Lyndon字串在结合代数中的一个应用.pdf

高校应用数学学报 2 0 1 5 3 0 2 2 4 5 2 5 2 L y n d o n 字 串在结合代数中的一个应用 周贵松 浙江大学 数学系 浙江杭州 3 1 0 0 2 7 摘要 考虑 了障碍 集L y n d o n 字 串组成 的代数 利L y n d o n 字 串的组合特性 刻 画 了这类代数 的整体 维数和Ge l f a n d K i r i l l o v 维数等不变量 关键词 L y n d o n 字串 A n i c k 分解 整体维数 G e l f a n d Ki r i l l o v 中图分类号 O1 5 4 2 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 0 4 4 2 4 2 0 1 5 0 2 0 2 4 5 0 8 1 引 言 一 个L y n d o n 字 串指 的是 一个在 字典序 下 比它的任 意循环 都要大 的非 空字 串 在一 些文献 中它也被称作正则字串 众所周知 L y n d o n 字串具有 良好组合特性 它们在李代数和李代数的 泛包络代数的描述和刻画中有着广泛应用 1 3 1 近年来 L y n d o n字串也在一些辫子Ho p f f 弋 数 的P BW基构造中扮演着核心角色 I 5 最近 Ga t e v a I v a n o v a 和F l C y s t a d 在文献f 6 1 中研究了那些 生成关系E h L y n d o n 字串所组成的单项式代数 他们利用L y r L d o I 淳 串所具有的组合特性 非常简 明地刻画出该类代数的不变量 如整体维数和Ge l f a n d Ki r i l l o v 维数等 本文的主要 目的是推广 文献 6 中的一些结果 在更广的一类代数里考量这些不变量 从结合代数的生成元和生成关系出发 如何有效快速地得 lJ Ge l f a n d Ki r i l l o v 维数和整体维 数等不变量是代数计算理论的一个基本问题 针对该问题 An i c k 在文献 7 1 中构造的A n i c k 分解 提供了有效途径 利用文献 8 的深刻结果 G a t e v a I v a n o v a 在文献 9 中通过分析A n i c k 分解刻画 了一类分次代数 的整 体维数和H i l b e r t 级数 An i c k 分解 的基本构造元素是字 串反链 上的n 一 链 本 文的主要结果建立在对L y n d o n 字 串反链上 链 的详细考察之上 2 回顾L y n d o n 字串的定义并简要概括L y n d o n 字串所具有的良好组合特性 3 考虑障碍集 L y n d o n 字串组成的代数 分析L y n d o n 字串反链上的n 链 进而刻画这类代数的一些不变量 5 2 L y n d o n 字串 贯穿全文 是一个有限全序字母表 当 1 p 时 默认 上带有序结构 1 l e x 如下 对任意两个字串 I 是V的真前缀 或者 k 甘 1 u 嗍 u r 其 中 x y X 1 s 1t 显然 这是 上与字串左乘相容的一个全序 此外 若U l 并且U 不是V 的前缀 则对所 有W 训 有U W l u 叫 然而 上的右乘并不保持字典序 譬如 若 是 中的两字 母 贝 0 1 X 2 但 是 l e WV 2 对任意分解U V W V W 1 有U l W 3 对任意分解 i t V W V W 1 有V l W 证 2 3 是显然的 根据 4 引理2 易得 1 兮 2 接下来证明 3 2 假定 3 成 立 设u V W W 1 则存在整数8 0 以及一个字串W x 使得V s W W并且V 不是 得 前缀 由 3 知u l e x v S l e x 伽 从而V W l e x W 于是 I t V s V W l e x U s W W 结论得证 定 义2 2 称一个字 串u 是L y n d o n 的 如果 非空并且满足命题2 1 中的等价条件 记C x 为 上的L y n d o n 字串全体 例2 3 以下是字母表X x 1 X 2 上长度小于等于5 的L y n d o n 字串 X 1 2 X 2 X 1 3C 2 1 X 2 22 21 2 1 2 X 2 X l X 2 X 22 31 l 1 2 X 1 32 21 2 1 对任意一个长度大于l 的字串 记u 在字典序下最长的那个L y n d o n 