高三物理高考复习：动量和能量 课件.ppt

第三讲动量和能量 牛顿运动定律与动量观点和能量观点通常称作解决力学问题的三把金钥匙 其实它们是从三个不同的角度来研究力与运动的关系 解决力学问题时 选用不同的方法 处理问题的难易 繁简程度可能有很大差别 在很多情况下 用动量和能量的观点来解题 会更快捷 更有效 动量 基本规律 动量定理 动量守恒定律 基本概念 动量 冲量 能量 基本概念 弹性势能 重力势能 势能 动能 功率 功 基本规律 机械能守恒定律 动能定理 电势能 功能原理 一 动量和能量概述 二 两个定理 1 动量定理 动量定理 f合t p 描述的是 力在时间上的积累效果 改变物体的动量 该式是矢量式 即动量的变化方向与合冲量的方向相同 动能定理 f合s ek 描述的是 力在空间上积累效果 改变物体的动能 该式是标量式 2 动能定理 i合 p或f合t mv2 mv1 w合 ek或f合s mv22 2 mv12 2 用动量定理 动能定理解题关键 1 正确地分析研究对象的受力 2 准确地分析物体的运动 对系统用动量定理分析受力只分析系统外力 对系统用动能定理分析受力不仅分析系统外力 还要考试系统内力做功 一般指系统内滑动摩擦力做功 1 钢球从高处向下落 最后陷入泥中 如果空气阻力可忽略不计 陷入泥中的阻力为重力的n倍 求 1 钢珠在空中下落的高度h与陷入泥中的深度h的比值h h 2 钢珠在空中下落的时间t与陷入泥中的时间t的比值t t 1 对钢球运动全过程 由动能定理 mg h h nmgh 0 h h nh h h n 1 2 对钢球运动全过程 由动量定理 mg t t nmgt 0 t t nt t t n 1 例与练 析与解 2 在水平面上有两个完全相同的物体a b处于静止状态 用水平恒力f1和f2 f1 f2 分别作用在a b上一段时间后撤去 a b最后都停下 已知a b运动的总位移相等 则关于f1和f2的冲量大小p1与p2 下列说法中正确的是 a p1p2 c p1 p2 d 以上情况都有可能 对每个物体运动的全过程 动量变化为零 因而合外力的冲量为零 即 p1 ft1 0 p2 ft2 0 例与练 析与解 要比较p1 p2 只需比较a b运动的总时间t1 t2 在同一个速度 时间图象上作出两个物体的运动图象 因为f1 f2 开始a的加速度大于b的加速度 都撤去外力作用后 a b的加速度相同 运动图线平行 如图所示 析与解 由于a b两个物体的总位移相等 则两个图线与坐标轴围成的面积也应相同 从而很容易确定 b所用时间t2要长 则ft1 ft2 即p1 p2 3 在北戴河旅游景点之一的南戴河滑沙场有两个坡度不同的滑道ab和ab1 均可看作斜面 甲 乙两名旅游者分别乘两个相同完全的滑沙撬从a点由静止开始分别沿ab1和ab滑下 最后都停在水平沙面bc上 如图所示 设滑沙撬和沙面间的动摩擦因数处处相同 斜面与水平面连接处均可认为是圆滑的 滑沙者保持一定姿势坐在滑沙撬上不动 则下列说法中正确的是 a 甲在b点的速率一定大于乙在b1点的速率b 甲滑行的总路程一定大于乙滑行的总路程c 甲全部滑行的水平位移一定大于乙全部滑行的水平位移d 甲在b点的动能一定大于乙在b1点的动能 例与练 4 如图所示 三块完全相同的木块固定在水平地面上 设速度为v0子弹穿过木块时受到的阻力一样 子弹可视为质点 子弹射出木块c时速度变为v0 2 求 1 子弹穿过a和穿过b时的速度v1 v2 2 子弹穿过三木块的时间之比t1 t2 t3 1 由动能定理 f 3l mv02 2 m v0 2 2 2 f 2l mv02 2 mv22 2 f l mv02 2 mv12 2 例与练 析与解 2 由动量定理 ft1 mv0 mv1 ft2 mv1 mv2 ft3 mv2 mv0 2 析与解 5 光滑水平桌面上有两个相同的静止木块 枪沿两个木块连线方向以一定的初速度发射一颗子弹 子弹分别穿过两个木块 假设子弹穿过两个木块时受到的阻力大小相同 忽略重力和空气阻力的影响 那么子弹先后穿过两个木块的过程中 子弹两次损失的动能相同 每个木块增加的动能相同 因摩擦而产生的热量相同 每个木块移动的距离不相同 例与练 