3第二十七章相似.doc

第二十七章 相似27.1图形的相似专题一开放题1已知三条线段的长度为，请你再添一条长度为 的线段，使得四条线段成比例2小明家有一个矩形相框，其长、宽分别为20 cm和10 cm，小明想做一个与该相框形状完全相同的相框，手中有一根30长的框料，他想以这根框料为一边，那么新的相框的另一边是多少？专题二 操作题3手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相同，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）A B C D4如图，左边格点图中有一个四边形ABCD，请在右边的格点图中画一个与该四边形相似的四边形ABCD. 专题三 实际应用题5科学家研究表明，当人的下肢体与身高之比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋的鞋跟的最佳高度为 （精确到0.1 cm）.6在比例尺为1：10000000的地图上，量得A、B两地间的距离是50 cm，则A、B两地间的实际距离为_千米7暑假时，康子帮母亲到鱼店去买鱼，鱼店里有一种“竹篓鱼”，个个都长得非常相似，现在根据大小有两种不同的价格，如图所示，鱼长10 cm的每条10元，鱼长18 cm的每条15元，康子不知道买哪条更好些，你看怎么办？专题四 探究题8如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）A B C D29如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值.【知识要点】1我们把形状相同的图形叫做相似图形.2对于四条线段,如果满足，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.3相似多边形对应角相等，对应边的比相等. 4我们把多边形对应边的比称为相似比.【温馨提示】1不是所有的矩形都相似，不是所有的菱形都相似.2判断两个多边形是否相似时，从边的比是否相等，和角是否相等两方面入手.【方法技巧】1两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.2当三角形或多边形在网格中时，要判断两图形是否相似，常常利用“网格+勾股定理”确定线段的长度.3图形的折叠本身也是全等问题，常常利用折叠转化相等线段和相等角. 参考答案1 或或（不唯一）【解析】设所添线段的长度为，则由，可求出；由，可求出x=；由，可求出.2解：因为两个矩形相似，所以它们的对应边成比例，设另一相框边长为x.当=时,解得x=15();当=时,解得x=60().综上所述，新的相框的另一边是15 cm或60 cm.3D【解析】选项A中，将里面的三角形任意一条边向两边延长与外面三角形的两边相交，利用平行线的性质可以得到内、外两三角形两个角对应相等，因此两三角形相似；B中，由于任意两个等边三角形相似，因此B中两三角形相似；同理C中两正方形相似；D中内、外两矩形对应边不成比例，故两矩形不相似.4解：如图，将左边图形中的四边形放大一倍，得到四边形ABCD，四边形ABCD与四边形ABCD相似.56.7cm【解析】由题意知 0.618，鞋跟高度约为6.7 cm.65000【解析】设A、B两地间的实际距离为x cm,则由50:x=1:10000000,得x=5108（cm）=5103千米.7解：因为10:10=1:1,18:15=6:5,所以买18cm长的鱼更合算 8B【解析】设AD=x，AB=1，FD=x1，FE=1.四边形EFDC与矩形ABCD相似，即.解得，（负值舍去），经检验是原方程的解9解：由题意可知AD2AE2ED2MN，AB2EM，四边形EMND四边形EABF，则EM：MNAE：AB，则ABADADAB，则AB2AD212，则ABAD 27.2相似三角形专题一 相似形中的开放题1如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点如果AD=1，那么当AE=时，以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似2 已知：如图，ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE，BDE+BCE=180.(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由.专题二 相似形中的实际应用题3如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.专题三 相似形中的探究规律题4某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在RtABC中，C90，AC30 cm，AB50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1、a2、a2若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A24 B25 C26 D275如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3（1）如图，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长； （3）如图，三个正方形组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长； （4）如图，n个正方形组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长专题四 相似形中的阅读理解题6某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方，请你协助他们探索下列问题： (1)写出判定扇形相似的一种方法：若 ，则两个扇形相似；(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为 ；(3)如图1，是完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120，AB为30cm,现要做一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径. 图1 图2专题五 相似形中的操作题7宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EFAD，交AD的延长线于F请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形8如图，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到ABD和ECF，固定ABD，并把ABD与ECF叠放在一起（1）操作：如图，将ECF的顶点F固定在ABD的BD边上的中点处，ECF绕点 F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）求证：BHGD=BF2；（2）操作：如图，ECF的顶点F在ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合）， 且CF始终经过点A，过点A作AGCE，交FE于点G，连接DG探究：FD+DG= DB，请给予证明专题六 相似形中的综合题9正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN当BM=时，四边形ABCN的面积最大10如图，在锐角ABC中，AC是最短边，以AC的中点O为圆心，AC长为半径作O，交BC于E，过O作ODBC交O于D，连接AE、AD、DC（1）求证：D是的中点；（2）求证：DAO =B +BAD；（3）若，且AC=4，求CF的长. 