(2,4)=0(2,4)=0. 二、两向量垂直条件的坐标表示设a与b为两个非零向量,且a=(a1,a2),b=(b1,b2),则aba1b1+a2b2=0.【例2】 在ABC中,=(2,3),=(1,k),且ABC为直角三角形,求k的值.思路分析:题目中只给出了ABC为直角三角形,但没有指明哪个角为直角,应分别讨论.解：若A=90,由已知得=0,21+3k=0,解得k=.若B=90,则=0,=-=(1,k)-(2,3)=(-1,k-3),=2(-1)+3(k-3)=0,解得k=.若C=90,则=0.1(-1)+k(k-3)=0,即k2-3k-1=0,解得k=.综上可得k=或k=或k=.类题演练 2已知a=(1,0),b=(1,1),当为何值时,(a+b)a?思路分析:先求出a+b的坐标,然后由垂直的条件列出方程求解.解:a=(1,0),b=(1,1),a+b=(1+,).又a+b与a垂直,1+0=0.=-1.当=-1时,a+b与a垂直.变式提升 2平面上三点A、B、C共线,=(-2,m),=(n,1),=(5,-1)且.求m、n的值.思路分析:解答本题要注意A、B、C三点共线这个条件的运用,即与共线.解:由题意得向量与共线,即(n+2,1-m)与(7,-1-m)共线.解得 三、向量的模、距离和夹角公式1.设a=(a1,a2)，则|a|=.2.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则=(x2-x1,y2-y1)，|=.3.设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则cosa,b=.【例3】 已知a=(-2,-1),b=(,1),若a与b的夹角为钝角,求的取值范围.思路分析：由于两个非零向量a、b的夹角满足0180,所以用cos=去判断分五种情况:cos=1,=0;cos=0,=90;cos=-1,=180;cos0且cos1,为锐角.解:由题意cos=,90180,-1cos0.-10.即即的取值范围是(-,2)(2,+).类题演练 3已知a、b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.思路分析:设出a与b的坐标,运用公式.解:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).|a|=|b|,x12+y12=x22+y22.由|b|=|a-b|,得x1x2+y1y2=(x12+y12).由|a+b|2=2(x12+y12)+2(x12+y12)=3(x12+y12),得|a+b|=.设a与a+b的夹角为,则cos=.=30.变式提升 3如右图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，试用向量法证明.