在同一个速度时间图象上作出子弹和木块的运动图象 如图所示 析与解 从图象可知 子弹的运动图线与木块的运动图线与坐标轴围成的面积等于木块的长度l 两次应相同 但子弹第二次穿过木块时初速度小 因而时间长 木块第二次的位移大 木块增加的动能多 子弹损失的动能的动能也多 设木块的长度为l 子弹穿过木块过程中对木块的作用力为f 子弹穿过木块过程中 子弹和木块阻力组成的系统克服阻力做功为fl 所以两次系统损失的动能相同 因摩擦而产生的热量相同 6 如图所示 质量为m的木板静止在光滑的水平面上 其上表面的左端有一质量为m的物体以初速度v0 开始在木板上向右滑动 那么 a 若m固定 则m对m的摩擦力做正功 m对m的摩擦力做负功 b 若m固定 则m对m的摩擦力不做功 m对m的摩擦力做负功 c 若m自由移动 则m和m组成的系统中摩擦力做功的代数和为零 d 若m自由移动 则m克服摩擦力做的功等于m增加的动能和转化为系统的内能之和 例与练 7 如图所示 质量为m的火箭 不断向下喷出气体 使它在空中保持静止 火箭质量可以认为不变 如果喷出气的速度为v 则火箭发动机的功率为 a mgv b mgv c mv2 d 无法确定 对气体 f t mv 对火箭 f mg 对气体 p t mv2 2 f tv 2 p fv 2 mgv 2 例与练 析与解 三 两个守恒定律 1 动量守恒定律 公式 p p 或 p1 p2或m1v1 m2v2 m1v1 m2v2 成立条件 1 系统不受外力或合外力为零 2 系统所受合外力不为零 但沿某个方向的合外力为零 则系统沿该方向的动量守恒 3 系统所受合外力不为零 但合外力远小于内力且作用时间极短 如爆炸或瞬间碰撞等 动量守恒定律表达式m1v1 m2v2 m1v1 m2v2 是矢量式 解题时要先规定正方向 各速度是相对于同一个惯性参考系的速度 v1 v2必须是作用前同一时刻的速度 v1 v2 必须是作用后同一时刻的速度 三 两个守恒定律 2 机械能守恒定律 公式 e e 或 ep ek或 成立条件 只有重力 或弹簧的弹力 做功 如果除了重力 或弹簧的弹力 做功以外 还有其它力做功w非 机械能不守恒 机械能变化 e w非 特别要指出 系统内滑动摩擦力做功wf fs相 这里分两种情况 1 若一个物体相对于另一个物体作单向运动 s相为相对位移大小 2 若一个物体相对于另一个物体作往返运动 s相为相对路程 8 如图示的装置中 木块与水平面的接触是光滑的 子弹沿水平方向射入木块后留在木块内 将弹簧压缩到最短 现将子弹 木块和弹簧合在一起作为研究对象 系统 则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的整个过程中 a 动量守恒 机械能守恒b 动量不守恒 机械能守恒c 动量守恒 机械能不守恒d 动量不守恒 机械能不守恒 例与练 析与解 子弹射入木块过程系统要克服介质阻力做功 机械能不守恒 整个过程墙壁对弹簧有向右的弹力 系统合外力不为0 动量不守恒 滑块m从a滑到b的过程 物体与滑块组成的系统动量守恒 机械能守恒b 滑块滑到b点时 速度大小等于c 滑块从b运动到d的过程 系统的动量和机械能都不守恒d 滑块滑到d点时 物体的速度等于0 9 如图示 质量为m的滑槽静止在光滑的水平面滑槽的ab部分是半径为r的1 4的光滑圆弧 bc部分是水平面 将质量为m的小滑块从滑槽的a点静止释放 沿圆弧面滑下 并最终停在水平部分bc之间的d点 则 例与练 10 一个质量为30kg的小孩和质量为50kg的小车以5m s的速度在光滑水平面上运动 若小孩以相对于车4m s的水平速度从小车的尾部跳下后 小车的速度多大 v2为小孩跳下车后小车的速度 以小车的运动方向为正方向 由动量守恒定律 例与练 析与解 注意 要把小孩跳下车后的速度转化为对地速度 v人对地 v人对车 v车对地 v1 v2且v1 4m s 11 一个不稳定的原子核 质量为m 开始时处于静止状态 放出一个质量为m的粒子后反冲 已知放出粒子的动能为e0 则反冲核的动能为 a e0 b c d 例与练 析与解 又由动量守恒 p p0 0 12 一个人坐在光滑的冰面的小车上 人与车的总质量为m 70kg 当他接到一个质量为m 