真后缀为 这同时也给出了乱 的一个前缀0 使得 0 u 0 乱 命题2 4 为方便读者起见 在下面列 a L y n o n d 字串所具有的卓越组合特性 要注意的 是 文献 1 3 6 1 0 中的字典序和L y n d o n 字串的定义与本文中的有所不同 因而这里所陈述的 结论是经过相应调整的 L 1 1 0 命题5 1 3 设U u 是L y n d o n 字串 则u 是一个L y n d o n 字串当且仅当u l L 2 1 0 命题5 1 3 设U 是一个长度大于1 的L y n d o n 字串 则 和 札 都 L y n d o n 字串 L 3 1 0 命题5 1 4 设 I v J L y n d o n 字串 则 当且仅当乱 或者V 札 L 4 1 0 定理5 1 5 每一个非空字串 都可以唯一的写成在字典序下不降 L y n d o n 字串乘 积U 1 r 周贵松 L y n d o n 字 串在结合代数 中的一个应 用 2 4 7 L 5 6 引理4 5 设乱 u 1 札 是一个在字典序下不降的L y n d o n字串乘积 若u 是u 的一 个L y n d o n 因子则 是某个乱 的因子 L 6 6 引理4 3 3 设叫 1 W 2 叫 3 是 上的字串 如果 l 叫 2 w 2 w 3 都 L y n d o n 字串并且 2 1 则叫1 W 2 W 3 也是L y n d o n字串 引理2 5 设u 是X上一个 长度大于1 的L y n d o n 字 串 若 是u 的一个L y n d o n l 子 则 是 臼 的一个因子 或者是 的一个因子 或者是钆 的一个长度大于l 0 l 的前缀 证设 是珏 的一个L y n d 0 n 因子 只需排除以下这种可能性 u p l l r r q 其中p 1 若这种可能存在 则由命题2 4 L 6 可知l O 是 的一个L y n d o n真后缀 而 这与 的定义相矛盾 3在结合代数中的应用 设 是一个域 记 为 上的自由结合 一 代数 则 组成 的 R K I I 在 上 取定一个与左乘和右乘都相容的良序 对任意一个非零多项式f 称在 中出现的那个 最大字串为 的首相并记其为L W f 对任意一个多项式集G 定义 L W G L W g f g E G N W G x f 在L W G 中无因子 对K x 的一个理想n 称字串集o a L W a ra in 为代数K X a的障碍集 本文的主要目的是 刻画当 n I L y n d o n 字串组成时 a 所具有的性质 注3 1 对K l 在 中不存在W 使得 l W l 和 v z x l V在 中无因子 显然 中任一元素的任 L y n d o n 都属于 e u 引理 3 2 设 是 上的一个L y n d o n 字串反链 1 对所有有序对 札 V E T 有O V 2 对任意两个不同的有序对 u u E T 有伽 V 3 U V I u V E T Z V I V E 乱 1 V 证由命题2 4 L 3 J 得 1 2 是 1 的直接推论 3 中的第二个包含是显然的 还剩下 说明 3 中的第一个包含 接下来假设存在一个有序对 钆 口 T 使得钆 V 因 高 校 应 用 数 学 学 报 第3 0 卷第2 期 为u l u u 1 所以u u 因而 有个因子叫 落在 中 易知l 训 2 根据引理2 5 可 知 是u 的一个前缀并且I叫I 如果l O l l 叫 l 如果l e I l 则有U e l O I 如果l I u l 则有 l I V 这些都 与 u T 矛盾 结论得证 例3 3 在下表左栏中列出的是 x l 2 上的一些L y n d o n 字串反链 它们都能够成为某 a A r t i n S c h e lt e r 代数的障碍集 见 1 2 定理8 1 情形 L y n d o n 字串反链 V v v 1 x 2 x l z 1 2 2 2 z l x i X 2 X l 2 3 2 i 1 2 1 2 1 1 X 2 X l 1 2 4 2 X l X 2 X l 2 1 1 2 1 z 1 X 2 X l 1 1 2 5 2 i 2 1 2 X 2 T 2 2 l X 2 X l 2 z 1 1 2 X 2 X l 1 x 2 6 2 1 X 2 X 1 3 2 x l 22 z 1 z 22 1 2 1 2 1 z 1 X 2 X l X 2 X l X 2 X l 1 2 例3 4 考虑字母表X x i x 2 