高考数学二轮复习专题一第2讲数函数与方程及函数的应用案文.docx

第2讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用高考定位1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.真 题 感 悟1.(2017全国卷)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A.2x3y5z B.5z2x3yC.3y5z2x D.3y2x1.则xlog2t，同理，y，z.2x3y0，2x3y.又2x5z0，2x5z，3y2x0且a，b1，M0，N0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1两种情况，当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是()(2)(2017山东卷)若函数exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是()A.f(x)2x B.f(x)x2C.f(x)3x D.f(x)cos x解析(1)由于ya|x|的值域为y|y1，a1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称.因此yloga|x|的图象应大致为选项B.(2)若f(x)具有性质M，则exf(x)exf(x)f(x)0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)f(x)0在f(x)的定义域上恒成立.对于选项A，f(x)f(x)2x2xln 22x(1ln 2)0，符合题意.经验证，选项B，C，D均不符合题意.答案(1)B(2)A探究提高1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)ln(x23x2)的单调区间，只考虑tx23x2与函数yln t的单调性，忽视t0的限制条件.【训练1】 (1)(2017长沙一模)函数yln |x|x2的图象大致为()(2)(2017成都冲刺)设函数f(x)则满足f(f(t)2f(t)的t的取值范围是_.解析(1)令f(x)yln|x|x2，定义域为(，0)(0，)且f(x)ln|x|(x)2ln |x|x2f(x)，故函数yln|x|x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x0时，yln xx2，则y2x，当x时，y2x0，yln xx2单调递增，排除C.A项满足.(2)若f(t)1，显然成立，则有或解得t.若f(t)1，由f(f(t)2f(t)，可知f(t)1，所以t1，得t3.综上，实数t的取值范围是.答案(1)A(2)热点二函数的零点与方程命题角度1确定函数零点个数或其存在范围【例21】 (1)函数f(x)log2x的零点所在的区间为()A. B.C.(1，2) D.(2，3)(2)(2017武汉二模)函数f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零点个数为_.解析(1)函数f(x)的定义域为(0，)，且函数f(x)在(0，)上为增函数.flog21230，f(1)log21010，f(2)log2210，f(3)log2310，即f(1)f(2)0，函数f(x)log2x的零点在区间(1，2)内.(2)f(x)4cos2sin x2sin x|ln(x1)|2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，令f(x)0，得sin 2x|ln(x1)|.在同一坐标系中作出两个函数ysin 2x与函数y|ln(x1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.答案(1)C(2)2探究提高1.函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.2.判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f(x)0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.命题角度2根据函数的零点求参数的取值或范围【例22】 (2017历城冲刺)已知函数f(x)lnx3，若函数yf(x)f(kx2)有两个零点，则实数k的取值范围是()A. B.C. D.解析因为f(x)lnx3在区间(1，1)上单增，且是奇函数，令yf(x)f(kx2)0，则f(x)f(kx2)f(x2k)；由函数yf(x)f(kx2)有两个零点，等价于方程x2xk0在区间(1，1)上有两个根，令g(x)x2xk，则满足解得k0时，由f(x)ln x0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2xa有一个零点，令f(x)0得a2x，因为02x201，所以0200，得1.12n.两边取对数，得nlg1.12lg 2lg 1.3，n，n4，从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.答案B(2)解当x0时，C8，k40，C(x)(0x10)，f(x)6x6x(0x10).由得f(x)2(3x5)10.令3x5t，t5，35，则y2t10，y2，当5t20时，y0，y2t10为减函数；当200，y2t10为增函数.函数y2t10在t20时取得最小值，此时x5，因此f(x)的最小值为70.隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.探究提高解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题.(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.【训练3】(2017成都调研)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时.解析由已知条件，得192eb，又48e22kbeb(e11k)2，e11k，设该食品在33 的保鲜时间是t小时，则te33kb192 e33k192(e11k)319224.答案241.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a(a0，且a1)的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约.2.(1)忽略概念致误：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)零点存在性定理注意两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点.3.利用函数的零点求参数范围的主要方法：(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.(3)构建f(x)x(a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.一、选择题1.(2017北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据：lg 30.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093解析M3361，N1080，则lglglg 3361lg1080361lg 38093.1093.答案D2.已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A.，0 B.2，0C. D.0解析当x1时，由f(x)2x10，解得x0.当x1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.答案D3.(2017西安调研)若函数f(x)a|2x4|(a0，且a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A.(，2 B.2，)C.2，) D.(，2解析由f(1)，得a2，解得a或a(舍去)，即f(x).由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减.答案B4.(2017长郡中学二模)函数f(x)ln xex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是()A. B.C.(1，e) D.(e，)解析函数f(x)ln xex在(0，)上单调递增，因此函数f(x)最多只有一个零点.当x0时，f(x)；又flnee10，函数f(x)ln xex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是.答案A5.(2017德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线yaent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为()A.5 B.8 C.9 D.10解析5 min后甲桶和乙桶的水量相等，函数yf(t)aent满足f(5)ae5na，可得nln，f(t)a，因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，f(k)aa，即，k10，由题可知mk55.答案A二、填空题6.(2016浙江卷)已知ab1，若logablogba，abba，则a_，b_.解析设logbat，则t1，因为t，解得t2，所以ab2，因此ab(b2)bb2bba，a2b，b22b，又b1，解得b2，a4.答案427.(2017湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是_.解析令yf(2x21)f(x)0，则f(2x21)f(x)f(x)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x21x，只有一个实根，即2x2x10只有一个实根，则18(1)0，解得.答案8.(2017北京燕博园研究中心)函数f(x)若函数g(x)f(f(x)a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_.解析设tf(x)，令f(f(x)a0，则af(t).在同一坐标系内作ya，yf(t)的图象(如图).当a1时，ya与yf(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2t1)且t11，t21，当t10对任意xR都成立，f(x)在R上是增函数.又f(x)的定义域为R，且f(x)exexf(x)，f(x)是奇函数.(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(xt)f(x2t2)0对一切xR都成立，f(x2t2)f(tx)对一切xR都成立，x2t2tx对一切xR都成立，t2tx2x对一切xR都成立，t2t(x2x)mint2t0，又0，0，t.存在t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切xR都成立.10.(2017山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为vablog3(其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有ablog30，即ab0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有ablog31，整理得a2b1.解方程组得(2)由(1)知，v1log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v2，即1log32，即log33，解得Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2