20kg以速度v 5m s迎面滑来的木箱后 立即以相对于自己u 5m s的速度逆着木箱原来滑行的方向推出 求小车获得的速度 整个过程动量守恒 但是速度u为相对于人的速度 规定木箱原来滑行的方向为正方向 对整个过程由动量守恒定律 mv mv mv箱对地 mv m u v v 2 2m s 方向跟木箱原来滑行的方向相同 例与练 析与解 13 甲乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏 甲和他的冰车的总质量共为m 30kg 乙和他的冰车的总质量也是30kg 游戏时 甲推着一质量为m 15km的箱子 和他一起以大小为v0 2m s的速度滑行 乙以同样大小的速度迎面滑来 为了避免相撞 甲突然将箱子沿冰面推给乙 箱子到乙处时乙迅速把它抓住 若不计冰面的摩擦力 求甲至少要以多大的速度 相对于地面 将箱子推出 才能避免和乙相碰 例与练 甲 乙不相撞的临界条件是速度相同 对甲 乙和箱由动量守恒定律 向右为正 m m m v1 m m m v0 对甲和箱 向右为正 对乙和箱 向右为正 vx 5 2m sv1 0 4m s 析与解 m m v0 mv1 mvx mv0 mvx m m v1 14 平直的轨道上有一节车厢 车厢以12m s的速度做匀速直线运动 某时刻与一质量为其一半的静止的平板车挂接时 车厢顶边缘上一个小钢球向前滚出 如图所示 平板车与车厢顶高度差为1 8m 设平板车足够长 求钢球落在平板车上何处 g取10m s2 例与练 两车挂接时 因挂接时间很短 可以认为小钢球速度不变 以两车为对象 由动量守恒 mv0 m m 2 v v 2v0 3 8m s 钢球落到平板车上所用时间为 t时间内平板车移动距离 s1 vt 4 8m t时间内钢球水平飞行距离s2 v0t 7 2m 则钢球距平板车左端距离x s2 s1 2 4m 析与解 15 质量为m 4 0kg的平板小车静止在光滑的水平面上 如图所示 当t 0时 两个质量分别为ma 2kg mb 1kg的小物体a b都以大小为v0 7m s 方向相反的水平速度 同时从小车板面上的左右两端相向滑动 到它们在小车上停止滑动时 没有相碰 a b与车间的动摩擦因素 0 2 取g 10m s2 求 1 a在车上刚停止滑动时 a和车的速度大小 2 a b在车上都停止滑动时车的速度及此时车运动了多长时间 3 画出小车运动的速度 时间图象 例与练 1 当a和b在车上都滑行时 析与解 a向右减速 b向左减速 小车向右加速 所以首先是a物块速度减小到与小车速度相等 设a减速到与小车速度大小相等时 所用时间为t1 其速度大小为v1 则 v1 v0 aat1 mag maab v1 a车t1 mag mbg ma 则v1 1 4m st1 2 8s 2 根据动量守恒定律有 mav0 mbv0 m ma mb v 总动量向右 当a与小车速度相同时 a与车之间将不会相对滑动了 设再经过t2时间小物体a与b 车速度相同 则 v v1 abt2 mbg maab则t2 1 2s 则v 1m s 则a b在车上都停止滑动时 车的运动时间为t t1 t2 4 0s 析与解 3 作小车运动图象 首先要分析小车的运动过程 再求出各个过程的初末速度和经历的时间 由 1 可知t1 2 8s时 小车的速度为v1 1 4m s 在0 t1时间内小车做匀加速运动 在t1 t2时间内小车做匀减速运动 4s末速度为v 1 0m s 小车的速度 时间图如图所示 碰撞的分类 完全弹性碰撞 动量守恒 动能不损失 质量相同 交换速度 完全非弹性碰撞 动量守恒 动能损失最大 以共同速度运动 非完全弹性碰撞 动量守恒 动能有损失 碰撞后的速度介于上面两种碰撞的速度之间 四 碰撞中的动量守恒和能量守恒 1 小球m1滑到的最大高度 2 小球m1从斜面滑下后 二者速度 3 若m1 m2小球m1从斜面滑下后 二者速度 16 如图所示 光滑水平面上质量为m1 2kg的小球以v0 2m s的初速冲向质量为m2 6kg静止的足够高的光滑的斜劈体 斜劈体与水平面接触处有一小段光滑圆弧 求 例与练 1 以向右为正 对上升过程水平方向由动量守恒 h 0 15m