高中数学1.2.3空间中的垂直关系2课堂探究新人教B版必修.docx

1.2.3 空间中的垂直关系 2课堂探究探究一 面面垂直的判定(1)面面垂直的定义，判定的方法是：证明第三个平面与两个相交平面的交线垂直；证明这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直；根据定义，这两个平面互相垂直(2)面面垂直的判定定理在证明两个平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在现有的图中不存在，则可通过作辅助线来解决【典型例题1】 在正方体AC1中，求证：平面BDD1B1平面ACC1A1证明：如图所示，因为AA1平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1BD又在底面ABCD内，对角线ACBD，且AA1ACA，所以BD平面ACC1A1又BD平面BDD1B1，所以平面BDD1B1平面ACC1A1【典型例题2】 如图，在四面体ABCD中，BD，ABADCBCDACa，求证：平面ABD平面BCD思路分析：图形中的垂直关系较少，不妨考虑利用定义法证明证明：取BD的中点为E，连接AE，CE，因为CBCDABAD，所以AEBD，CEBD，则有BD平面AEC因为ABADCBCDACa，BD，所以ABD和BCD都是等腰直角三角形，AE，CE都是斜边上的中线所以AECEBD又ACa，所以AE2CE2AC2所以AECE又AE，CE分别是平面AEC与平面ABD、平面BCD的交线，所以平面ABD平面BCD探究二 面面垂直的性质(1)当所给的题目中有面面垂直的条件时，一般要注意是否有垂直于两个平面交线的垂线，如果有，可利用性质定理将面面垂直转化为线面垂直或线线垂直；如果没有，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直(2)面面垂直性质定理的常用推论：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线也垂直于第三个平面两个互相垂直的平面的垂线也互相垂直如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线与另一个平面平行或在另一个平面内【典型例题3】 (1)如图所示，三棱锥PABC的底面在平面内，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是()A一条线段 B一条直线 C一个圆 D一个圆，但要去掉两个点解析：因为平面PAC平面PBC，ACPC，AC平面PAC，且平面PAC平面PBCPC，所以AC平面PBC又因为BC平面PBC，所以ACBC，所以ACB90，所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，除去A和B两点，故选D答案：D(2)如图，AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC平面ABC，判断BC与平面PAC的位置关系，并证明判断平面PBC与平面PAC的位置关系解：BC平面PAC证明：因为AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，所以ACB90，所以BCAC又因为平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，BC平面ABC，所以BC平面PAC因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PAC探究三 探索型问题(1)垂直关系的相互转化：(2)探究型问题的两种解题方法：(分析法)即从问题的结论出发，探求问题成立的条件(反证法)先假设使结论成立的条件存在，然后进行推证，推出矛盾，否定假设，确定使结论成立的条件不存在【典型例题4】 如图，在三棱锥ABCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且(01)(1)求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC(2)当为何值时，平面BEF平面ACD解：(1)因为AB平面BCD，所以ABCD因为CDBC，且ABBCB，所以CD平面ABC又因为(0CD2CB2连接BD，在BCD中，BCD90，故CD2CB2BD2在平面四边形ABCD中，因为DABABCADC90，所以BCD90，所以CD2CB2BD2将代入得BD2BD2，矛盾，故四边形ABCD不可能是空间四边形，只能是平面四边形，所以四边形ABCD是矩形易错点2：忽略了问题的唯一性而致误【典型例题6】 已知直线a不垂直于平面，如图所示，求证：过a有且只有一个平面与垂直错解：记Aa，过A作b，abA，则可得a，b确定一个平面，由b，b，得，这说明过a有且只有一个平面与垂直错因分析：仅证明了命题的存在性，而忽略了唯一性正解：(1)存在性设Aa，过A作b