【知识要点】1平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.2平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.3平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.4如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.5如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.6如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.7相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比.8相似三角形对应高的比等于相似比.9相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.【温馨提示】1平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.2当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.3数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察、分析问题的习惯.【方法技巧】1相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比.2在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.参考答案1或 【解析】根据题意得AD=1，AB=3，AC=， A=A，若ADEABC时，即，解得AE=.若ADEACB时，即，解得AE=.当AE=或时，以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似2解：（1）ADEACB，CEFDBF，EFBCFD (不唯一). （2）由BDE+BCE=180，可得ADE=BCE. A=A，ADEACB; =. A=A， AEBADC;BDE+BCE=180，BCE+ECF=180， ECF=BDF， 又F=F， CEFDBF;=，而F=F，EFBCFD.3解： OA:OCOB:ODn 且AOBCOD,AOBCOD. OA:OCAB:CDn , 又CDb,AB=CDn nb，x.4C【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n，且每条纸条的长度都不小于5cm，设矩形纸条的长边分别与AC、AB交于点M、N，因为AMNACB，所以又因为AM=AC-1n=30-n，MN5 cm，所以，得n26.25，所以n最多取整数26 5解：（1）在题图中过点C作CNAB于点N，交GF于点M 因为C=90，AC=4，BC=3，所以AB=5 因为5CN=34，所以CN=因为GFAB，所以CGF=A，CFG=B，所以CGFCAB，所以设正方形的边长为x，则，解得所以正方形的边长为 （2）同（1），有，解得 （3）同（1），有，解得 （4）同（1），有，解得 6解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x，则=,x=2m.(3)两个扇形相似，新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120.设新做扇形的半径为，则=，=15，即新做扇形的半径为15.7证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，N为BC的中点，.在RtDNC中，NE=ND，.，故矩形DCEF为黄金矩形.8解：（1）证明：将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，B=D. 将ECF的顶点F固定在ABD的BD边上的中点处，ECF绕点F在BD边上方左右旋转，BF=DF.HFG=B，GFD=BHF，BFHDGF， ，BHGD=BF2. （2）证明：AGCE，FAGC.CFE=CEF，AGF=CFE，AF=AG. BAD=C，BAF=DAG，ABFADG，FB=DG，FD+DG=DB，9210解：（1）证明：AC是O的直径，AEBC. ODBC，AEOD，D是的中点. （2）方法一：证明：如图，延长OD交AB于G，则OGBC .AGD=B. OA=OD，DAO=ADO. ADO=BAD+AGD ，DAO=B +BAD. 方法二：证明：如图，延长AD交BC于H ，则ADO=AHC.AHC=B +BAD，ADO =B +BAD. OA=OD，DAO=B +BAD. （3） AO=OC，.，. ACD=FCE，ADC=FEC=90，ACDFCE. ，即，CF=2. 27.3位似专题一 开放探究题1在如图所示的方格纸中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O和ABC.(1)请以点O为位似中心，把ABC缩小为原来的一半（不改变方向）,得到；(2)请用适当的方式描述的顶点的位置. 专题二 实际应用题2如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为( )A.8 cm B.20 cm C.3.2 cm D.10 cm3如图，印刷一张矩形的张贴广告，它的印刷面积是32 dm2，两边空白各0.5 dm，上下空白各1 dm，设印刷部分从上到下长是x dm，四周空白的面积为S dm2.(1)求S与x的关系式；(2)当要求四周空白处的面积为18 dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少?(3)在(2)问的条件下，内外两个矩形是位似图形吗?为什么? 专题三 一题多变题4已知五边形ABCDE与五边形ABCDE是位似图形，O是位似中心，ODOD=23，如图所示，求S五边形ABCDE与S五边形ABCDE之比是多少？（1）一变：若已知条件不变，五边形ABCDE的周长为32 cm，求五边形ABCDE的周长；（2）二变：已知条件不变，试判断ODE与ODE是位似图形吗？专题四 阅读理解题5阅读下面材料：“如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大”（1）选择：如图1，点O是等边PQR的中心，P、 Q、R分别是OP、OQ、OR的中点，则PQR与PQR是位似三角形，此时，PQR与PQR的位似比、位似中心分别为()A2，点PB，点P C2，点O D，点O （2）如图2，用下面的方法可以画AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应的问题的画法：在AOB内画等边CDE，使点C在OA上，点D在OB上，连结OE并延长交AB于点E，过点E作ECEC，交OA于点C，过点E作EDED交OB于点D；连结CD，则CDE是AOB的内接三角形，求证：CDE是等边三角形【知识要点】1两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形.2在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或者k.【温馨提示】1位似图形的位似中心可以在任何位置.2解决位似图形中相关图形的周长、面积问题时，一般地首先要确定位似图形的相似比，然后再根据相似形的性质解决问题.【方法技巧】1利用位似，可以将一个图形放大或缩小.2判定两个图形是位似图形，必须同时满足两个条件：（1）两个图形相似；（2）两个图形所有对应顶点所在直线相交于同一点.3在数学上，往往先在一个已知图形中通过探究找出一个正确的结论，再将图形进行适当变换，然后探究这个结论在变换后的图形中是否成立，最后利用发现的一般规律去指导并解决问题，这种研究问题的方法是训练发散思维与