v m1v0 m1 m2 0 5m s 对系统上升过程由机械能守恒 析与解 2 以向右为正 对系统全过程由动量守恒 m1v0 m1 m2 v 对系统全过程由机械能守恒 析与解 联立以上两式 可得 3 若m1 m2 注意m1 m2交换速度 m1 m2 v1 0m1反向 17 如图所示 质量为m的有孔物体a套在光滑的水平杆上 在a下面用足够长的细绳挂一质量为m的物体b 一个质量为m0的子弹c以v0速度射入b并留在b中 求b上升的最大高度 例与练 v0 c 向左为正 对b c碰撞由动量守恒得 析与解 向左为正 对a b c全过程水平方向由动量守恒得 对a b c上升过程由机械能守恒得 注意 对a b c全过程由机械能守恒吗 18 在光滑的水平面上 有a b两个小球向右沿同一直线运动 取向右为正方向 两球的动量分别为pa 5kgm s pb 7kgm s 如图所示 若两球发生正碰 则碰后两球的动量变化量 pa pb可能是 a pa 3kgm s pb 3kgm sb pa 3kgm s pb 3kgm sc pa 3kgm s pb 3kgm sd pa 10kgm s pb 10kgm s 例与练 由a b碰撞动量守恒 析与解 由a b位置关系 碰后 pa0 可以排除选项a 排除选项c 设a b的质量分别为ma mb 设 pa 10kgm s pb 10kgm s 则碰后pa 5kgm s pb 17kgm s 则碰后va 5 ma vb 17 mb 则碰后a b总动能为 而碰前a b总动能为 很明显碰后a b总动能大于碰前a b总动能 不可能 排除d 选b 19 质量为m 20kg的物体 以水平速度v0 5m s的速度滑上静止在光滑水平面上的小车 小车质量为m 80kg 物体在小车上滑行l 4m后相对小车静止 求 1 物体与小车间的滑动摩擦系数 2 物体相对小车滑行的时间内 小车在地面上运动的距离 由动量守恒定律 v 1m s 物体与小车由动能定理 mgl m m v2 2 mv02 2 0 25 对小车 mgs mv2 2 s 0 8m 例与练 析与解 m m v mv0 20 如图 长木板ab的b端固定一档板 木板连同档板的质量为m 4 0kg a b间距离s 2 0m 木板位于光滑水平面上 在木板a端有一小物块 其质量m 1 0kg 小物块与木板间的动摩擦因数 0 10 它们都处于静止状态 现令小物块以初速v0 4 0m s沿木板向前滑动 直到和档板相撞 碰撞后 小物块恰好回到a端而不脱离木板 求碰撞过程中损失的机械能 例与练 设木板和物块最后共同的速度为v 由动量守恒 mv0 m m v 设全过程损失的机械能为 e 木块在木板上相对滑动过程损失的机械能为 w f s 2 mgs 注意 s为相对滑动过程的总路程 碰撞过程中损失的机械能为 析与解 21 如图所示 m 2kg的小车静止在光滑的水平面上 车面上ab段是长l 1m的粗糙平面 bc部分是半径r 0 6m的光滑1 4圆弧轨道 今有一质量m 1kg的金属块静止在车面的a端 金属块与ab面的动摩擦因数 0 3 若给m施加一水平向右 大小为i 5n s的瞬间冲量 g取10m s2 求 1 金属块能上升的最大高度h 2 小车能获得的最大速度v1 3 金属块能否返回到a点 若能到a点 金属块速度多大 h 0 53m 例与练 i mv0v0 i m 5m s 1 到最高点有共同速度水平v 由动量守恒定律i m m v 由能量守恒定律 h 0 53m 析与解 mv02 2 m m v2 2 mgl mgh 思考 若r 0 4m 前两问结果如何 2 当物体m由最高点返回到b点时 小车速度v2最大 向右为正 由动量守恒定律 i mv1 mv1 由能量守恒定律 解得 v1 3m s 向右 或v1 1m s 向左 析与解 mv02 2 mv12 2 mv12 2 mgl 3 设金属块从b向左滑行s后相对于小车静止 速度为v 以向右为正 由动量守恒 i m m v 由能量守恒定律 解得 s 16 9m l 1m能返回到a点 由动量守恒定律i mv2 mv2 由能量守恒定律 解得 v2 2 55m s 向右 v2 0 1m s 向左 析与解 mv02 