高中数学第二章2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件示范教案.docx

2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件示范教案教学分析1前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算2引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数，使得ab，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的三维目标1通过经历探究活动，理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示2引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体，会通过图形和平面向量基本定理推导两向量平行的坐标表示3通过平行向量的坐标表示的探究，进一步加深学生对向量共线的认识，培养学生的运算能力，提高学生的数学素养重点难点教学重点：会推导两向量平行的坐标表示教学难点：掌握判断两个向量平行(或共线)的条件课时安排1课时导入新课思路1.(直接引入)观察a(1,2)，b(2,4)，这两个向量的坐标成比例，试问这两个向量平行吗？向量c与向量a平行，它们的坐标之间有些什么关系？由此展开新课思路2.(复习引入)上节课我们知道，如果向量起点与坐标原点重合，那么点A的位置可通过其坐标来反映向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行是否也能通过坐标来研究呢？由此引入新课推进新课活动：教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系此处教师要对探究困难的学生给予必要的点拨，可先通过实例引入，如图1，a(1,2)，b(2,4)这两个向量坐标成比例，这两个向量平行，向量c与向量a平行，让学生观察它们的坐标有什么关系然后推广到一般进行探究图1我们知道，当b0时，如果ab，则存在唯一实数使ab；反之，如果存在一个实数，使ab，则ab.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.我们知道，a、b共线，当且仅当存在实数，使ab.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，即消去后，得x1y2x2y10.这就是说，当且仅当x1y2x2y10时向量a、b(b0)共线，这就是两个向量平行的条件我们还知道x1y2x2y10与x1y2x2y1是等价的，但这与是不等价的因为当x1x20时，x1y2x2y10成立，但与均无意义因此是向量a、b共线的充分不必要条件由此也看出x1y2x2y10的应用更具一般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点讨论结果：(1)x1y2x2y10时，向量a、b(b0)共线(2)充分不必要条件活动：教师引导推证：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中ba，由ab，(x1，y1)(x2，y2)消去，得x1y2x2y10.讨论结果：ab(b0)的充要条件是x1y2x2y10.教师应向学生特别提醒感悟：1消去时不能两式相除，y1、y2有可能为0，而b0，x2、y2中至少有一个不为0.2充要条件不能写成(x1、x2有可能为0)3向量共线的充要条件有两种形式：ab(b0) 例 1已知(2,5)和向量a(1，y)，并且向量a.求y.解：因为a，所以152y0，解此方程得y.点评：提醒学生注意共线向量条件的坐标表示式的形式，防止记忆错误.变式训练已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为()A(2，)B(2，)C(3,2) D(1,3)答案：A例 2已知A(1，1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的位置关系活动：教师引导学生利用向量的共线来判断首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式解：在平面直角坐标系中作出A、B、C三点，观察图形，我们猜想A、B、C三点共线下面给出证明(1,3)(1，1)(2,4)，(2,5)(1，1)(3,6)，又26340，且直线AB、直线AC有公共点A，A、B、C三点共线点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的教师可借此总结一下证明三点共线的方法.变式训练1已知a(4,2)，b(6，y)，且ab，求y.解：ab，4y260.y3.2在直角坐标系xOy内，已知A(2，3)，B(0,1)，C(2,5)，求证：A，B，C三点共线证明：由已知条件，得(0,1)(2，3)(2,4)，(2,5)(2，3)(4,8)因为28440，所以，且直线AB与直线AC有公共点A.因此A，B，C三点共线.例 3已知a(1,2)，b(3,2)，试推断是否存在实数k，使向量kab与a3b共线？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由活动：分别写出向量kab和a3b的坐标，利用向量共线的坐标表示可得到一个关于k的方程，方程有实根时k存在，否则，k不存在解：由已知kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，若kab与a3b共线，则4(k3)10(2k2)0，即24k8，k.故存在实数k，使向量kab与a3b共线1先由学生回顾本节学习的两个向量共线的坐标表示，以及运用它灵活解题的方法，体会坐标表示给我们解决问题带来的方便2教师与学生一起总结本节学习的数学方法，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础课本本节习题22A组6B组13.1本教案设计流程符合新课改精神教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，提高分析问题、解决问题的能力2平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等3通过平面向量坐标的代数运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，这样就将数与形紧密结合起来，使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的代数运算备用习题1若点A(1，1)，B(1,3)，C(x,5)共线，则使的实数的值为()A1 B2 C0 D22设a(，sin)，b(cos，)，且ab，则的值是()A2k(kZ) B2k(kZ)Ck(kZ) Dk(kZ)3已知A、B、C三点共线，且A(3，6)，B(5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为()A2 B9 C9 D134向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线？5如图2所示，已知AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，AD与BC相交于点M，求点M的坐标图26已知四边形ABCD是正方形，BEAC，ACCE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AFAE.参考答案：1D2.C3.C4解：(k,12)，(4,5)，(10，k)，(4k，7)，(6，k5)，(4k)(k5)760.k29k220.解得k11或k2.5解：(0,5)(0，)，C(0，)(4,3)(2，)，D(2，)设M(x，y)，则(x，y5)，(20，5)(2，)，x2(y5)0，即7x4y20.又(x，y)，(4，)，x4(y)0，即7x16y20.联立，解得x，y2，故点M的坐标为(，2)6证明：建立如图3所示的直角坐标系，为了研究方便，不妨设正方形ABC