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淮北师范大学2011届学士学位论文 一个线性变换的所有不变子空间探讨 学院、专业数学科学学院 数学与应用数学 研 究 方 向 代 数 学 学 生 姓 名 付 辽 学 号 20071101038 指导教师姓名 杜 翠 真 指导教师职称 讲 师 2011年 4 月 15日一个线性变换的所有不变子空间探讨付 辽（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘 要线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一,但是对于一个线性变换的所有不变子空间，在高等代数教材中也只是简单的讲解一下，于是本文对它做了更进一步的讨论.本文首先给出了线性变换与不变子空间的定义，然后介绍线性变换以及不变子空间的性质，讨论了复数域及一般数域P上的线性空间的线性变换的不变子空间.同时本文总结了求解一个线性变换所有不变子空间的方法，并且结合一些实例加以应用.关键词：线性变换，子空间，不变子空间Discussion on all invariant subspaces of Linear transformation Fu Liao(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)AbstractThe theory of the invariant subspaces of linear transformation is the important theory of high algebra. But the discussion on all the invariant subspace of the linear transformation is explained simply in the high algebra text-book, the paper makes further discussion. At first it gives the definition of linear transformation and invariant subspaces. Then introduces the nature of linear transformation, discusses the invariant subspaces of linear transformation in the complex field and the general number field P, at the same time, the paper summes up the method to solve the invariant subspaces of the linear transformation, combining with some application examples.Keywords: linear transformation，subspace，invariant subspace目 录引言1一、预备知识1（一）、线性变换和不变子空间定义1（二）、不变子空间的性质1（三）、线性变换与不变子空间的相关定理3二、复数域上线性变换的所有不变子空间6三、一般数域P上的线性变换的不变子空间8四、应用举例11结束语14参考文献14致 谢15引言线性变换与不变子空间是高等代数中的重要的概念，但是对于一个线性变换的所有不变子空间的探讨，在高等代数教材中也只是粗略的讲解一下.为了增加这方面的知识，本文首先给出了线性变换，子空间的定义和不变子空间的性质,由线性变换与不变子空间的相关定理,得出复数域上和一般数域P上的线性变换的所有不变子空间. 这样对每一个具体的线性变换,我们能表示出它的不变子空间,所以本文尝试探究一个线性变换的所有不变子空间的求法，又给出了一些具体应用事例. 本文如不特别指明,所考虑的线性空间都是某一数域P上的线性空间，线性空间V上的线性变换的集合为L(V).一、预备知识（一）、线性变换和不变子空间定义定义1 线性空间的一个变换称为线性变换,如果对于中任意的元素和数域中任意数，都有定义2 设是数域上线性空间的线性变换,是的子空间.