定义字母表x h 的F i b o n a c c i 字串序列如下 1 0 X l X 2 然后递归的 对r 1 2 一 1 一 2 J F 2 1 2 一 1 通过归纳易知厶是一个L y n d o n 字串 I 扎 l 是第n 个F i b o n a c c i 数 并且 l e x 3 l e x l e x 2 r 1 l e x 1 e x 2 r l e x l e x 2 l e x 0 根据命题2 4 L 3 很快得出 2 件1 2 2 一 1 J F2 件1 2 件1 9 2 2 一 2 9 2 一 2 2 一 2 对n 2 令 0 一 1 并且 l U V T 由 6 命题7 2 和引理3 2 3 可 知 是一个L y n d o n 字串反链并且 在文献 6 中 G a t e v a I v a n o v a F l o y s t a d 阐明 和分次代数的一些性质之间有密切联系 命题3 5 设a 是 的一个理想 假设 口 L y n d o n 字串组成 则集合 l 2 l l l 2 l l 口 8 1 u 1 形成代数A o 上的一组 基 证 由 1 1 定理1 3 知N w a 形成A 的一组基 根据命题2 4 L 4 L 5 易得 N W a 1 2 I l l 钍 2 l 1 u o 8 1 u 1 从而结论得证 定理3 6 假设 上带有一个使所有字串齐次的连通分次结构 设口 是 的一个齐次 理想 假设O a L y n d o n 字串组成 令A a 则 周贵松 L y n d o n 字串在结合代数 中的一个应用 2 4 9 1 的 H i 1 b e r t 级数是 n 1 一t d e g u 2 A 的G e l f a n d K i r il l o v 维数是 妒 n 证 1 是命题3 5 的一个简单组合推论 根据 1 a 引理6 1 以及 1 可知 G K d im A 面 l o g d i m A 孝 0 o 结论得 证 下面将利用A n i c k 分解来进一步讨论代数K x a A n ic k 分解的基本构造元素是字串反 链上的m链 这个概念 E h A n i c k 在文献f 7 中提 出 不久之后 Uf n a r o v s k i 在文献f 1 4 中给出了一 个稍微不同但等价的定义 并同时给出了该概念的一个图论解释 为了从计算方面更好地理 解A n i c k 分解 引用这个图论解释给出佗 一 链的定义 定义3 7 设 是 上 的一个L y n d o n 字串反链 上的链图指的是有 向图 其顶点集 由 中元素以及 中字串的所有真后缀组成 而其箭 向集则如下给出 对任意两个顶点U V 有 一 当且仅 当在乱 的所有 因子里有且仅有一个后缀落在 中 对佗 1 记 1 I 1 一 一 是r v 中一条起点落在 里的路 称c 中的元素为 上的n 一 链 易知C KV x v 并且 例3 8 设 x l 2 V 轷 1 有C n 证假设存在 1 使得 令W E 则在r v 中有一条路V l一 一 V 使得W 1 一 V n 并且u 1 E X 对所有t 1 n 1 记 仇 1 落在 中的那个后缀 为 i 并且设 i 吼 1 易知 W l 1e x 2 l e x W 2 l e x l e x n一1 l e x 叫 竹一 1 于是有n一1l l u 2 r l U 3 或 者U 1 l l u 2 r l u 3 而这两种情况都不可能 因为在 中只有一个U 2 落在U l 和钆 3 之间 于是 U 2一 u 3 一 一 仳 是r v 中的一条路 因而u 1 Cn V 结论得证 引理3 1 2 设 是 上 的L y n d o n 字 串反链 则对 任意札 1 有 1 U l 札 1 u U l l le x t 正 证设 是 上的任意一个札 一 链 V l u n 并且u 1 E X 对所有i 1 n一1 然后递归的定义 则在 中有一条路 1一 一 V 使得 记l O i 为V t V i l 落在 中的那 个后缀 令t 1 1 0 v n t 1 t 1 l e v l t 2 t l 0 v l t 2 显然l l I n l I 接下来假设l 1 n 1 I t l 1 It z 2 1 l札 I It n 1 l 并且u 1 l l u 由命题2 4 L 6 可知 c f 2 是一个L y n d o n 字串 令Z l 为W l t l 2 中那个长度大于l f 1 I 的 最短L y n d o n 后缀 