数学人教版九年级下册锐角三角函数应用2.docx

【重点】理解余弦、正切的概念,并会求锐角的余弦值、正切值.【难点】类比正弦的概念,探索余弦、正切的概念.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P6465.导入一:【复习提问】1.在直角三角形中,当一个锐角的大小一定时,它的对边与斜边的比有什么规律?2.什么是正弦?如何求一个角的正弦?3.探究正弦的概念时,我们用了什么方法?导入二:观察两个大小不同的三角板,当角是30,45,60时,它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.过渡语类比探究正弦的方法,在直角三角形中,当锐角的度数一定时,它的邻边与斜边、对边与邻边的比也是固定的值,这就是我们这节课要学习的内容.设计意图通过复习提问,回忆上节课的探究方法,用类比的方法探究本节课的内容,为本节课的学习做好铺垫.计算直角三角板中特殊角的邻边与斜边、对边与邻边的比,归纳规律,很自然地引出本节课要学习的概念,同时培养学生计算、观察、猜想的能力.一、新知探究思路一【思考】在不同的直角三角形中,当锐角A的度数相同时,它们的邻边与斜边的比、对边与邻边的比是同一个固定值吗?【师生活动】教师提示类比上节课的证明思路,学生独立完成证明过程,学生代表板书,教师规范证明过程.已知:如图所示,在RtABC和RtABC中,C=C=90,A=A=.求证:ACAB=ACAB,BCAC=BCAC.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,共同得出结论,教师对学生的展示进行点评.【板书】证明:由于C=C=90,A=A=,所以RtABCRtABC,因此,ACAC=ABAB,即ACAB=ACAB.同理可得BCBC=ACAC,即BCAC=BCAC.【思考】大家能不能得出锐角B的度数一定时,B的邻边与斜边、B的对边与邻边的比是不是一个固定值呢?学生思考回答,教师点评.【课件展示】1.在直角三角形中,当锐角的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的邻边与斜边的比都是一个固定值.2.在直角三角形中,当锐角的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与邻边的比都是一个固定值.思路二如图所示,在RtAB1C1和RtAB2C2中,AC1B1=AC2B2=90.【思考】(1)RtAB1C1与RtAB2C2之间有什么关系?(RtAB1C1RtAB2C2)(2)AC1AB1与AC2AB2,B1C1AC1与B2C2AC2之间各有什么关系?AC1AB1=AC2AB2,B1C1AC1=B2C2AC2(3)在射线AB1上任取一点B3,过B3作B3C3AC1,垂足为C3,则AC1AB1与AC3AB3,B1C1AC1与B3C3AC3之间有什么关系?AC1AB1=AC3AB3,B1C1AC1=B3C3AC3(4)根据以上思考,你得到什么结论?(直角三角形中A的邻边与斜边、对边与邻边的比是固定不变的)(5)如果改变A的大小,上边的比值是否变化?归纳你的结论.【师生活动】教师提出问题,学生思考后小组合作交流,共同归纳结论,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评.【课件展示】1.在直角三角形中,当锐角的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的邻边与斜边的比都是一个固定值.2.在直角三角形中,当锐角的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与邻边的比都是一个固定值.设计意图在教师提出的问题的引导下,学生通过小组合作交流,类比上节课探究问题的方法,经过观察、讨论、验证等数学活动,归纳出结论,为归纳理解三角函数定义做好铺垫,同时培养学生的归纳总结能力.二、形成概念过渡语在直角三角形中,锐角的度数一定时,角的邻边与斜边、对边与邻边的比是固定值,我们把这两个固定值分别定义为余弦和正切.【课件展示】如图所示,在RtABC中,C=90,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦,记作cos A,即cos A=A的邻边斜边=bc.同样,把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切,记作tan A,即tan A=A的对边A的邻边=ab.【思考】当A的大小变化时,sin A,cos A,tan A是否变化?对于锐角A的每一个确定的值,sin A,cos A和tan A是否有唯一的值和它对应?【师生活动】学生思考回答,教师引导点评.归纳:sin A,cos A,tan A都是A的函数.【课件】锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数.设计意图教师根据上边的总结验证,类比正弦的概念形成,引导学生认识理解余弦、正切的概念,教师可以强调概念中需注意的事项,加深学生对锐角三角函数概念的理解和掌握.三、例题讲解(教材例2)如图所示,在RtABC中,C=90,AB=10,BC=6,求sin A,cos A,tan A的值.【思考】(1)根据余弦、正切的定义,要求cos A,tan A的值必须求出哪条边的长?(2)怎样求出AC的长?【师生活动】学生思考后回答问题,然后书写解题过程,小组交流结果,小组代表板书过程.【课件展示】解:由勾股定理得AC=AB2-BC2=102-62=8,所以sin A=BCAB=610=35,cos A=ACAB=810=45,tan A=BCAC=68=34.(补充拓展)如图所示,在RtABC中,C=90,BC=6,sin A=35,求cos A,tan B的值.【解析】(1)已知sin A和BC的值,根据正弦定义,可以求出三角形的哪条边长?(2)你能不能求出三角形的第三条边长?(3)根据余弦、正切定义,你能求出cos A,tan B的值吗?【师生活动】学生独立思考完成,小组内交流答案,教师帮助有困难的学生,对学生的答案进行点评.解:sin A=BCAB,AB=BCsinA=653=10.又AC=AB2-BC2=102-62=8,cos A=ACAB=45,tan B=ACBC=43.设计意图在教师提出的问题的引导下,学生独立思考完成,教师对学生的结果进行点评,让学生根据概念求出各三角函数值,加深学生对概念的理解和掌握,同时让学生综合运用勾股定理、三角函数概念进行有关计算,培养学生综合运用数学知识解决问题的能力.知识拓展(1)余弦和正切都是一个比值,没有单位.(2)余弦值和正切值只与角的大小有关,而与三角形的大小无关.(3)cos A,tan A都是一个整体符号,不能写成cosA,tanA.(4)当用三个字母表示角时,角的符号“”不能省略,如tanABC.(5)在RtABC中,C=90,由于sin A=BCAB=ac,cos A=ACAB=bc,sin B=ACAB=bc,cos B=BCAB=ac,tan A=BCAC=ab,tan B=ACBC=ba,因此,sin A=cos B,cos A=sin B,tan Atan B=1.(6)在RtABC中,C=90,a2+b2=c2,sin A=ac,cos A=bc,tan A=ab,sin2A+cos2A=1,tan A=sinAcosA.1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个