如果中的向量在下的像仍然在中,换句话说,对于中任意一个向量,有我们就称是的不变子空间,简称子空间.（二）、不变子空间的性质性质1 设，都是的不变子空间，则都是的不变子空间. 证明 设，则存在,使得.所以,故而 为的不变子空间.同理可证为的不变子空间.性质2 设，若为的不变子空间，则也是的不变子空间，其中是数域上的多项式.证明 由于()是数域上的多项式，不妨设，所以 . 则有 ，故依次可知 ，所以为的不变子空间.性质3 设，若可逆且为的不变子空间，则也为的不变子空间.证明 由于为的不变子空间, ， 有.又因为可逆，故，有 ，所以 ，于是，也是的不变子空间.性质4 设是线性变换，的不变子空间，则在，下也不变. 证明 ，从而 ， 故在，下均不变.（三）、线性变换与不变子空间的相关定理定理1 设是n维线性空间V的线性变换，证明V可以分解成的n个一维不变子空间的直和的充分必要条件是，V有一个由的特征向量组成的基.证明 设，其中每个都是的一维不变子空间.取的基，则，且，即是的特征向量，而且构成的一组基.反之，设的n个特征向量构成的一组基，则）是的不变子空间，且.定理2 设线性变换的特征多项式为，它可以分解成一次因式的乘积， 则V可分解成不变子空间的直和 其中 证明 令 以及 则是的值域，易知是的不变子空间.显然满足下面证明 为此要证明两点，第一，要证V中每个向量都可以表示成 ，.其次，向量的这种表示法是唯一的. 显然 ，因此有多项式使 于是这样对中的每个向量都有其中 这就证明了第一点.为证明第二点，设有 （1）其中满足 ， （2）现在证明任一个. 因为，所以.用作用于的两边，即得 又 所以有多项式使 于是现在设 其中.当然满足 所以，由此可得到第一点中的表示法是唯一的. 再设有一向量的核.把表示成 即令，则是满足与的向量.所以，于是，这就证明了是的核，即定理3 设是维线性空间，线性变换在某个基下矩阵为，则（1） 若，其中为阶方阵，当且仅当是的不变子空间；（2） 若， 其中 为阶方阵 ， 当且仅当是的不变子空间；（3） 若，其中为阶方阵，其中为阶方阵，当且仅当，及 都是不变子空间.二、复数域上线性变换的所有不变子空间我们来研究Jordan块定理4 设是复数域上维线性空间，是的线性变换，在基， 下的矩阵是一若当标准形证明：有且仅有和以下非零不变子空间，证明 由不变子空间性质可知，是的不变子空间.又由于中一阶主子式所在列的其他元素全部是零的只有第列，因此一维不变子空间仅有；中二阶主子式所在列其余元素全部是零的子式只有第，列的主子式，故二维不变子空间只有，以此类推可得，中所在列的其他元素均为零的阶主子式为第列的主子式为.因此的维不变子空间仅有，而维不变子空间只有综上，于是得到的非零不变子空间有且仅有个，.注：由此证明了以下推论：推论1 中包含的的不变子空间只有自身；推论2 中的任一非零不变子空间都包含；推论3 不能分解成的两个非平凡不变子空间的直和；推论4设是复数域上维线性空间，是的线性变换，在基， 下的矩阵是一若当块组成的准对角形矩阵，其中，.则有且仅有和以下非零不变子空间， ，.定理5 在复数域上（1） 如果线性变换是一个对称变换，那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间.（2） 如果线性变换是一个反对称变换，那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间.（3） 如果线性变换是一个酉变换，那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间.三、一般数域P上的线性变换的不变子空间例1 对任意的,本身及零子空间都是的不变子空间,称为平凡不变子空间.例2 对任意的,分别称 为的像与核.容易证得与都是的不变子空间.例3 设，是的一个特征值，为的属于的特征向量，由生成的子空间是的不变子空间，即.例4 设，是的一个特征值，为的恒等变换，则称 存在正整数，为的对应于的根子空间，称为的属于的高为的根向量，为的不变子空间.证明 若，其高分别为，令，则， = 0故为的子空间.又设且高为，则 = = = 0故为的不变子空间.例5 若存在非零向量，则 显然是的不变子空间，称为的由生成的循环子空间.证明 在为非零子空间时，存在正整数且，且，使得为基. 事实上，容易证明：若能够被线性表出，则中的任何向量都能被线性表出并且容易证得线性无关，所以，则即为的一组基.