由 z 1 的定义知I z I 1 V l l t l 2 I 并且 O f 1 因为 z 1 是一个L y n d o n 字串并且e z 4 是v l t t l 的一个后缀 所以由 的定义知 是札 z 的 一 个后缀 因而 I J 0 l l t t 十 1 I 并且 U l l O z 1 l U l 1 通过归纳可得f 1 j t 2 1 f i t n l I 并且 1 e x I 从而I 1 f 1 7 J t f 1 le x 是一个 有限集 则对所有n d 有c 而对所有1 n d 有 z 一 1 I 1 i d 一礼 1 一 Z i 5 1 i l 证利用引理3 1 1 和引理3 1 2 很快得出结论 命题3 1 4 设D 是 的一个理想 设o a L y n d o n 字串组成 令A n 1 假设 f 口 是一个有限集 则 f a A具有一个有界的有限生成的投射A 一 双模分解 b A 作为一个A 一 双模的投射维数小于等于 0 o 1 C A的左整体维数和右整体维数都小于等于 p a 1 2 假设 口 是一个有限集 令d 带 口 则 a a 是一个有限集并且有d一1 舞 a d d t 2 f b A 作为 一个 一 双模 的投射维数小于等于d C A的左整体维数和右整体维数都小于等于d 证1 显然所有 a 都是有限集 于是由引理3 1 0 以及引N3 9 7 得 a 和 b 注意到 对任意一个左 一 模M 和任意一个右 一 模 0 是 的自由左 一 模分解而 0A 是 的自 由右A 模分解 由此可知 c 成立 2 由引理3 2 直接可得 a 利用 引理3 1 3 以及引理3 9 可得 b 和 c 定理3 1 5 假设 上带有一个使得所有字串都齐次的连通分次结构 设n 是 的一 个齐次理想 假设 口 L y n d o n 字串组成并且 p o 有限 令d 口 A K x a 则A作为一个 一 双模的投射维数 的左整体维数和右整体维数都是d 证记A作为一个 一 双模的投射维数 的左整体维数和右整体维数分别为d d 2和如 对礼 1 令 c n a 根据引理3 1 3 可得 对所有n d有 0 C d 一 f 并 N K C a 一 1 是0 D K d e g u 一 的一个齐次子空间 其中z d e g 根据引 理3 9 有d d 2 d 3 d E x t l G A A A 一 z H d H o m A G 一 A E A 一 f K E X t 舀 A A 一 2 H d H o rn G A 0 A A 一 2 E x t 1 G A 一 z H d H o rn A G 0 一 z 其中A Gr A Gr A 和 一 Gr 分别表示分次双 模范畴 分次右 一 模范畴和分次左A 一 模范畴 因 为一个分次模的分次投射维数等于它的投射维数 所以d 1 d 2 d 3 d 2 5 2 高 校 应 用 数 学 学 报 第3 0 卷第2 期 参考文献 1 1 R e u t e n a u e r C F r e e L i e A l g e b r a s A L o n d o n Ma t h e ma t i c a l S o c i e t y Mo n o g r a p h s N e w S e r i e s 7 c O x f o r d O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s 1 9 9 3 2 B o k u t L A C h e n g Y u q u n G r o e b n e r S h i r s h o v b a s e s f o r L i e a l g e b r as a f t e r A I S h i r s h o v J S o u t h e s t As i a n Bu l l e t i n o f M a t h e ma t i c s 2 0 0 7 3 1 1 0 5 7 1 0 7 6 3 L al o n d e P R a m A S t a n d a r d L y n d o n b ase s o f L i e a l g e b r a s a n d e n v e l o p i n g a l g e b r as J T r a n s A me r Ma t h S o c 1 9 9 5 3 4 7 5 1 8 2 1 1 8 3 0 4 K h arc h e n k o V K