2 m m v2 2 mg l s mv02 2 mv22 2 mv22 2 2 mgl 与弹簧关联的动量和能量问题的解题要点 4 判断系统全过程动量和机械能是否守恒 如果守恒则对全对象全过程用动量守恒定律和机械能守恒定律 若全过程机械能不守恒 则考虑分过程用机械能守恒定律或动能定理 1 首先要准确地分析每个物体在运动过程中的受力及其变化情况 准确地判断每个物体的运动情况 2 注意确定弹簧是处于伸长状态还是压缩状态 从而确定物体所受弹簧弹力的方向 五 与弹簧关联的动量和能量问题 3 注意临界状态 弹簧最长或最短及弹簧恢复原长状态 22 如图所示 光滑的水平轨道上 有一个质量为m的足够长长木板 一个轻弹簧的左端固定在长木板的左端 右端连着一个质量为m的物块 且物块与长木板光滑接触 开始时 m和m均静止 弹簧处于原长 现同时对m m施加等大反向的水平恒力f1 f2 从两物体开始运动以后的整个过程中 对m m和弹簧组成的系统 弹簧形变不超过弹性限度 下列说法正确的是 a 由于f1 f2等大反向 故系统动量守恒b 由于f1 f2等大反向 故系统机械能守恒c 由于f1 f2分别对m m做正功 故系统机械能不断增大d 当弹簧弹力大小与f1 f2大小相等时 m m动能最大 例与练 m f1 f2 m 由于f1和f2等大反向 对m m和弹簧组成的系统 合外力为0 故系统动量守恒 由于f1和f2分别对m m做功 故系统机械能不守恒 析与解 开始弹簧弹力f小于拉力f1和f2 当弹簧弹力f大于拉力f1和f2后 m m分别向右 向左加速运动 系统弹性势能和总动能都变大 总机械能变大 m m分别向右 向左减速运动 系统弹性势能变大 总动能变小 但总机械能变大 v1 v2 所以系统机械能不是一直变大 当m m速度减为0以后 析与解 f1 m m分别向左 向右加速运动 这时f1和f2分别对m m做负功 系统机械能变小 讨论 1 系统总动能最大时总机械能是否最大 弹簧弹力f大小等于拉力f1和f2时m m速度最大 系统总动能最大 当m m速度都为0时系统总机械能最大 2 弹性势能最大时 系统的总机械能是否最大 当m m速度都为0时系统总机械能和弹性势能都最大 v1 v2 23 如图所示 a b c三物块质量均为m 置于光滑水平面上 b c间夹有原已完全压紧不能再压缩的弹簧 两物块用细绳相连 使弹簧不能伸展 物块a以初速度v 沿b c连线方向向b运动 相碰后 a与b c粘合在一起 然后连接b c的细绳因受扰动而突然断开 弹簧伸展 从而使c与a b分离 脱离弹簧后c的速度为v 求弹簧所释放的势能 e 例与练 向右为正 对a b c碰撞过程由系统动量守恒 析与解 c v1 a b mv0 3mv1 得v1 v0 3 当弹簧恢复原长时 c脱离弹簧 向右为正 对a b c全过程由系统动量守恒 mv0 2mv2 mv0 得v2 0 对a b c碰撞以后的过程由机械能守恒 注意 a b碰撞过程有机械能损失 v1 24 如图所示 a b c三物块质量均为m 置于光滑水平面上 b c用轻弹簧相连处于静止状态 物块a以初速度v 沿b c连线方向向b运动 相碰后 a与b粘合在一起 求 1 弹簧的最大弹性势能ep 2 以后ab会不会向左运动 例与练 c v0 a b 先分析ab c的受力和运动情况 析与解 v1 v2 v1 v2 v1 v2 v1 v2 小结 1 两物体速度相同时 弹簧最短 或最长 弹簧弹性势能最大 系统总动能最小 2 弹簧恢复原长时 两物体速度分别达到极限 1 向右为正 对a b碰撞过程由动量守恒 析与解 mv0 2mv1 得v1 v0 2 当a b c速度相同时 弹簧最短 弹性势能最大 向右为正 对a b c全过程由系统动量守恒 mv0 3mv 得v v0 3 对a b碰撞后到弹簧最短过程由机械能守恒 注意 a b碰撞过程有机械能损失 2 方法一 以向右为正 设某时ab的速度为v 1 0 对系统由动量守恒 2mv1 2mv 1 mv 2 此时系统总动能 析与解 则总机械能变大 不可能 或设某时ab的速度为v 1 0 对系统由动量守恒 得v 2 2v1 而碰撞后系统总动能 2mv1 mv 2 得v 2 2v1 此时系统总动能 