例6 设，则必有维的不变子空间.解 在中定义内积使成为酉空间.令为的共轭变换的一个特征向量，则 的正交补空间的维数对任何有 故，所以就是的一个维不变子空间.例7 设为数域上不超过的多项式全体连同零多项式作成的线性空间.，定义，其中为的一阶导数.则求出的全部不变子空间.解 由不变子空间的性质知，及均为的不变子空间.假设是的任一非零不变子空间，则中必有次数最高的多项式，设为，令，则 所以，倒推上去依次可得.故由为中次数最高的多项式知，从而的全部不变子空间为，. 例8 设是数域上的维线性空间，是可逆的线性变换，是的不变子空间，则也是的不变子空间.举例说明有限的条件不能省略.证明 若或时结论显然成立.设，任意取的一组基，则由是的不变子空间知，且线性无关.从而作成的一组基.由此 所以也是的不变子空间.对无限维线性空间此结论不成立，例如：令作线性变换，为自然数（这种线性变换是存在的），既是满射，又是单射，从而可逆，且，但，因为.四、应用举例例9 设是的线性变换，在基下矩阵，求的所有不变子空间 解 在中至少有以下四个的不变子空间：，又，知为可逆的线性变换. 故，=，=，此外若还有其它不变子空间必是一维的，因而应为特征向量所生成，但是由于的特征多项式无实根，故在中无特征值，从而没有实特征向量，这表明仅有两个平凡的不变子空间.结论 （1）在求的所有不变子空间时，既不能漏掉也不能重复. （2）给定后，线性空间中至少有，四个不变子空间， 然后再设法去找其他的不变子空间. （3）对有限维线性空间来讲，可以按照维数去找，能保证既不会漏掉也不会重复.例10 设是复数域上的维线性空间，是的两个线性变换，且满足. （1）证明：的每个特征子空间都在下不变； （2）在中有一公共的特征向量； （3）设是上一组（有限个或无限个）两两可换的线性变换.证明：这组线性变换在中有一公共的特征向量.证明（1）设是的任一特征值，是属于的特征子空间，则所以 故，所以在下不变.（2）设，则是复数域上线性空间的线性变换.在中取必有特征值，与对应的特征向量，则，即是的特征向量，又，所以，这表明在中有一公共的特征向量.（3）对用归纳法.当 时，的任意非零向量都可以构成的基.设，则有（这是因为），即是的公共的特征向量.假设结论对维数的线性空间成立，下证结论对维空间也成立.若中每个非零向量都是中的线性变换的特征向量，结论已证.否则，中至少有一非零向量，它不是中某个的特征向量.设是一个特征值，则属于的特征子空间是的一个真子空间，故，由于中的线性变换两两可换，故是中所有线性变换的不变子空间，于是中每一个线性变换在中有导出变换.由归纳假设，这些导出变换在中有公共的特征向量.而的线性变换与它们的导出变换对的作用相同，故中每个线性变换在中有公共的特征向量.例11 设是维线性空间的线性变换，有个互异特征值，证明有个不变子空间.证明 设是的个互异特征值，是分别属于的特征向量，则线性无关，从而作成的一组基.由于，故是的一维不变子空间， 又是的二维不变子空间，事实上，设，故 从而在下不变，于是的二维不变子空间共有个.对任意的是的不变子空间，这样的子空间共有个，故至少共有 个不变子空间.其中是个零维不变子空间.设是的任一维在下的不变子空间，则它必由中基中 个向量生成.不妨设，则必在上述个不变子空间中，故只有上述个不变子空间.结束语本文在一个线性变换的所有不变子空间等知识具备的条件下，借助一定的数学思想方法，探讨与研究了一个线性变换的所有不变子空间，通过一些具体事例的求解,归纳、总结了求解线性变换的所有不变子空间的方法. 由于学习知识的有限,对求解线性变换的所有不变子空间的方法可能不够系统与全面，在以后的学习中我会继续加强对相关知识的学习与总结, 进而进一步加深对相关理论知识的理解.参考文献：1 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.M.北京:高等教育出版社，1996.2 王水汀. 线性变换的不变子空间J. 甘肃联合大学学报1990,4 (1):38-42.3 钱吉林等.高等代数题解精粹M.武汉:崇文书局出版社,20034 徐仲，陆全，安晓虹等.高等代数考研教案M.西安：西北工业大学出版社，2006.5 何宝林. 不变子空间的个数问题J.高等数学研究, 2004, 7(1):51-52.6 王波. 不变子空间的一个性质J.大