A q u a n t u m a n a l o g u e o f P o i n c a r 6 一 B i r k h o ff Wi t t t h e o r e m J A l g L o g 1 9 9 9 3 8 4 2 5 9 2 7 6 5 5 U f e r S P B W b ase s f o r a c l ass o f b r a i d e d H o p f a l g e b r as J J A l g 2 0 0 4 2 8 0 1 8 4 1 1 9 6 G a t e v a I v a n o v a T F 1 0 y s t a d G Mo n o mi al a l g e b r as d e fi n e d b y L y n d o n w o r d s J J A l g 2 0 1 4 4 03 4 70 496 7 A n i c k D O n t h e h o m o l o g y o f a s s o c i a t i v e a l g e b r as J T r a n s A me r Ma t h S o c 1 9 8 6 2 9 6 2 641 65 9 8 A n i c k D O n mo n o mi al a l g e b r a s o f fi n i t e g l o b a l d i me n s i o n J T r a n s A m e r Ma t h S o c 1 9 8 5 2 9 1 1 2 9 1 3 1 0 9 Ga t e v a I v a n o v a T G l o b a l d i m e n s i o n o f ass o c i a t i v e a l g e b r as J P r o c A A E C C 6 L N C S 1 9 8 9 357 21 3 2 29 1 0 L o t h a i r e M C o m b i n a t o r i c s o n w o r d s A E n c y c l o p e d i a i n Ma t h e m a t i c s a n d i t s A p p l i c a t i o n s C G C R o t a E d N e w J e r s e y A d d i s o n We s l e y P u b l i s h i n g C o mp a n y 1 9 8 3 1 1 Mo r a T A n i n t r o d u c t i o n t o c o m mu t a t i v e a n d n o n c o m mu t a t i v e G r S b n e r b ase s J T h e o r e t i c C o mp u t e r S c i e n c e 1 9 9 4 1 3 4 1 1 3 1 1 7 3 1 2 Z h o u G u i s o n g L u Di mi n g A r t i n S c h e l t e r r e g u l a r a l g e b r as o f d i m e n s i o n fi v e w i t h t w o g e n e r a t o r s J J P u r e A p p l A l g 2 0 1 4 2 1 8 9 3 7 9 6 1 1 3 K r a u s e G R L e n a g a n T H G r o w t h o f a l g e b r as a n d G e l f a n d K i r i l l o v d i m e n s i o n r e v i s e d e d i t i o n A G r a d u a t e S t u d i e s i n Ma t h e ma t i c s C R h o d e I s l a n d A me r i c a n Ma t h ma t i c al S o c i e t y 1 9 9 9 1 4 U f n a r o v s k i V O n t h e u s e o f g r a p h s f o r c o mp u t i n g a b a s i s g r o w t h a n d H i l b e r t s e r i e s o f a s s