而碰撞后系统总动能 总机械能变大 则ab的速度不能为0 更不能为负 2 方法二 弹簧恢复原长时 两物体速度达到极限 求出这时两物体的速度 以向右为正 对系统由动量守恒 2mv1 2mv 1 mv 2 对系统由机械能守恒 析与解 则v 1 v1 v 2 0 开始 或v 1 v1 3 0 v 2 4v1 3 0 第一次恢复原长 当弹簧第一次恢复原长后 ab的速度方向仍向右 以后将不可能向左 25 光滑的水平轨道上 质量分别为m1 1kg和m2 2kg的小车a b用轻弹簧连接静止 弹簧处于原长 现使a以速度v0 6m s沿轨道向右运动 求 1 当弹簧第一次恢复原长时a和b的速度 2 弹簧的最大弹性势能 例与练 v0 1 以向右方向为正 对系统由动量守恒 m1v0 m1v1 m2v2 对系统由机械能守恒 析与解 则v1 6m s v2 0 开始 或v1 2m s v2 4m s 2 当a b速度相同时 弹簧压缩 伸长 量最大 弹簧弹性势能最大 以向右方向为正 对系统由动量守恒 m1v0 m1 m2 v 对系统由机械能守恒 则v 2m s v0 26 如图所示 光滑水平轨道上 质量分别为m1 2kg和m2 4kg小车a b用轻弹簧连接将弹簧压缩后用细绳系在a b上 然后使a b以速度v0 6m s沿轨道向右运动 运动中细绳突然断开 当弹簧第一次恢复到原长时 a的速度刚好为0 求 1 被压缩的弹簧所具有的弹性势能ep 2 讨论在以后的运动过程中b有没有速度为0的时刻 例与练 27 图中 轻弹簧的一端固定 另一端与滑块b相连 b静止在水平导轨上 弹簧处在原长状态 另一质量与b相同的滑块a 从导轨上的p点以某一初速度向b滑行 当a滑过距离l1时 与b相碰 碰撞时间极短 碰后a b紧贴在一起运动 但互不粘连 已知最后a恰好返回出发点p并停止 滑块a和b与导轨的滑动摩擦因数都为 运动过程中弹簧最大形变量为l2 重力加速度为g 求a从p出发时的初速度v0 例与练 设a b质量均为m a刚接触b时速度为v1 碰前 对a碰前由动能定理 设碰后a b共同运动的速度为v2 向左为正 对a b碰撞过程由动量守恒 mv1 2mv2 2 碰后a b先一起向左运动 接着a b一起被弹回 在弹簧恢复到原长时 设a b的共同速度为v3 在这过程中 弹簧势能始末两态都为零 对a b由动能定理 后a b分离 a单独向右滑到p点停下 对a由动能定理 由以上各式 解得 析与解 28 两个小球a和b用轻质弹簧相连 在光滑的水平直轨道上处于静止状态 在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板p 右边有一小球c沿轨道以速度v0射向b球 如图所示 c与b发生碰撞并立即结成一个整体d 在它们继续向左运动的过程中 当弹簧长度变到最短时 长度突然被锁定 不再改变 然后 a球与挡板p发生碰撞 碰后a d都静止不动 a与p接触而不粘连 过一段时间 突然解除锁定 锁定及解除定均无机械能损失 已知a b c三球的质量均为m 1 求弹簧长度刚被锁定后a球的速度 2 求在a球离开挡板p之后的运动过程中 弹簧的最大弹性势能 例与练 1 设c球与b球粘结成d时 d的速度为v1 由动量守恒 有 mv0 m m v1 当弹簧压至最短时 d与a的速度相等 设此速度为v2 由动量守恒 有 2mv1 3mv2 由 两式得a的速度v2 v0 3 析与解 2 设弹簧长度被锁定后 贮存在弹簧中的势能为ep 由能量守恒 有 撞击p后 a与d的动能都为零 解除锁定后 当弹簧刚恢复到自然长度时 势能全部转变成d的动能 设d的速度为v3 则有 当弹簧伸长 a球离开挡板p 并获得速度 当a d的速度相等时 弹簧伸至最长 设此时的速度为v4 由动量守恒 有 2mv3 3mv4 当弹簧伸到最长时 其势能最大 设此势能为 由能量守恒 有 解以上各式得 析与解 29 质量为m 3kg的小车放在光滑的水平面上 物块a和b的质量为ma mb 1kg 放在小车的光滑水平底板上 物块a和小车右侧壁用一根轻弹簧连接起来 不会分离 物块a和b并排靠在一起 现用力压b 并保持小车静止 使弹簧处于压缩状态 在此过程中外力做功135j 如右图所示 撤去外力 当b和a分开后 在a达到小车底板的最左端位置之前 b已从小车左端抛出 求 1 b与a分离时a对b做了多少功 2 整个过程中 弹簧从压缩状态开始 各次恢复原长时 物块a和小车的速度 例与练 1 ab将分离时弹簧恢复原长 ab的速度为v0 小车速度为v 对a b m系统 由动量守恒定律和机械能守恒定律得 ma mb v0 mv 0 ma mb v02 2 mv2 2 e0 即2v0 3v 0v02 1 5v2 135 解得v0 9m s v 6m s wa对b mbv02 2 40 5j 析与解 2 b离开小车后 对小车和a及弹簧系统由动量守恒定律和机械能守恒定律得 向右为正 mav1 mv1 9mav12 2 mv12 2 e0 40 5 即v1 3v1 9v12 3v12 189 代入消元得2v12 9v1 18 0 解得v1 13 5m s v1 1 5m s或v1 9m s v1 6m s 所以b与a分离时a对b做了多少功40 5j 2 弹簧将伸长时小车和a的速度分别为9m s 6m s 将压缩时为13 5m s 1 5m s 析与解 30 如下图所示 在水平光滑桌面上放一质量为m的玩具小车 在小车的平台 小车的一部分 上有一质量可以忽略的弹簧 一端固定在平台上 另一端用质量为m的小球将弹簧压缩一定距离用细线捆住 用手将小车固定在桌面上 然后烧断细线 小球就被弹出 落在车上a点 oa s 如果小车不固定而烧断细线 球将落在车上何处 设小车足够长 球不至落在车外 例与练 当小车固定不动时 设平台高h 小球弹出时的速度大小为v 则由平抛运动可知 v2 gs2 2h 1 当小车不固定时 设小球弹出时相对于地面的速度大小为v 车速的大小为v 由动量守恒 mv mv 2 因为两次的总动能是相同的 所以有 析与解 s vt 设小球相对于小车的速度大小为v 则 设小球落在车上a 处 由平抛运动可知 由 1 2 3 4 5 解得 析与解 31 直立的轻弹簧的下端固定在地面上 上端位于o点 将质量为m的钢板与弹簧的上端连接 平衡时 弹簧的压缩量为x0 如图 一物块从钢板的正上方距离为3x0的a处自由落下 打在钢板上并立即与钢板一起向下运动 但不粘连 它们到达最低点后又向上运动 若物块的质量也为m时 它们恰好回到o点 若物块质量为2m 仍从a点自由落下 则物块与钢板回到o点时 还具有向上的速度 求物块质量为2m时向上运动到最高点与o点的距离 例与练 解决电磁场中的动量和能量问题的基本方法和思路 1 首先考虑系统全过程动量是否守恒 如果守恒则对系统全过程用动量守恒定律 否则考虑用动量定理 2 要准确地分析每个物体在运动过程中的受力及其变化情况 准确地判断每个物体的运动情况 3 注意临界状态 磁通量不变时感应电流为0 系统中两个物体速度相等 六 电磁场中的动量和能量 32 如图所示 金属杆a从离地h高处由静止开始沿光滑平行的弧形轨道下滑 轨道的水平部分有竖直向上的匀强磁场b 水平轨道上原来放有一金属杆b 已知a杆的质量为ma 且与杆b的质量之比为ma mb 3 4 水平轨道足够长 不计摩擦 求 1 a和b的最终速度分别是多大 2 整个过程中回路释放的电能是多少 3 若已知a b杆的电阻之比ra rb 3 4 其余部分的电阻不计 整个过程中杆a b上产生的热量分别是多少 例与练 1 a下滑过程中机械能守恒 析与解 magh mav02 2 a进入磁场后 回路中产生感应电流 a b都受安培力作用 a做减速运动 b做加速运动 经过一段时间 a b速度达到相同 之后回路的磁通量不发生变化 感应电流为0 安培力为0 二者匀速运动 匀速运动的速度即为a b的最终速度 设为v 由于所组成的系统所受合外力为0 故系统的动量守恒 mav0 ma mb v va vb v 3 由能的守恒与转化定律 回路中产生的热量应等于回路中释放的电能等于系统损失的机械能 即qa qb e 在回路中产生电能的过程中 电流不恒定 但由于ra与rb串联 通过的电流总是相等的 所以应有 析与解 2 由能量守恒得知 回路中产生的电能应等于a b系统机械能的损失 所以e magh ma mb v2 2 4magh 7 33 将带电量q 0 3c 质量m 0 15kg的滑块 放在小车的绝缘板的右端 小车的质量m 0 5kg 滑块与绝缘板间的动摩擦因数 0 4 小车的绝缘板足够长 它们所在的空间存在着磁感应强度b 20t的水平方向的匀强磁场 开始时小车静止在光滑水平面上 当一个摆长为l 1 25m 摆球质量m 0 4kg的单摆从水平位置由静止释放 摆到最低点时与小车相撞 如图所示 碰撞后摆球恰好静止 g取10m s2 求 1 摆球与小车碰撞过程中系统损失的机械能e是多少 2 碰撞后小车的最终速度是多少 例与练 解决对多对象多过程的动量和能量问题的基本方法和思路 1 首先考虑全对象全过程动量是否守恒 如果守恒则对全对象全过程用动量守恒定律 2 如果全对象全过程动量不守恒 再考虑对全对象全过程用动量定理 要求每次系统动量变化要相同 3 如果每次系统动量变化不相同 不能对全对象全过程用动量定理 则考虑用列举法 4 如果用列举法不能列尽 则再考虑用归纳法 七 多对象多过程的动量和能量 34 人和冰车的总质量为m 人坐在静止于光滑水平冰面的冰车上 以相对地的速率v将一质量为m的木球沿冰面推向正前方的竖直固定挡板 设球与挡板碰撞时无机械能损失 碰撞后球以速率v反弹回来 人接住球后 再以同样的相对于地的速率v将木球沿冰面推向正前方的挡板 已知m m 31 2 求 1 人第二次推出球后 冰车和人的速度大小 2 人推球多少次后不能再接到球 例与练 每次推球时 对冰车 人和木球组成的系统 动量守恒 设人和冰车速度方向为正方向 每次推球后人和冰车的速度分别为v1 v2 则第一次推球后 mv1 mv 0 第一次接球后 m m v1 mv1 mv 第二次推球后 mv2 mv m m v1 三式相加得mv2 3mv v2 3mv m 6v 31 以此类推 第n次推球后 人和冰车的速度vn 2n 1 mv m 当vn v时 不再能接到球 即 2n 1 m m 31 2n 8 25 人推球9次后不能再接到球 析与解 35 如图所示 一排人站在沿x轴的水平轨道旁 原点0两侧的人的序号都记为n n 1 2 3 每人只有一个沙袋 x 0一侧的每个沙袋质量为m 14千克 x 0一侧的每个沙袋质量为m 10千克 一质量为m 48千克的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行 不计轨道阻力 当车每经过一人身旁时 此人就把沙袋以水平速度v朝与车速相反的方向沿车面扔到车上 v的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍 n是此人的序号数 1 空车出发后 车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行 2 车上最终有大小沙袋多少个 例与练 我们用归纳法分析 1 在x 0的一侧 第1人扔袋 mv0 m 2v0 m m v1 第2人扔袋 m m v1 m 2 2v1 m 2m v2 第n人扔袋 m n 1 m vn 1 m 2nvn 1 m nm vn 要使车反向 则要vn 0 即 m n 1 m 2nm 0 n 2 4 取整数即车上堆积有n 3个沙袋时车将开始反向 向左 滑行 析与解 2 只要小车仍有速度 都将会有人扔沙袋到车上 因此到最后小车速度一定为零 在x 0的一侧 经负侧第1人 m 3m v3 m 2v3 m 3m m v 经负侧第2人 m 3m m v4 m 4v4 m 3m 2m v5 经负侧第n 人 最后一次 m 3m n 1 m vn 1 m 2n vn 1 0 n 8 故车上最终共有n n n 3 8 11 个沙袋 36 如图质量为m 2kg的平板车 车身足够长 的左端放一质量为m 3kg的铁块 它和车间的动摩擦因数 0 5 开始时 车和铁块以速度vo 3m s的速度向右运动 与墙碰撞 时间极短 且无机械能损失 求 车与墙第一次碰后 小车右端与墙的最大距离 车与墙第二次碰撞前 车和铁块的速度 铁块最终距车的左端多远 车身至少要多长 铁块才不会从车上滑下 例与练 1 车从第一次碰到速度为零时 此时铁块速度仍向右 距右端的距离最大 对车用动能定理 2 如果车